Матричные игры с седловой точкой

Задача 3.1.1. Автомобильный концерн “Кайзер”, выпускающий мощный автомобиль “Родео” с большим расходом топлива, столкнулся с определенными трудностями, вызванными давлением на рынке конкурирующего концерна “Топаз”. Эксперты выделили следующие основные стратегии на рынке:

А1 – продолжать выпуск “Родео”;

А2 – перейти к выпуску малолитражного автомобиля;

А3 – внедрить среднелитражный автомобиль нового поколения;

Конкурирующий концерн “Топаз” располагает 3 возможными стратегиями:

В1 – внедрить на рынок свой новый автомобиль-малютку;

В2 – разработать автомобиль среднего класса;

В3 – продолжить выпуск старого автомобиля с мощным мотором и большим расходом топлива.

Варианты возможных матриц выигрыша концерна “Кайзер” даны ниже. (При этом предполагается, что выигрыш одного конкурента равен проигрышу другого).

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

  В1 В2 В3     В1 В2 В3     В1 В2 В3     В1 В2 В3
А1 -2   А1 -1   А1 -2   А1
А2   А2   А2   А2 -1
А3   А3   А3   А3

 

Найдите оптимальные стратегии для обоих конкурентов и цену игры. Укажите, если она есть, седловую точку.

Графическое решение матричной игры

Задача 3.2.1. Охранник магазина следит за кассой, которая находится в торговом зале, или за сейфом, расположенным в служебном помещении. Предполагаемый преступник может воспользоваться одним из 2-х планов действия:

1-ый план: проникнув под видом покупателя в торговый зал, неожиданно напасть на кассира и, взяв деньги из кассы, попытаться скрыться на автомобиле;

2-ой план: через потайную дверь проникнуть в служебное помещение и, вскрыв сейф и забрав выручку, скрыться через ту же потайную дверь.

Пусть в кассе находится сумма S1 тыс. руб., в сейфе S2 тыс.руб. Данные приведены в таблице 3.2.1.

Таблица 3.2.1

№ варианта
S1
S2

Составьте матрицу выигрышей грабителя.

1. Найдите верхнюю и нижнюю цену игры.

2. Найдите оптимальные смешанные стратегии игроков графическим методом.

Задача 3.2.2. Фирма ”Попса” планирует выпустить запись концерта популярного певца Незванова в двух видах: на диске (D) и на видеокассете (V). Объем продаж и прибыль зависят от спроса, который может быть в одном из нескольких состояний Si, связанных различными стратегиями основного конкурента фирмы.

Вероятности этих состояний не прогнозируемы.

Возможное значение прибыли фирмы при сочетании ее стратегии со спросом приведены ниже.

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

  S1 S2 S3   S1 S2 S3   S1 S2 S3 S4   S1 S2 S3 S4
D D D D
V V V V

1. Определите графически оптимальную смешанную стратегию фирмы.

2. Найдите наихудшую для нее смешанную стратегию конкурента.

Решение игры симплекс-методом

Задача 3.3.1. Завод планирует выпуск двух видов телевизоров А1 и А2, прибыль от продажи которых зависит от возможных состояний спроса S1, S2, S3. Матрицы выигрышей (прибыли) завода в зависимости от вида телевизора Аi и спроса Sj даны ниже по вариантам.

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

  S1 S2 S3   S1 S2 S3   S1 S2 S3   S1 S2 S3
A1 А1 A1 A1
A2 A2 A2 A2

1. Решите игру графически.

2. Решите игру симплекс-методом.

Игры с природой

Задача 3.4.1. АО “Злаки” имеет 3 стратегии закупки крупной партии зерна: на внутреннем рынке России (А1), в Казахстане (А2), в Канаде (А3). Эксперты фирмы определили, что возможны 4 складывающиеся на рынке зерна рыночные конъюнктуры. В1, В2, В3 и В4, отвечающие сочетаниям факторов: курсов валют, курса рубля, урожаев зерновых, индексов деловой активности крупнейших мировых бирж и т.д.

Возможная прибыль АО при той или иной конъюнктуре приведены в таблицах.

 

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

  В1 В2 В3 В4   В1 В2 В3 В4   В1 В2 В3 В4   В1 В2 В3 В4
А1 А1 А1 А1
А2 А2 А2 А2
А3 А3 А3 А3

Определите оптимальную стратегию закупки зерна.

1) по критерию Вальда,

2) по критерию Севиджа,

3) По критерию Гурвица с показателем пессимизма

4) по критерию максимального среднего выигрыша, если экспертные оценки вероятностей конъюнктуры рынка составляют р1, р2, р3, р4

№ варианта р1 р2 р3 р4
0,1 0,2 0,4 0,3
1/8 1/4 3/8 1/4

Кооперативные игры

Для кооперативной игры, заданной характеристической функцией V(S) на множестве игроков {A, B, C}, найти с-ядро:

A)

Коалиция S A B C AB BC CA ABC
V(S)

Б)

Коалиция S A B C AB BC CA ABC
V(S)

Литература: [4, 10, 15, 17]

Учебно-методическая литература [8]