Задачи для самостоятельного решения. Вычислить определители:

Вычислить определители:

 

 

 

МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Понятие матрицы

 

Матрицей порядка n´m называется прямоугольная таблица чисел вида

.

Числа аij называются элементами матрицы. Матрицу будем коротко записывать = (аij) n´m . Если n=m, то матрица называется квадратной порядка n.

Матрица с элементами (i,j=1,2,…,n) называется единичной матрицей n-го порядка.

 

Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу А на число l, необходимо умножить каждый элемент матрицы на это число.

Пример. Для матрицы найдем произведение . Из определения получаем

 

Сложение матриц

Если матрица В = (bij)n´m имеет тот же порядок, что и матрица А = =(аij)n´m, то можно определить их сумму - матрицу С = А + В = (cij)n´m того же порядка - по правилу: сij = аij + bij для i =1, 2,..., n; j = 1, 2,..., m. Матрицы различных порядков складывать нельзя.

Пример. Найдем сумму матриц А + В, где

Умножение матриц

Произведением матрицы А = (аij)n´m на матрицу В = (bij)m´p называется матрица С = А´ В = (сij)n´p, построенная по правилу

 

Практически перемножение матриц осуществляется следующим образом: берут i-ю строку матрицы А, умножают ее поэлементно на j-й столбец матрицы В и эти произведения складывают. Полученное число является элементом матрицы С, стоящим в i-й строке и j-м столбце.

Пример. Найдем произведение матриц АВ, если

 

Внимание:

а) матрица А имеет порядок n´m, матрица В имеет порядок m´p, а их произведение АВ - порядок n´p;

б) в общем случае АВ ¹ ВА.

 

Примеры.

а) Найдем ВА, где матрицы А и В взяты из предыдущего примера:

 

 

б) Найдем значение матричного многочлена В = 2А2 + 3А + 5Е, где

 

- единичная матрица третьего порядка.

Имеем

тогда

 

 

Задачи для самостоятельного решения

а) Найти произведение матриц АВ, где

б) Найти произведения АВ и ВА, где

в) Найти значение выражения 3А – ВС, где

 

Обратная матрица

Для квадратной матрицы А порядка n можно определить такую матрицу Х порядка n, что ХА = АХ = Е, где Е - единичная матрица порядка n.

Матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.

Следующие условия являются необходимыми и достаточными, чтобы у матрицы А = (аij)n´m была определена обратная матрица:

а) n=m;

б) определитель матрицы А не равняется нулю:

Следующие преобразования строк матрицы называются элементарными:

а) умножение любой строки на число, отличное от нуля;

б) прибавление к строке другой строки, домноженной на любое число;

в) перестановка строк;

г) отбрасывание нулевой строки.

 

Для нахождения обратной матрицы А-1 применяется следующее правило:

а) выписывается матрица

(2.1)

б) с помощью элементарных преобразований над строками матрицы (2.1) превращают ее левую половину в единичную матрицу. Тогда ее правая половина превращается в обратную к ней матрицу А-1.

 

Примеры.

а) Для матрицы найдем обратную.

По приведенному выше правилу получаем:

 

Итак, обратная матрица А-1 равна

 

б) Решим матричное уравнение ХА + В = С, где

Умножим уравнение справа (порядок важен) на матрицу А-1. Тогда

ХАА-1 + ВА-1 = СА-1. Так как АА-1 = Е, то ХЕ + ВА-1 = СА-1 или

= СА-1- - ВА-1 =(С-В)А-1.

Найдем разность матриц

Вычислим матрицу А-1

 

 

Тогда Х = (С-В)А-1 =