Прямое (декартово) произведение множеств. Бинарные (n-арные) отношения, их свойства.
Рассмотрим множества {1,2}и {2,1}.Они равны, так как состоят из одних и тех же элементов. Однако, в математике и технике приходится рассматривать и упорядоченные множества, то есть множества с заданным на них порядком следования элементов. Так, точки на плоскости А(1,2) и В(2,1) являются различными. Иногда, упорядоченную пару определяют следующим образом:
Определение 1. (a,b) 
{{a},{a,b}}, то есть под упорядоченной парой понимается множество, состоящее из двух множеств: неупорядоченной пары {a,b} и множества, состоящего из одного элемента, который считается первым.
Это определение предложил польский математик Казимеж Куратовский (1896-1980).
Очевидно, что:
1) 
;
2) 
.
Определение 2. Прямым (декартовым) произведением множеств А и В называется множество, обозначаемое А 
В (читается: “A прямо на В”), и состоящее из всех упорядоченных пар (a,b), где 
то есть
.
Пример: А={1,2}; B={3,4}
Из примера видно, что 
Операция 
не коммутативна.
Определение 3. Бинарным отношением между элементами множеств А и В или бинарным отношением, определенным на паре множеств А и В называется подмножество множества 
.
Бинарное отношение обозначается обычно большими буквами латинского алфавита R, S, T, либо малыми буквами греческого алфавита 
,…. 
Определение 4. Прямым произведениеммножеств А1, А2, … , Аn называется множество 
, состоящее из всех упорядоченных n‑ок (a1,a2,…an) (из всех кортежей длины n), где 
Определение 5. n-арным отношениеммежду элементами множеств А1, А2, … , Аn называется подмножество множества 
При n=1 отношение называется унарным, при n=2 отношение называется бинарным, при n =3 отношение называется тернарным и т. д.
Определение 6.Бинарное отношение между элементами множества А и А называется бинарным отношением на множестве А. То есть, это подмножество множества 
Множество обозначают также 
и называют декартовым квадратом множества А.
Если 
то 
и 
.
Определение 7. n-арным отношением на множестве Аназывается подмножество множества 
Аn называется n-ой декартовой степенью множества А.
Пример: Пусть А={1,2}, тогда 
и, следовательно, на множестве А можно задать 16 различных бинарных отношений. Выпишем некоторые из них:
1) Ø;
2) ;
3) 
-диагональ 
;
4) {(1,2),(2,1)} и др.
Пусть 
-бинарное отношение на множестве А. Если 
, то говорят, что a и b находятся в отношении и пишут 
Определение 8.Бинарное отношение на множестве А называется рефлексивным, если 
для всех 
Замечание: Множество 
называется диагональю множества 
. Отношение рефлексивно тогда и только тогда, когда 
.
Определение 9.Бинарное отношение называется на множестве А симметричным, если из следует, что 
, для всех a и b из множества А.
Определение 10.Бинарное отношение на множестве А называется транзитивным, если из 
и 
, следует, что 
для всех a, b и с из множества А.
Определение 11.Бинарное отношение называется антирефлексивным на множестве А, если 
для всех
Определение 12.Бинарное отношение на множестве А называется антисимметричным, если из и 
для всех a и b из множества А.
Определение 13.Бинарное отношение называется связаннымна А, если для всех a и b из множества А выполняется одно и только одно из соотношений: a=b или или 
.
Примеры: 1) Отношение параллельности прямых на плоскости является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
2) Отношение “меньше” на множестве действительных чисел является антирефлексивным, антисимметричным, транзитивным и связанным.
3) Отношение 
на множестве действительных чисел является антирефлексивным и симметричным.
4) Отношение 
на множестве натуральных чисел является симметричным и транзитивным, не является рефлексивным, не является антирефлексивным и не является связанным.
5) Отношение на множестве 
является рефлексивным, симметричным и транзитивным, не является связанным.