Пример расчета линейной сборочной размерной цепи
При выполнении задачи 5 для заданной сборочной единицы требуется составить схему сборочной размерной цепи, найти замыкающее звено и решить прямую задачу методом полной взаимозаменяемости (методика, порядок изложения и оформления расчета приводится ниже).
1. Для заданной сборочной единицы (рис. 11) необходимо обеспечить требуемую величину зазора между торцами зубчатого колеса и втулки АΔ в пределах от 0 до 0,7 мм, исходя из служебного назначения редуктора. Величина указанного зазора А∆ является исходным звеном, размер которого должен быть обеспечен технологическими методами при изготовлении данного механизма.
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Рис. 11. Эскиз сборочной единицы (редуктор)
2. Предельные отклонения замыкающего звена (зазора) соответственно равны:
∆bA∆ =+ 0,7 мм; ∆нA∆ = 0.
Допуск:
ТА∆ = ∆bA∆ - ∆нA∆ = 0,7 - 0 = 0,7 мм.
Координата середины поля допуска звена:
∆оA∆ = 
мм.
Следовательно, А∆ = 0+0,7.
3. Чтобы построить размерную цепь, определяющую размер зазора А∆, необходимо выявить все составляющие звенья, то есть размеры, изменение которых влечет за собой изменение зазора. Зная, что положения деталей в узле определяются поверхностями касания соседних деталей, которые принято называть сборочными базами, выявляются эти поверхности, а через них – размерные связи. Рассматриваемый зазор А∆ (рис. 11) зависит от взаимного положения малого зубчатого колеса 6 и левой втулки 7. Малое зубчатое колесо, в свою очередь, упирается в большое зубчатое колесо 5. Большое зубчатое колесо касается левого торца шейки вала 4, которая своим правым торцом контактирует с буртиком правой втулки 3. Оба буртика втулок упираются непосредственно в приливы корпуса механизма. Сам корпус состоит из двух частей 1 и 2, которые образуют сопряжения по привалочной плоскости. Таким образом, определяются следующие составляющие звенья:
А1 – размер от торца прилива до плоскости левой половины корпуса 1;
А2 – размер от прилива до плоскости правой половины корпуса редуктора 2;
А3, А7 – толщины буртиков втулок;
А4 – размер шейки вала между торцами;
А5 – размер между торцами зубчатого колеса;
А6 – размер между торцами малого зубчатого колеса;
АΔ – зазор.
На рис. 12 приведена геометрическая схема размерной цепи.
А∆ 
Рис. 12. Геометрическая схема размерной цепи
Так как размерная цепь – замкнутый контур, сумма номинальных размеров увеличивающих звеньев должна быть равна сумме номинальных размеров уменьшающих звеньев и исходного звена:
,
откуда имеем:
или 
, (18)
где А∆ – номинальный размер исходного звена;
– сумма номинальных размеров увеличивающих звеньев;
– сумма номинальных размеров уменьшающих звеньев цепи;
n – число увеличивающих звеньев;
m – общее число звеньев размерной цепи;
– передаточное отношение, показывающее отношение погрешности замыкающего звена к погрешности составляющего звена. Для линейной размерной цепи передаточное отношение равно: для увеличивающих звеньев 
, для уменьшающих звеньев 
.
4. Для заданной размерной цепи: А1+А2=А3+А4+А5+А6+А7+АΔ рассчитываются или задаются по аналогии с существующими конструкциями номинальные размеры всех составляющих звеньев.
В данном случае, исходя из технической документации на редуктор, будем иметь:
А1=28 мм; А2=93 мм; А3=А7=5 мм; А4=70 мм; А5=25 мм; А6=16 мм.
А∆ = 23 + 93 – 5 – 70 – 25 – 16 – 5 = 0.
5. Рассчитывается средняя величина допуска составляющего звена:
; (19)
мм.(20)
Приведенные пункты 1-5 расчета являются общими для расчета Р.Ц. любым из пяти известных методов.
6. Выбирается метод достижения требуемой точности исходного звена, экономичный в данных производственных условиях.
Дальнейший расчет в данном примере выполняется в предположении, что производство редукторов является массовым.
7. Метод полной взаимозаменяемости (расчет на максимум и минимум).
Этот метод расчета размерных цепей учитывает только предельные отклонения составляющих звеньев и обеспечивает заданную точность исходного (замыкающего) звена без какого-либо подбора или пригонки деталей. При этом допуск исходного (замыкающего) размера определяют арифметическим сложением допусков составляющих размеров.
Преимущества метода полной взаимозаменяемости: простота расчета, упрощается процесс сборки, создаются условия его точного нормирования, появляются более благоприятные условия для специализации и кооперирования производства.
Недостатки метода: невозможность использования метода для расчета цепей высокой точности; получаются излишне жесткие, технологически трудновыполнимые допуски.
7.1. Составляется таблица, в которую по ходу расчета размерной цепи вносятся все данные.
Таблица 9
Расчетные данные по методу
| Обозначение звеньев | Номинальные величины размеров звеньев, мм | Допуск Тi, мм | Координаты середин полей допусков ∆ОАi , мм | Передаточные отношения ζi | Предельные отклонения размеров звеньев | Коэффициент относительного рассеивания λ | Примечание | |
| верхнее ∆bi | нижнее ∆нi | |||||||
| А∆ | 0,7 | +0,35 | - | +0,7 | - | |||
А1
| 0,084 | +0,042 | +1 | +0,084 | - | 10 квалитет | ||
 А2
| 0,246 | +0,123 | +1 | +0,246 | - | Приблизительно 11 квалитет | ||
А3
| 0,048 | -0,024 | -1 | -0,048 | - | 10 квалитет | ||
А4
| 0,120 | -0,06 | -1 | -0,12 | - | 10 квалитет | ||
А5
| 0,084 | -0,042 | -1 | -0,084 | - | 10 квалитет | ||
А6
| 0,070 | -0,035 | -1 | -0,07 | - | 10 квалитет | ||
А7
| 0,048 | -0,024 | -1 | -0,048 | - | 10 квалитет |
7.2. Корректируется на основе технико-экономических соображений и устанавливается допуск на размер каждого из составляющих звеньев Р.Ц.
Задача определения допусков составляющих звеньев математически неопределенна, так как количество неизвестных в (m-1) раз больше числа имеющихся уравнений (одно):
, (21)
то есть допуск исходного (замыкающего) размера равен сумме допусков составляющих размеров.
Для решения данной задачи необходимо уменьшить число неизвестных, назначив на все составляющие звенья цепи, кроме одного, экономически и технически приемлемые допуски. На одно составляющее звено допуск рассчитывается по основному уравнению (20) метода полной взаимозаменяемости.
Избавиться от неопределимости при решении прямой задачи можно, если применить для определения допусков составляющих звеньев цепи один из следующих способов.
1. Способ попыток (или подбора) заключается в том, что на составляющие звенья Р.Ц. назначают экономически целесообразные допуски с учетом особенностей конструкции, опыта эксплуатации подобных изделий. Основные технико-экономические соображения, которые могут быть приняты во внимание при этом, такие:
- обеспечить на всех звеньях экономически достижимые допуски;
- обеспечить возможность использования калибров;
- привести допуски в соответствие с квалитетами точности;
- обеспечить возможность использования имеющихся в производстве мерных режущих инструментов и т.д.
2. Способ равных допусков применяется, когда составляющие размеры имеют один порядок (например, входят в один интервал размеров) и могут быть выполнены с одинаковой точностью. Поэтому можно условно принять, что
ТА1 = ТА2 = … = ТАm-1 = Тср Аi .
Тогда делается расчет средней величины допуска по (19). Полученный средний допуск Тср корректируют для некоторых составляющих размеров в зависимости от конструктивных требований и технологических возможностей изготовления, но так, чтобы выполнялось условие: 
.
Способ равных допусков прост, но не учитывает разницу в номинальных размерах составляющих звеньев и связанную с ней разницу в технологической сложности получения размеров с заданными допусками. Поэтому данный способ недостаточно точен и может быть применен лишь для ориентировочной оценки точности изготовления составляющих звеньев.
3. Чтобы сложность получения заданной точности всех звеньев была приблизительно одинаковой, нужно назначить допуски одного квалитета, а для этого надо заданный допуск исходного (замыкающего) звена разделить пропорционально единице допуска каждого соответствующего звена.
Допуск составляющего размера
ТАi = аi ∙ i, (22)
где а – число единиц допуска,
i – единица допуска.
Для размеров от 1 до 500 мм
. (23)
Здесь 
– среднее геометрическое крайних размеров каждого интервала, к которому относится данный линейный размер.
Исходя из основного уравнения (21), имеем:
ТА∆ = а1 i1 + а2 i2 + … + аm-1 im-1.
По условию задачи а1 = а2 = … аm-1 = аср.
Тогда
Отсюда имеем:
,
где ТА∆ – в мкм, Д – в мм.
Для облегчения работы значения единицы допуска i можно выбрать из табл. 10 [8].
Таблица 10
Значения единицы допускаi для размеров до 500 мм
| Интервал размеров, мм | До 3 | 3-6 | 6-10 | 10-18 | 18-30 | 30-50 | 50-80 | 80-120 | 120-180 | 180-250 | 250-315 | 315-400 | 400-500 |
| i, мм | 0,55 | 0,90 | 1,08 | 1,31 | 1,56 | 1,86 | 2,17 | 2,52 | 2,90 | 3,23 | 3,54 | 3,89 |
По аср выбирают по табл. 11 ближайший квалитет точности.
Полученному аср ≈ 76,16 соответствует 10-й квалитет точности, поэтому по таблицам стандарта ГОСТ 25347-82 назначаем допуски на все составляющие звенья по 10-му квалитету:
ТА1 = 84 мкм; ТА2 = 140 мкм; ТА3 = 48 мкм; ТА4 = 120 мкм;
ТА5 = 84 мкм; ТА6 = 70 мкм; ТА7 = 48 мкм.
Таблица 11
Число единиц допуска для квалитетов точности [12]
| Квалитет точности | |||||||||||||
| Число единиц допуска а |
Полученный результат проверяется решением обратной задачи:
∑ТАi = 84 + 140 + 48 + 120 + 84 + 70 + 48 = 594 мкм,
что меньше заданного допуска замыкающего звена: ТА∆ = 700 мкм.
Таким образом, условие, выраженное (20), не соблюдается, поэтому необходимо произвести корректировку. В данном случае не используется полностью величина допуска исходного звена ТА∆ = 700 мкм и более рационально назначить допуски по 10-му квалитету только на шесть составляющих звеньев, а на одно звено, точность которого обеспечить наиболее трудно, дать более широкий нестандартный допуск. Таким звеном в заданном узле является звено А2. Тогда ТА2 = 700 – (84 + 48 + 120 + 84 + 70 +
+ 48) = 246 мкм, что соответствует 11-му квалитету точности. Таким образом, после корректировки получаем следующие значения допусков:
ТА1 = 84 мкм; ТА2 = 246 мкм; ТА3 = 48 мкм; ТА4 = 120 мкм;
ТА5 = 84 мкм; ТА6 = 70 мкм; ТА7 = 48 мкм.
В итоге на все составляющие звенья размерной цепи назначены экономически приемлемые для условий массового производства редукторов допуски по 10-му и 11-му квалитетам.
7.3. Назначаются и рассчитываются координаты середины полей допусков всех составляющих звеньев.
Задача также математически неопределенна, так как неизвестных в (m-1) раз больше числа имеющихся уравнений (одно):
. (24)
Назначая координаты середины допусков составляющих звеньев, обычно руководствуются перечисленными в п. 7.2 технико-экономическими соображениями.
В рассматриваемом примере, располагая допуски относительного номинала, как для основных валов h и основных отверстий H, получим:
∆ОА∆ = +0,35 мм; ∆ОА1 = +0,042 мм; ∆ОА3 = -0,024 мм;
∆ОА4 = -0,06 мм; ∆ОА5 = -0,042 мм;
∆ОА6 = -0,035 мм; ∆ОА7 = -0,024 мм.
На звено А2координату определим из уравнения (7):
∆оА2 = 0,35 - 0,042 - 0,024 - 0,06 - 0,042 - 0,035 - 0,024 = 0,35 – 0,227 = 0,123;
.
7.4. Выполняется проверка правильности расчета допусков и координат середин полей допусков составляющих звеньев:
; 
; (25)
.
Так как расчетные значения предельных отклонений исходного звена совпадают с заданными (п.п. 1 и 2), то расчет допусков и координат середин полей допусков выполнен правильно.
7.5. Рассчитываются предельные отклонения по уравнениям:
; 
. (26)
;
;
; 
;
;
;
;
;
; 
;
; 
;
; 
.
7.6. Рассчитываются предельные размеры по уравнениям:
; 
.
А1max = 28 + 0,084 = 28,084 мм; А1min = 28 + 0 = 28 мм; А1 = 28+0,084 мм;
А2max = 93 + 0,246 = 93,246 мм; А2min = 93 + 0 = 93 мм; А2 = 93+0,246 мм;
А3max = 5 + 0 = 5 мм; А3min =А7min = 5 – 0,048 = 4,952 мм; А3 = А7= 5-0,048 мм;
А4max = 70 + 0 = 70 мм; А4min = 70 – 0,12 = 69,88 мм; А4 = 70-0,012 мм;
А5max = 25 + 0 = 25 мм; А5min = 25 – 0,084 = 24,916 мм; А5 = 25-0,084 мм;
А6max = 16 + 0 = 16 мм; А6min = 16 – 0,07 = 15,93 мм; А6 = 16-0,07 мм;
Эти предельные размеры проставляются на чертежах соответству-ющих деталей: А1 – левой половины корпуса, А2 – правой половины корпуса, А3 и А7 – втулок, А4 – вала, А5 – большого зубчатого колеса,
А6 – малого зубчатого колеса редуктора (рис. 11).
Примечание. В размерную цепь часто входят размеры, допуски на которые уже известны и изменить их нельзя. Эти размеры стандартизованных деталей: болтов, гаек, шайб, колец подшипников качения и т.д. Размеры указанных деталей, входящие в Р.Ц., будут влиять на размер замыкающего звена. При расчетах Р.Ц. методом полной взаимозаменяемости известные допуски звеньев учитывают следующим образом. Допуск замыкающего (исходного) звена равен сумме допусков составляющих звеньев, в том числе и известных. Но так как изменить известные допуски звеньев нельзя, то оставшуюся часть допуска исходного (замыкающего) звена следует распределить между остальными звеньями. Исходя из этого, число единиц допуска в этом случае можно определить по формуле:
, (27)
где 
– сумма известных допусков составляющих звеньев;
– сумма единиц допуска всех остальных (определяемых)
составляющих звеньев;
q – число звеньев, для которых определяют допуски.