Умножение вектора на число.
ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Линейная алгебра»
для направления 080100 «Экономика»
Рязань 2012
Тема 4. Элементы векторной алгебры (12 часов, 6 лекций)
Лекция 1
Понятие геометрического вектора, его характеристики. Виды векторов
В физике и других науках встречаются два типа величин: скалярные и векторные. Скалярные величины характеризуются численным значением в выбранной системе единиц. Это масса, температура, объем. Векторные величины характеризуются численным значением и направлением. Это сила, скорость, ускорение.
Определение 1. Геометрический вектор - это направленный отрезок.
 | |
| |
Определение 2. Модуль вектора, или длина вектора – это расстояние между на чалом концом вектора.Обозначения 
, 
.
Определение 3. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаково направлены (параллельны и направлены в одну сторону).
Рис. 1
На рис. 1 векторы 
и 
равные, векторы 
и 
имеют разную длину, а векторы 
и 
, 
и 
имеют разные направления.
Определение 4. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны одной прямой ( 
) .
Определение 5. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.
Коллениарные -если они лежат на одной прямой или лежат на двух разных параллельных прямых.
Ортогональные – если лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых.
Линейные операции над векторами в геометрической форме,
Их свойства
Сложение.
а) правило параллелограмма: если векторы имеют общее начало, то сумма векторов – это вектор, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах.
Из рисунка видно, что 
.
Рис. 1
б) правило треугольника: если векторы расположены последовательно, то есть конец первого является началом второго, то сумма векторов – это вектор, начало которого является началом первого, конец – это конец второго.
 |
Рис. 2
Используя это правило, легко доказать, что 
в) правило многоугольника: это обобщение правила треугольника, используется при последовательном расположении нескольких векторов, сумма нескольких последовательных векторов – это вектор, начало которого – это начало первого, а конец – это конец последнего.
Определение 1.Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, его длина равна нулю, направление любое.
Определение 2.Если поменять начало и конец вектора местами, то получится вектор, противоположный данному.
Вычитание.
Вычесть из одного вектора другой – это значит к данному вектору прибавить вектор, противоположный второму: 
.
Умножение вектора на число.
Если данный вектор умножить на число 
, получится следующий вектор 
:
если 
, то 
,
если 
, то 
.
Если 
, то длина вектора увеличится в 
раз, если 
, то длина уменьшается в раз.
Свойства операции
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
Доказательство 4. Если 
, то 
;
если 
, то 
;
если 
и имеют разные знаки, то в обеих частях равенства будут нули.
5.
Определение 3.Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора 
, называется ортом и обозначается 
.
.
Лекция 2