Вероятности Pn(к) при больших значениях n. Приближённые формулы Лапласа и Пуассона.
В приложениях часто возникает необходимость в вычислении вероятностей Рn(к) для весьма больших значений n и k. Рассмотрим, например, такую задачу.
Задача. На некотором предприятии вероятность брака, равна 0,02. Обследуются 500 изделий готовой продукции. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 10 бракованных.
Рассматривая обследование каждого изделия как отдельный опыт, можно сказать, что производиться 500 независимых опытов, причем в каждом их них событие А (изделие оказалось бракованным) наступает с вероятностью 0,02, тогда по формуле Бернулли получаем
.
Непосредственный подсчет этого выражения представляется сложным. Ещё большую трудность пришлось бы испытать, если бы мы искали вероятность того, что число бракованных изделий среди 500 окажется в пределах, скажем, от 10 до 20. В этом случае потребовалось бы вычислить сумму 
, что является более сложным делом.
Задачи подобного рода встречаются в приложениях весьма часто. Поэтому возникает необходимость в отыскании приближённых формул для вероятностей Рn(к), а также для сумм вида
(1)
при больших n.
1. Приближённые формулы Лапласа. Их используют при больших n (порядка сотен или тысяч), вероятностей p или q не слишком близким к 0 или 1 (порядка сотых долей). Обычно условием применения этих приближений является условие npq>9.
а) Локальная приближённая формула Лапласа. При больших n справедливо равенство.
, (2)
где 
, а φ(х) обозначает следующую функцию: 
.
Заметим, что функция φ(х) табулирована, т.е. для нее составлена таблица её значений.
Вторая приближённая формула Лапласа даёт приближённые значения для величины 
-вероятности того, что число наступлений события А в n опытах (число «успехов») окажется заключенным между заданными границами к1 и к2.
б) Интегральная приближённая формула Лапласа. При больших n справедливо приближённое равенство
, (3)
где Φ(х) обозначает следующую функцию
. (4)
Функция Φ(х) обладает следующими полезными для вычисления свойствами:
1. Φ(х) – нечётная функция: 
,
2. при возрастании х от 0 до ∞ функция Φ(х) растет от 0
до 0,5, причем уже при х = 5 значение функции Φ(х)
отличается от 0,5 меньше чем на 
(т.е. при 
функция Ф(x) практически равна 0,5 ).
Пример 1. Монету бросают 100 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет ровно 50 раз?
Решение. Имеем: npq = 100· 
· = 25>9. Воспользовавшись приближённой формулой (2), получим. 
. Из таблицы для функции φ(x) найдем, что φ(0) = 0,3989…. Отсюда получаем 
.
Пример 2. Доведём до конца решение задачи, приведённой в начале этого параграфа. В ней требовалось найти 
, а также вероятность P500(10≤ к ≤20).
Решение. В данном случае npq = 500·0,02=10. Воспользовавшись приближёнными формулами (2) и (3), получим: 
,
Замечание. Если мы осуществляем опыт n раз и k- число наступлений события А при этом, то, вообще говоря, дробь 
-относительная частота наступления события
А – будет близка к р (вероятности события А при одном бросании). Однако сколь тесной окажется эта близость, предугадать невозможно.
Интегральная теорема Лапласа позволяет оценить вероятность неравенства 
при достаточно больших n и значениях р не слишком близких к 0 или 1, т.е. определить вероятность 
того, что отклонение частоты 
случайного события от его вероятности р по абсолютной величине не превосходит некоторого 
. Имеем
Таким образом, получаем
(5)
Вероятность в этом случае называют надёжностью оценки , а сама оценка доверительной оценкой частоты с надёжностью .
На практике надёжность оценки задаётся заранее. Тогда по заданной надёжности можно найти соответствующее значение 
из уравнения 
с помощью таблиц функции Лапласа. В этом случае доверительная оценка с заданной надёжностью примет вид
, где 
(6)
( 
найдено из уравнения 
смотри (5)).
Это неравенство означает, что частота с заданной надёжностью должна лежать в интервале (p-ε, p+ε). Этот интервал называется доверительным интервалом.
Пример 3. Какова вероятность того, что в 10 000 независимых испытаниях частота наступления события будет иметь отклонение от его вероятности p=0,36 не более чем на 0,01?
Решение. Искомая вероятность вычисляется по формуле (5). Здесь n=10000, р=0,36, q=0,64, ε=0,01, тогда
.
Отсюда получаем:
.
Пример 4. Вероятность приёма некоторого сигнала равна р = 0,72. Определить, какое должно быть общее количество принятых сигналов, чтобы частота приёма этого сигнала отличалась от вероятности его приёма не более чем на ε =0,1 с надежностью = 0,95.
Решение: Воспользуемся формулой(5).
У нас р=0,72, q=0,28, 
По таблице для 
находим, что 
Значит t=1,96. Тогда из выражения 
находим n: 
,
откуда n≈76,8. Так как n должно быть целым, то общее количество принятых сигналов равно 77.
2. Приближённые формулы Пуассона.Точность приближённых формул Лапласа понижается по мере приближения одного из чисел р или q к нулю, поэтому, в этом случае используют приближённые формулы Пуассона. При больших n (порядка тысяч, десятков тысяч и больше) и малых р (порядка тысячных долей и меньше) справедливы приближённые равенства. Обычно условием применения этих приближений является условие npq<9.
, (7).
, (8)
где λ =np.
Особенностью формул (7) и (8) является то, что для того, чтобы найти вероятность того или иного числа успехов, вовсе не требуется знать n и р. Всё определяется числом λ=np, которое является (см. §11) средним числом успехов.
Для выражения 
, рассматриваемого как функция двух переменных к и λ, составлены таблицы значений.
Пример 5. Прядильщица обслуживает 1000 веретён. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет в пяти веретенах.
Решение. Формула Бернулли приведёт к громоздким вычислениям, поэтому воспользуемся формулой Пуассона (7). Здесь к = 5, р =0.004, n = 1000, тогда λ = np = 4.
Отсюда: 
.
Пример 6. Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице будет не менее четырёх опечаток (событие В).
Решение: Среднее количество опечаток на одну страницу есть 
. В данном случае следует применить формулу Пуассона. Тогда вероятность pк иметь к опечаток на одной странице будет равна 
.
Сумма р = p0+p1+p2+p3 есть вероятность того, что на странице окажется не более трёх опечаток. Пользуясь таблицами (или калькулятором) получаем р= 0,999996 (в данном случае мы пользовались калькулятором, таблицы дадут р =0,9048+0,0905+0,0045+0,0002=1). Вероятность того, что на случайно выбранной странице будет не менее четырёх опечаток, равна 1-р=1-0,999996=0,0000004 (таблицы дадут 1-р=1-1=0). Отсюда можно сделать вывод, что событие В практически невозможно.