Дисперсия случайной величины.

Во многих случаях возникает необходимость ввести ещё одну числовую характеристику для измерения степени рассеивания, разброса значений, принимаемых случайной величиной ξ,вокруг её математического ожидания.

Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется число.

D ξ = M(ξ-M ξ)2 . (1)

 

Другими словами, дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от её среднего значения.

Число

(2)

называется средним квадратичным отклонением

величины ξ.

Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения ξ, то число можно рассматривать как некоторую среднюю характеристику самого отклонения, точнее, величины | ξ-Mξ |.

Из определения (1) вытекают следующие два свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Это вполне соответствует наглядному смыслу дисперсии, как «меры разброса».

Действительно, если

 

ξ=С, то Mξ=C и, значит Dξ=M(C-C)2=M0=0.

 

2. При умножении случайной величины ξ на постоянное число С её дисперсия умножается на C2

 

D(Cξ)= C2 . (3)

Действительно

D(Cξ)=M(C

=M(C .

 

 

3. Имеет место, следующая формула для вычисления дисперсии:

. (4)

Доказательство этой формулы следует из свойств математического ожидания. Мы имеем:

 

4. Если величины ξ1 и ξ2 независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:

. (5)

Доказательство. Для доказательства используем свойства математического ожидания. Пусть 1=m1, 2=m2, тогда.

Формула (5) доказана.

Так как дисперсия случайной величины есть по определению математическое ожидание величины (ξ –m)2, где m=Mξ , то для вычисления дисперсии можно воспользоваться формулами, полученными в §7 гл.II.

Так, если ξ есть ДСВ с законом распределения

 

x1 x2 ...
p1 p2 ...

 

то будем иметь:

. (7)

Если ξ непрерывна случайная величина с плотностью распределения p(x), тогда получим:

= . (8)

Если использовать формулу (4) для вычисления дисперсии, то можно получить другие формулы, а именно:

 

, (9)

если величина ξ дискретна, и

= , (10)

если ξ распределена с плотностью p(x).

 

Пример 1. Пусть величина ξ равномерно распределена на отрезке [a,b]. Воспользовавшись формулой (10) получим:

Можно показать, что дисперсия случайной величины , распределенной по нормальному закону с плотностью

p(x) = , (11)

равна σ2.

Тем самым выясняется смысл параметра σ, входящего в выражение плотности (11) для нормального закона; σ ecть среднее квадратичное отклонение величины ξ.

Пример 2. Найти дисперсию случайной величины ξ, распределенной по биномиальному закону.

Решение. Воспользовавшись представлением ξ в виде

ξ=ξ1+ξ2+…+ ξn (см. пример 2 §7 гл. II) и применяя формулу сложения дисперсий для независимых величин, получим

 

Dξ=Dξ1+Dξ2+…+ Dξn .

 

Дисперсия любой из величин ξi (i=1,2,…,n) подсчитывается непосредственно:

 

i=M(ξi)2- (i)2=02·q+12p-p2=p(1-p)=pq.

 

Окончательно получаем

=npq, где q=1 – p.