Корреляционные закономерности между курсами различных валют.

 

В качестве продолжения проведённой работы, была поставлена вторая цель: найти и проанализировать зависимость между курсами валют. Зависимость одного курса от другого в банке одной страны может показаться очевидной, ведь имеются два отношения «доллар/рубль» и «евро/рубль». Но, в таком случае, выявление отклонений в зависимости «доллар/евро» точно укажет то, что на разницу в курсах влияет не только третья валюта, но и множество посторонних факторов. Многие из них учесть невозможно, но исследование в этом направлении может помочь выяснить, насколько сильно и каким образом остальные факторы влияют на отклонения в данной зависимости.

Линия регрессии, вычисленная во время исследования соотношения курсов, будет использоваться для «прогнозирования», то есть на основе этой линии и реальных данных одного курса на период, не входящий в исследуемый, будет выведен курс второй валюты, после чего сравнён с реальными данными. Это позволит определить ошибку прогнозирования и корридор курса валют в соответствии с построенной линией регрессии. Таким образом можно будет определить, в каких временных рамках влияние посторонних факторов низко, а зависимость курсов можно считать линейной.

 

Итак, для начала возьмём исходные данные: статистику курсов валют с базы данных центробанка (www.cbr.ru) за 5 первых месяцев 2009 г. Создадим из этих данных две таблицы:

Дата День недели Курс Евро
01.01.2009 Четверг 41,4275
02.01.2009 Пятница 41,4275
03.01.2009 Суббота 41,4275
04.01.2009 Воскресенье 41,4275
05.01.2009 Понедельник 41,4275
06.01.2009 Вторник 41,4275
07.01.2009 Среда 41,4275
08.01.2009 Четверг 41,4275
09.01.2009 Пятница 41,4275
10.01.2009 Суббота 41,4275
... ... ...
27.05.2009 Среда 43,4712
28.05.2009 Четверг 43,4963
29.05.2009 Пятница 43,3269
30.05.2009 Суббота 43,378
31.05.2009 Воскресенье 43,378
Дата День недели Курс Доллара
01.01.2009 Четверг 29,3916
02.01.2009 Пятница 29,3916
03.01.2009 Суббота 29,3916
04.01.2009 Воскресенье 29,3916
05.01.2009 Понедельник 29,3916
06.01.2009 Вторник 29,3916
07.01.2009 Среда 29,3916
08.01.2009 Четверг 29,3916
09.01.2009 Пятница 29,3916
10.01.2009 Суббота 29,3916
... ... ...
27.05.2009 Среда 31,1465
28.05.2009 Четверг 31,1846
29.05.2009 Пятница 31,3259
30.05.2009 Суббота 30,9843
31.05.2009 Воскресенье 30,9843

Табл. 14, 15

Можно проводить линию регрессии на основании полного набор данных, однако изначально мы не работаем для получения точных значений, поэтому требуется разбить курсы доллара и евро на соответствующие интервалы. Возьмём число интервалов и поделим соответствующие курсы на интервалы в соответствии с таблицами 2 и 3:

 

Для евро: Для доллара:

5 месяцев
41,1311 41,13 41,84 41,49
46,8392 41,84 42,56 42,20
42,56 43,27 42,91
0,7135125 43,27 43,99 43,63
44,2204404 43,99 44,70 44,34
    44,70 45,41 45,06
    45,41 46,13 45,77
    46,13 46,84 46,48
         
5 месяцев
29,3916 29,39 30,27 29,83
36,4267 30,27 31,15 30,71
31,15 32,03 31,59
0,879388 32,03 32,91 32,47
33,47334 32,91 33,79 33,35
    33,79 34,67 34,23
    34,67 35,55 35,11
    35,55 36,43 35,99
         

Табл 16, 17

Используя данные таблиц 16 и 17 требуется построить матрицу корреляции по интервалам, после чего составлять линию регрессии. Матрица корреляции представляет из себя таблицу на полей, в каждой из клеток которой записано количество дней, курсы которых попадают в соответствующий ей интервал по доллару и по евро. Однако, в рамках Excel это можно осуществить при помощи умножения двух матриц.

Дата и курс доллара 01.01.2009 02.01.2009 03.01.2009 04.01.2009 ... 31.05.2009
29,3916 29,3916 29,3916 29,3916 ... 30,9843
35,55 36,43 ...
34,67 35,55 ...
33,79 34,67 ...
32,91 33,79 ...
32,03 32,91 ...
31,15 32,03 ...
30,27 31,15 ...
29,39 30,27 ...

Табл. 18

Дата и курс 41,1311 41,8446 42,5581 43,2716 43,9852 44,6987 45,4122 46,1257
евро 41,8446 42,5581 43,2716 43,9852 44,6987 45,4122 46,1257 46,8392
01.01.2009 41,4275
02.01.2009 41,4275
03.01.2009 41,4275
04.01.2009 41,4275
… … … … … … … … … …
31.05.2009 43,378

Табл. 19

Создадим две таблицы, 8x151 и 151x8, которые будут служить нам вспомогательными матрицами. В каждой из таблиц число 151 – это число дней в исследуемом временном промежутке (5 месяцев), а 8 – число интервалов. Над каждым из 151 столбцов (151 строк соответственно во второй таблице) проставим даты и соответствующие курсы доллара (евро), а перед каждой из 8 строк (столбцов) проставим значения и для данного интервала так, как указано в таблицах 18 и 19.

Теперь, в каждой ячейке таблицы требуется определить, попадает ли соответствующий ей курс в интервал, указанный для этой ячейки. Результат выполнения условий и получаем, используя логическую функцию «ЕСЛИ» и обхединение условий «И». На выходе имеем требуемую таблицу, в которой каждому дню должна соответствовать лишь одна единица и 7 нулей (очевидно, что каждый курс может попадать лишь в один интервал).

Далее при помощи умножения матриц (именно в порядке Доллар на Евро, а не наоборот, так как в результате должна выйти матрица 8х8) мы получаем матрицу корреляции:

  Евро: 41,1311 41,8446 42,5581 43,2716 43,9852 44,6987 45,4122 46,1257  
Доллар: 41,8446 42,5581 43,2716 43,9852 44,6987 45,4122 46,1257 46,8392  
35,5473 36,4267
34,6679 35,5473
33,7885 34,6679
32,9092 33,7885
32,0298 32,9092
31,1504 32,0298
30,2710 31,1504
29,3916 30,2710
   

Табл. 20

Данная корреляционная матрица может быть переведена в графический вид. Если на коориднатной плоскости, по оси которой отмечается курс евро, а по оси – курс доллара, отметить пары курсов за каждые сутки, после чего поделить плоскость по осям на данные интервалы, то в каждую из образовавшихся ячеек войдёт указанное в таблице количество точек. Для провеврки: суммарное количество точек должно соответствовать количеству дней в исследуемом интервале. Если нет, то имеет смысл пересмотреть правильность выполнения предыдущих пунктов.

По данным таблицы 20 можно построить линию регрессии. Для этого для каждого интервала по евро и по доллару определяем среднее арифметическое (середину интервала) , , а для доллара определяем математическое ожидание в соответствующем интервале евро, , где - это ячейка таблицы или количество дней, попавшее в соответствующие интервалы по евро и доллару. Получаем таблицу значений:

41,4879 42,2014 42,9149 43,6284 44,3419 45,0554 45,7689 46,4824
30,0825473 32,344 32,294 32,323 33,653 34,846 34,952 35,987

Табл. 21

Линия регрессии определяется двумя коэффициентами и в уравнении . В данном случае выступает в роли , а в роли . Эти коэффициенты можно определить при помощи графиков Excel. Для этого достаточно построить точечную диаграмму по данным таблицы 21, добавить в него линию тренда и включить опцию «отображать уравнение» в настройках линии тренда. Можно воспользоваться статистическими формулами и при помощи функций «КОВАР», «ДИСПР» и «СРЗНАЧ» определить коэффициенты по формулам: , , где - это дисперсия значений , а – ковариация между и . Таким образом имеем полученные коэффициенты:

1,057184
-13,1902

Табл. 22

Теперь выпишем реальные данные за Июнь 2009 г. в отдельную таблицу, рядом добавим дополнительные столбцы, которые будут отражать расчётный курс доллара на этот месяц по коэффициентам из таблицы 22 и реальным данным евро и ошибку в расчётах на основе реальных данных по доллару на этот месяц:

Дата Курс Евро Курс доллара реальный Курс расчётный Ошибка
01.06.2009 43,378 30,9843 32,6683447 -1,6840447
02.06.2009 43,4875 30,7441 32,78410637 -2,0400064
03.06.2009 43,4152 30,7321 32,70767195 -1,975572
04.06.2009 43,649 30,5131 32,95484161 -2,4417416
05.06.2009 43,8542 30,8767 33,1717758 -2,2950758
06.06.2009 43,6009 30,6919 32,90399105 -2,212091
07.06.2009 43,6009 30,6919 32,90399105 -2,212091
08.06.2009 43,6009 30,6919 32,90399105 -2,212091
09.06.2009 43,328 31,0751 32,61548549 -1,5403855
10.06.2009 43,4909 31,2637 32,78770079 -1,5240008
11.06.2009 43,5895 30,9277 32,89193915 -1,9642391
12.06.2009 43,3546 30,9124 32,64360659 -1,7312066
13.06.2009 43,3546 30,9124 32,64360659 -1,7312066
14.06.2009 43,3546 30,9124 32,64360659 -1,7312066
15.06.2009 43,3546 30,9124 32,64360659 -1,7312066
16.06.2009 43,2958 31,1548 32,58144416 -1,4266442
17.06.2009 43,3511 31,3185 32,63990645 -1,3214064
18.06.2009 43,2796 31,1297 32,56431778 -1,4346178
19.06.2009 43,434 31,0998 32,72754701 -1,627747
20.06.2009 43,3914 31,1541 32,68251097 -1,528411
21.06.2009 43,3914 31,1541 32,68251097 -1,528411
22.06.2009 43,3914 31,1541 32,68251097 -1,528411
23.06.2009 43,3216 31,2408 32,60871951 -1,3679195
24.06.2009 43,7556 31,5765 33,06753744 -1,4910374
25.06.2009 43,9274 31,1365 33,24916168 -2,1126617
26.06.2009 43,5728 31,2037 32,87428417 -1,6705842
27.06.2009 43,6965 31,1184 33,00505786 -1,8866579
28.06.2009 43,6965 31,1184 33,00505786 -1,8866579
29.06.2009 43,6965 31,1184 33,00505786 -1,8866579
30.06.2009 43,8191 31,2904 33,13466863 -1,8442686

Табл. 23

Как видно по таблице 23, расчётный курс на каждый день оказался гораздо выше реального, что может быть обусловлено разнообразными причинами. Вероятно, что линейная регрессия по 5-и месяцам даёт слишком большую ошибку, поэтому можно уменьшить исследуемый промежуток до 4-ёх или 3-ёх месяцев. Для этого потребуется повторить все действия, начиная с формирования интервалов и заканчивая корреляционной таблицей. В итоге можно получить следующие результаты:

Курс по 5 месяцам Курс по 3 месяцам Курс по 4 месяцам Ошибка 5 месяцев Ошибка 3 месяца Ошибка 4 месяца
32,6683447 32,3189752 32,59936249 -1,6840447 -1,334675199 -1,615062492
32,78410637 32,45399694 32,70034908 -2,0400064 -1,709896938 -1,956249075
32,70767195 32,3648456 32,63367026 -1,975572 -1,632745598 -1,901570263
32,95484161 32,65313859 32,84929276 -2,4417416 -2,140038591 -2,336192758
33,1717758 32,90616563 33,03853885 -2,2950758 -2,029465632 -2,161838849
32,90399105 32,59382767 32,80493244 -2,212091 -1,901927672 -2,113032441
32,90399105 32,59382767 32,80493244 -2,212091 -1,901927672 -2,113032441
32,90399105 32,59382767 32,80493244 -2,212091 -1,901927672 -2,113032441
32,61548549 32,25732144 32,5532499 -1,5403855 -1,182221436 -1,478149897
32,78770079 32,45818939 32,70348473 -1,5240008 -1,194489394 -1,439784732
32,89193915 32,57977061 32,79441877 -1,9642391 -1,652070614 -1,86671877
32,64360659 32,29012124 32,5777818 -1,7312066 -1,377721238 -1,665381797
32,64360659 32,29012124 32,5777818 -1,7312066 -1,377721238 -1,665381797
32,64360659 32,29012124 32,5777818 -1,7312066 -1,377721238 -1,665381797
32,64360659 32,29012124 32,5777818 -1,7312066 -1,377721238 -1,665381797
32,58144416 32,21761641 32,52355339 -1,4266442 -1,062816413 -1,368753385
32,63990645 32,28580547 32,57455392 -1,3214064 -0,967305475 -1,256053916
32,56431778 32,19764059 32,5086129 -1,4346178 -1,067940594 -1,378912905
32,72754701 32,38802741 32,6510086 -1,627747 -1,288227413 -1,551208599
32,68251097 32,33549841 32,61172067 -1,528411 -1,181398407 -1,457620667
32,68251097 32,33549841 32,61172067 -1,528411 -1,181398407 -1,457620667
32,68251097 32,33549841 32,61172067 -1,528411 -1,181398407 -1,457620667
32,60871951 32,24942975 32,54734748 -1,3679195 -1,008629755 -1,306547485
33,06753744 32,78458441 32,94760481 -1,4910374 -1,208084413 -1,371104811
33,24916168 32,99642674 33,10604769 -2,1126617 -1,85992674 -1,969547688
32,87428417 32,55917826 32,77901716 -1,6705842 -1,355478257 -1,575317163
33,00505786 32,71170967 32,89309972 -1,8866579 -1,593309665 -1,774699723
33,00505786 32,71170967 32,89309972 -1,8866579 -1,593309665 -1,774699723
33,00505786 32,71170967 32,89309972 -1,8866579 -1,593309665 -1,774699723
33,13466863 32,86288469 33,00616781 -1,8442686 -1,572484691 -1,715767807

Табл. 24

Как видно из таблицы 24, ошибки заметно уменьшаются в зависимости от того, как уменьшается интервал. Это совсем не значит, что минимальный интервал даст наибольшую точность, однако промежуток в 3 месяца (сезон) может быть наиболее точным и рациональным в отношении прогнозирования зависимости курсов на будущее.

Конечно же, используя данные по курсам трудно сделать прогноз, если нет никаких данных. Однако, данная методика может помочь в планировании, так как по вычисленной ошибке при помощи методики Пирсона можно определить примерный корридор курса нужной валюты и, опираясь на минимум или максимум рамок этого корридора можно обезопасить себя от рисков. Однако, эти данные не позволяют делать полноценный прогноз, так как определить один курс, не зная второго, при помощи регрессии невозможно. Однако, продолжая исследования в этой области, есть возможность найти определённые тенденции изменения ошибок по месяцам, неделям и даже дням, тем самым определить направление движения курса в ту или иную сторону.