ЗАНЯТИЕ № 3. Расчет систем с резервированием

 

Пример 1. Система содержит n=3 одинаковых элемента – один основной и два резервных (кратность резервирования 2). Интенсивность отказов каждого элемента λ= 0,05 1/час. Постоянное резервирование без перераспределения нагрузки или замещением с нагруженным резервом.

Найти вероятность безотказной работы системы и интенсивность отказов при t= 10,20, 50, 100 час, а также среднее время безотказной работы.

Используемые формулы

 

 

t,час Rрез λ, /1час R̃рез λ̃, /1час
0,939 0,015 0.986 0,00385
0,747 0.0296 0,92 0,01
0.227 0,0458 0,544 0,0236
0,02 0,0497 0,125 0.0338

 

 

Для одного элемента

 

T0 = 20 час

 

Tрез = 20(1+1/2+1/3)= 36,7 час █

 

Пример 2.Теже данные, только резерв активный ненагруженный. Найти те же показатели

 

Используемые формулы

 

R̃рез (t) =

 

λ̃рез (t) = .

См. таблицу.

T̃рез = nT0 = 3∙20= 60 час █

 

Пример 3. Определить кратность m постоянного резервирования, обеспечивающую вероятность безотказной работы элемента 0,96 в течение t=150 час. Среднее время безотказной работы элемента T0 =300 час. Рассмотреть два варианта: а) экспоненциальный закон и б) закон Рэлея для времени безотказной работы.

 

Независимо от закона распределения

 

,

где – вероятность безотказной работы системы с резервом, R(t) – вероятность безотказной работы элемента, а n – общее число элементов в системе (n= m+1). Отсюда

 

Для варианта а)

 

, где λ=1/T0 .

, и

=2,45.

Следует взять m = 3.

Для варианта б)

 

, = 0,822, и

= 0,87.

Достаточно взять m = 1.

 

Отметим влияние закона распределения времени безотказной работы.▲

 

Пример 4. Система электроснабжения состоит из n=4 генераторов мощностью 18 кВт каждый. Необходимо не менее 30 кВт. Интенсивность отказов каждого генератора λ= 0,15∙10-3 1/час. Найти вероятность безотказной работы за время t=600 час и среднее время безотказной работы.

 

Обозначим через p вероятность безотказной работы одного генератора за время t. В случае экспоненциального закона

p = e-λt .

Для безотказной работы системы необходимо не менее двух работоспособных генераторов (или допустим отказ не более 2-х).

 

.

Находим для t= 600 час

= 0,9139

и далее

 

Среднее время безотказной работы найдем по формуле (для случая экспоненциального распределения c интенсивностью отказов λ)

 

,

где k – минимально допустимое число работоспособных элементов. После подстановок получим

Tрез = 103/0,15∙(1/2+1/3+1/4)= 7220 час.

 

Без резерва λ = 0,3∙10-3 ; R(600) = e-0,18 = 0,835; T = 3333 час. ▲

 

Пример 5. Интенсивность отказов блока λ1= 10-4 1/час. Что лучше: применить ненагруженный резерв в виде такого же блока или другой блок с интенсивностью отказов λ2= 10-5 1/час (стоимость одинакова). Сравнение провести по вероятности безотказной работы в течение 103, 5∙103, 104 час.

 

t, час
103 e-0,1(1+0,1)=0,9953 e-0,01 =0,990
5∙103 e-0,5(1+0,5)=0,9075 e-0,05 =0,9512
104 e-1(1+1)= 0,7358 e-0,1 = 0,9048

 

Для t = 5∙103 и 104 час лучше другой блок. ▲

 

 

Пример 6. Система питания состоит из выпрямителя, работающего от сети (λ1= 0,3∙10-3 1/час) и резервного аккумулятора (λ2= 5∙10-3 1/час). Резерв считать ненагруженным. Найти вероятность безотказной работы в течение t= 100 час. Сравнить с вероятностью безотказной работы нерезервированной системы.

 

=

 

= =

 

= .

Для нерезервированной системы

 

R(t) = e-0,03 = 0,9704. ▲