Для знаходження прибутку після 4-го року діяльності необхідно пам’ятати, що до цієї суми додається максимальний прибуток, отриманий після 5-го року діяльності.
РОБОЧА ПРОГРАМА
ТА
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до виконання контрольних робіт
з дисципліни
„Основи теорії систем і управління”
Для студентів заочної форми навчання
Фахове спрямування «Організація та регулювання
дорожнього руху», «Організація перевезень і управління
на автомобільному транспорті»,
«Організація міжнародних перевезень»,
Затверджено
на засіданні навчально-методичної Ради
Національного транспортного університету
протокол № від 11 р.
Київ НТУ 2011
Робоча програма та методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни «Основи теорії систем і управління»” для студентів фахового спрямування «Організація та регулювання дорожнього руху», «Організація перевезень і управління на автомобільному транспорті», «Організація міжнародних перевезень» та «Організація митного контролю на транспорті» заочної форми навчання / Укл. С.Д.Радкевич, Лановий О.Т., О.Д.Гульчак, Є.М.Шапенко. – К.: НТУ, 2011. – с.
Укладачі: доц. Радкевич С.Д., доц. Гульчак О.Д., проф. Лановий О.Т.
Відповідальний за випуск
РОБОЧА ПРОГРАМА ДИСЦИПЛІНИ
"ОСНОВИ ТЕОРІЇ СИСТЕМ І УПРАВЛІННЯ"
Мета та задачі курсу.
Дисципліна "Основи теорії систем і управління" відноситься до циклу фундаментальних дисциплін і є базовою для вивчення багатьох курсів, що формують фахівців напрямку “Транспортні технології”.
Метою викладання дисципліни "Основи теорії систем і управління" є опанування сучасною теорією організаційних систем і системного аналізу стосовно транспортних систем і технологій. Після вивчення цієї дисципліни студент має знати:
- основні поняття і положення систем;
- методологію системного аналізу;
- методи формалізації систем;
- методи прийняття рішень в умовах невизначеності згідно з прийняти
критерієм ризику.
Студент повинен вміти:
- використовувати системний підхід до формування структури та вибору елементів системи;
- знаходити математичні моделі складних об’єктів та систем;
- застосовувати імітаційне моделювання при вирішенні задач аналізу та синтезу систем масового обслуговування;
- вирішувати задачі оптимального розподілу ресурсів для розвитку транспортних систем і підприємств із застосуванням лінійного і динамічного програмування.
Програмою передбачено викладання лекцій з основних теоретичних розділів курсу, проведення практичних робіт з метою засвоєння методів аналізу і синтезу організаційних систем, що найчастіше використовуються в транспортних системах.
ЗМІСТ ДИСЦИПЛІНИ
Теоретична частина
Тема 1. Основні поняття курсу і визначення організаційних систем
Об'єкти системного вивчення. Цілі та задачі курсу. Концептуальні і методологічні основи систем.
Спектр дисциплін, що складають базу дисципліни. Місце курсу “Основи теорії систем і системного аналізу” в загальній проблемі формування спеціалістів напрямку “Транспортні системи і технології”.
Поняття системи. Їх види. Ієрархічний принцип побудови систем. Принцип зворотнього зв’язку як фундаментальний принцип створення технічних і організаційних систем.
Тема 2. Розробка моделей систем
Поняття системного підходу до створення систем. Визначення та основні принципи системного підходу. Відмінність системного підходу від “класичного” підходу до формування систем на основі методу індукції. Приклади застосування системного підходу.
Тема 3. Синтез оптимальних організаційних систем.
Основні задачі аналізу і синтезу складних організаційних систем. Узагальнені показники їх функціонування, Аналіз і синтез систем в умовах невизначеності. Основні етапи створення систем.
Моделі організаційних систем , їх види. Методи отримання моделей систем. Метод “чорної скриньки” як універсальний метод формалізації систем в умовах впливу випадкових збурень і управлінь.
Тема 4. Основні принципи управління складними системами.
Основи динамічного програмування (ДП). Декомпозиція задач ДП за етапами, їх оптимізація. Пряма та зворотня прогонка моделі ДП. Приклади застосування ДП в транспортних системах організаційного управління.
Основи управління організаційними системами, їх порівняльна характеристика. Узагальнена структура систем організаційного управління. Приклади реалізації різних принципів управління в транспортних системах.
Практичні заняття
Тема 1. Лінійні однофакторні регресійні моделі.
Побудова лінійних регресійних моделей з одним незалежним фактором впливу Х на залежну величину У з використанням методу найменших квадратів.
Аналіз отриманих моделей із застосуванням дисперсій та коефіцієнта кореляції (тіснота зв’язку між Х та У).
Тема 2. Багатофакторні лінійні регресійні моделі.
Побудова лінійних регресійних моделей з двома незалежними факторами впливу Х1 та Х2 на залежну величину У з використанням методу найменших квадратів та з подальшим аналізом отриманих моделей із застосуванням дисперсій та коефіцієнтів кореляції та детермінації (тіснота зв’язку між Х1, Х2 та У).
Побудова трифакторної лінійної регресійної моделі здійснюється із залученням програмного середовища «Mathcad» з подальшим дослідженням отриманих моделей.
Тема 3. Управління в організаційних системах.
Моделі організаційних систем, їх види. Методи отримання моделей систем. Управління системами із значним впливом зовнішнього середовища – управління по збуренню.
Управління системами на мікрорівні, тобто з подальшою корекцією управлінських рішень.
Тема 4. Основні принципи управління складними системами.
Застосування методів динамічного програмування в транспортних системах організаційного управління. Задачі розподілу ресурсів за різних економічних умов:
- задача розподілу ресурсів у випадку відрахування щорічних прибутків підприємств у головну організацію;
- задача розподілу ресурсів у випадку відрахування прибутків у головну організацію на певних роках та вкладання їх в подальше виробництво цих підприємств;
- вироджена задача – це коли прибутки щорічно вкладаються у виробництво.
РОЗПОДІЛ БАЛІВ ПРИ РЕЙТИНГОВІЙ СИСТЕМІ ОЦІНЮВАННЯ З
НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ « ОСНОВИ ТЕОРІЇ СИСТЕМ І УПРАВЛІННЯ»
| Кількість балів за | С е м е с т р V | |||||||||||
| Модуль 1 | ||||||||||||
| - модуль | ||||||||||||
| - змістовні модулі | ЗМ 1 | ЗМ 2 | ЗМ 3 | Сума (до 40) | Модульний контроль (до 60) | Рейтинговий показник (до 100) | ||||||
| у тому числі | ||||||||||||
| За видами робіт | лекції | Практичні та лабораторні заняття | консультації | лекції | Практичні та лабораторні заняття | консультації | лекції | Практичні та лабораторні заняття | консультації | |||
| відвідування | ||||||||||||
| активність | ||||||||||||
| Поточна оцінка знань |
Загальні принципи розподілу балів:
- бали за присутність студента-заочника на заняттях настановної та заліково-екзаменаційної сесії, а також на консультаціях в семестрі (сукупна максимальна кількість балів 10);
- бали за активність на заняттях та консультаціях в семестрі (макс. 10 балів);
- сукупна оцінка знань програмного матеріалу за семестр (максимум 80 балів).
Ця оцінка складається з:
- сукупної оцінки поточних контролів (максимум 20 балів);
- оцінка модульного контролю (максимум 60 балів);
Сумарна кількість набраних балів за вивчення дисципліни в семестрі – 100 балів. Облік відвідування студентами заочниками аудиторних навчальних занять та консультацій, а також кількість балів, одержаних ними за виконання окремих елементів змістових модулів, ведеться викладачами, які проводять певні види занять у робочих журналах викладачів та журналах обліку роботи академічних груп.
Методичні вказівки
до виконання контрольної роботи
І. До побудови лінійних регресійних моделей систем
1. Побудова лінійної регресійної моделі з одним фактором.
Розглянемо методику отримання цих моделей, загальний вигляд якої має вигляд:
y(x) = bo + b1·x, (1)
де bo - вільний член;
b1 - коефіцієнт впливу x на y (повний параметр регресії).
В завданні, що пропонується студенту, необхідно чисельно визначити значення bo та b1.
На координатній площині У0Х наносяться точки з координатами (хi,yi)
( 
), де N - число вибірки (розмір масивів чисел yi та xi). На отриманому полі, що називається кореляційним, проводиться пряма лінія y(x) таким чином, щоб відхилення yi від цієї лінії відповідали умові:
U = 
[yi – yт(xi)]2 = min, (2)
де yт(xi) - значення y (теоретичні), отримані з допомогою (1) при підстановці в цю формулу x = xi.
Особливо відмітимо, що пряма y(x) зовсім необов'язково повинна проходити через будь-яку експериментальну точку yi, але сума квадратів відхилень yi від y(xi) при цьому має бути мінімальною. Якщо вираз у формулі (2) поділити на N, то отримаємо більш зрозумілу умову:
U' = 
[yi - y(xi)]2 = min (3)
у вигляді вимоги забезпечення мінімуму дисперсії відхилень yi відносно лінійної математичної регресійної моделі y(x). Тому цей метод пошуку оптимального розташування y(x) на регресійному полі має назву «метод мінімізації середнього квадрату», або «метод мінімізації дисперсії відхилень», або «метод найменших квадратів» (МНК).
Щоб забезпечити умову (2), необхідно взяти похідну від U по параметрах b0 та b1, прирівняти її нулю. Отже:
U = [yi - (bo + b1·x)]2;
звідси отримаємо наступну систему рівнянь:
(4)
Розв'язок цієї системи відносно bо та b1 здійснюється за допомогою правил Крамера чи Дулітла, в результаті чого отримаємо наступні формули:
(5)
Якщо помножити вираз у формулі (5) для b1 на (-1) та поділити чисельник і знаменник на N, то можна отримати іншу форму запису цієї формули, більш зручну для користування.
(6)
Після закінчення розрахунків bо та b1 проводиться перевірка гіпотези про лінійність зв'язку між y та x за допомогою коефіцієнта лінійної кореляції R - оцінка отриманої моделі на адекватність статистичним даним:
(7)
Чим ближче значення /R/ до одиниці, тим вірогідніша лінійність y(x). При цьому знак R визначається знаком коефіцієнта b1 (якщо b1>0, то і R > 0 і навпаки). Вважається, що лінійна модель якнайкраще описує досліджуваний процес, якщо 0,7≤R ≤1 чи -1≤R ≤-0,7.
Приклад.
Математична модель, що є лінійною моделлю з двома змінними (факторами) y(x1;x2), має вигляд:
y = bo + b1·x1 + b2·x2. (8)
Зробивши висновки, аналогічні для моделі y(x), можна отримати систему рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів bo, b1, b2 у вигляді:
(x'1i)2 b1 + (x'1ix'2i)b2 = (x'1iy'i)
(x'2ix'1i)b1 + (x'2i)2 b2 = (x'2iy'i) (9)
де:
x'1iy'i = (x1iyi) – N 
(10)
(x'1i)2 = (x1i)2 – N( 
)2 (11)
x'2iy'i = (x2iyi) – N 
(12)
x'1ix'2i = (x1ix2i) –N 
(13)
(x'2i)2 = (x2i)2 – N ( 
)2 (14)
Після того, як величини, що входять в формули (10) - (14) розраховані, розв'язується система рівнянь (9) відносно bo, b1, b2 за допомогою правила Крамера.
Коефіцієнт b1 в моделі y = bo + b1x1 носить назву "повний коефіцієнт регресії", який відображає вплив x1 на y без урахування впливу x2 на y (цей вплив враховується певним чином в значенні b1).
Напроти, коефіцієнт b1 в моделі y = bo + b1·x1 + b2·x2 носить назву "частинний коефіцієнт регресії" (іноді - "чистий коефіцієнт регресії"), який відображає тільки вплив x1 на y, виключаючи повністю вплив x2 на y. Те ж саме стосується коефіцієнта b2. Тому потрібно пам'ятати, що врахування найбільшої (в розумних межах) кількості змінних поліпшує точність оцінки впливу кожної з розглянутих змінних.
Аналіз отриманих моделей.
Для оцінки моделей з багатьма змінними, а також з однією змінною, застосовуються наступні показники варіації:
1) Загальна дисперсія:
(15)
2) Факторна дисперсія, що відображує вплив тільки тих змінних, які розглядаються:
(16)
3) Залишкова дисперсія (дисперсія помилок моделі):
(17)
або в більш спрощеному вигляді
(18)
Відношення
(19)
називається коефіцієнтом детермінації (у випадку лінійної множинної регресії) або індексом детермінації (у випадку нелінійної множинної регресії). Фізично він характеризує частку впливу вибраних змінних хj в загальній варіації у.
(20)
де R – коефіцієнт множинної кореляції (або індекс кореляції для нелінійної регресії). Значення цього коефіцієнта, розрахованого за даною формулою (21), співпадає зі значенням R, розрахованим за формулою (9) для лінійної парної регресії. З урахуванням того, що 
, маємо ще одну розрахункову формулу:
(21)
тобто коефіцієнт кореляції розраховується по дисперсії помилок моделі 
і по загальній дисперсії 
. Розглянемо даний матеріал на конкретному прикладі.
Приклад. Визначити регресійну модель впливу капіталовкладень в розвиток виробництва (х1), розміру основного капіталу (х2) ті чисельності працюючих (х3) на прибуток, який отримає підприємство після року своєї діяльності, (у). Експериментальні дані отримані в результаті огляду семи аналогічних підприємств і занесені в таблицю (N=7).
| У(тис.у.о.) | |||||||
| Х1(тис.у.о.) | |||||||
| Х2(тис.у.о.) | |||||||
| Х3(тис.у.о.) |
Проведемо послідовний аналіз впливу:
1) капіталовкладень х1 на прибуток у (перша модель); 2) капіталовкладень х1 і основних фондів х2 на прибуток у (друга модель); 3) всіх трьох змінних х1, х2 і х3 на у (третя модель); і прослідкуємо як при цьому змінюються параметри моделі (чисті коефіцієнти регресії) і показники точності отриманих моделей. Розрахунок виконаний ПЕОМ із застосуванням програми “MATНCAD-2”. Приведемо деякі розраховані дані:
Для І моделі: 
маємо:
тоді
Для розрахунків дисперсій визначимо за отриманою моделлю значення 
і для порівняння з експериментальними даними занесемо їх в таблицю:
| уі | |||||||
|
| 586,63 | 796,57 | 838,563 | 628,62 | 736,575 | 964,526 |
Застосовуючи формули (16), (17), (19) і (20), визначимо:
В дужках розраховані значення середньо квадратичних відхилень:
Для ІІ моделі: 
маємо:
; тоді
Представимо аналогічну таблицю:
| уі | |||||||
|
| 589,874 | 753,461 | 825,904 | 645,904 | 821,079 | 950,258 |
і відповідні оцінки дисперсій та середньо квадратичних відхилень:
Оскільки s 
(ІІ) < s (І), а R(ІІ) > R(І), то можна зробити висновок, що ІІ модель більш точно описує модель в загальному вигляді.
Для ІІІ моделі: 
маємо:
; тоді
Таблиця матиме вигляд:
| уі | |||||||
|
| 588,965 | 761,953 | 824,986 | 649,087 | 813,515 | 936,371 |
Відповідні значення :
Оскільки s (ІІІ) < s (ІІ), а R(ІІІ) > R(ІІ), значить дана модель більш точно описує взаємозв’язки в даному об’єкті. Те, що а3 < 0, означає неефективне використання чисельності працівників, або безпідставно збільшена заробітна плата (в межах тих даних, на яких базується даний аналіз).
2. Загальна теорія систем.
Будь-яка система управління (як технічна, так і організаційна) базується на двох основних принципах управління:
- управління по збуренню;
- управління по відхиленню.
Можлива побудова системи з використанням обох принципів одночасно, - така система є комбінованою. Кожен об'єкт управління має: змінну, якою управляють (φ); змінну, яка управляє (μ); збурення (λ).
Система управління по збуренню. Структурна схема системи, що реалізує принцип управління по збуренню має наступний вигляд:
 |
Рис.1. Структурна схема системи управління по збуренню λ.
На рис.1 зображено: OY – об'єкт управління, що має вихідну змінну φ (наприклад, власний обсяг продажу), та дві вхідні змінні: μ – змінна, яка управляє (наприклад, ціна продажу), і λ – збурення, що впливє на φ, але не залежить від μ (наприклад, обсяг продажу конкурентів); Кр – регулятор (наприклад, регулятор ціноутворення), який змінює μ залежно від відхилення (ε) між завданням на продаж ψ та інформацією (λn) про збурення λ, що має місце на поточний час; компаратор ε = (ψ – λn), який порівнює ψ з λn та впливає на рішення про змінення змінної, яка керує (μ).
Коефіцієнти, що знаходяться в квадратах-блоках системи, означають відповідно:
Кλ – коефіцієнт впливу λ на λn, тобто λn = Кλ λ (якщо інформація про λ
надходить без перекручень, то Кλ = 1);
Кр – коефіцієнт впливу ε на μ, тобто μ= Кр ε = Кр(ψ – λn);
К1 та К2 – відповідно коефіцієнти впливу μ та λ на φ, тобто φ= К1μ + К2λ. По суті, φ = К1μ+ К2λ представляє собою лінійну математичну модель системи (наприклад, системи збуту автомобілів, якщо вважати К1 = – а та К2= – b).
Враховуючи сказане вище, можна визначити залежність φ від ψ та λ таким чином:
φ= К1μ+ К2λ = К1Кр(ψ – λn) + К2λ = К1Кр(ψ – Кλ·λ) + К2λ =
= К1Крψ – К1КрКλ·λ + К2λ
Накінець матимемо:
ψ= К1Крψ – (К1КрКλ – К2)λ (22)
Щоб забезпечити незалежність φ від λ, необхідне виконання умови К1КрКλ – К2 = 0, тобто КрКλ = К2 / К1. Якщо прийняти Кλ = 1 (інформація надходить без перекручень), то матимемо:
Кр =К1 / К2, (2) (23)
тобто необхідну величину коефіцієнта Кр, що забезпечить незалежність φ від λ.
Таким чином, маючи модель системи збуту автомобілів, як вказано в одному з варіантів завдання, можна визначити необхідне значення коефіцієнта ціноутворення Кр, який забезпечує незалежність власного обсягу продажу від обсягу продажу конкурентів шляхом відповідної зміни вартості продажу. Студенту залишається тільки правильно визначити, чи відповідає його варіант завдання розглянутому типу системи.
Система управління по відхиленню. На відміну від попереднього типу систем управління, системи цього типу мають безпосередній зв'язок змінної, якою управляють (φ), з компаратором системи (так званий зворотній зв'язок виходу зі входом). Структурна схема систем цього типу представлена на рис.2.
Рис.2. Структурна схема системи управління по відхиленню ε.
Позначення елементів системи прийняти ті ж, що і в попередній системі. Згідно з рис.2 зміна значення змінної μ, яка керує значенням φ, здійснюється з урахуванням відхилення ε= ψ – φn. Завдяки зв'язку між φn та φ, через коефіцієнт впливу Коз, система діє таким чином, щоб величина відхилення ε була мінімальною навіть тоді, коли має місце значне збурення λ. Відмітимо, що в першому завданні цієї самостійної роботи є як системи управління по збуренню, так і системи управління по відхиленню. Якщо запропонована система збуту автомобілів відноситься до систем цього типу (тобто керує ціною збуту згідно з коливаннями обсягу власного продажу), то в такому випадку розв'язок даної задачі необхідно проводити за допомогою формул, що приводяться нижче.
Математична модель об'єкту залишається в тому ж вигляді: φ = К1μ + К2λ, але з урахуванням ε= ψ – φn; φn = Коз·φ; μ= Кр·ε, будемо мати:
φ = 
(24)
що визначає залежність коливань φ від коливань завдання ψ та коливань збурення λ (для задачі, що пропонується в завданні, це залежність коливань обсягу продажу (Vn) від коливань завдання на продаж (ψ) та коливань обсягу продажу конкурентів (Vк). Всі ці змінні вимірюються у відсотках відхилення від сталого значення.
За допомогою формули (24) можна розрахувати коливання Vn (у відсотках) при заданих розмірах коливань Vk (у відсотках) та заданому значенні коефіцієнта регулятора ціноутворення при незмінності завдання (коли ψ = 0).
Неважко продемонструвати, що коливання ціни продажу (μ) визначається за формулою:
μ = 
(25)
При ψ = 0 можна визначити μ при заданих λ та Кр. У випадку, коли необхідно визначити коливання відхилення ε (у нашому випадку – це складські залишки непроданих автомобілів), розрахунки слід проводити за формулою:
ε = φ – φп = ψ - Козφ = 
(26)
Додамо наприкінці, що потрібно прийняти Коз = 1, якщо інформація про обсяги власного продажу надходить у систему без перекручень.
3. Задача розподілу ресурсів між підприємствами.
Типова задача динамічного програмування (ДП) – розподілити ресурси між підприємствами на початку кожного року таким чином, щоб сумарний прибуток від усієї системи підприємств за певний період (Т) був максимальний.
Крок управління – перерозподіл ресурсів на початку кожного року.
Крокове управління на і-му кроці – сукупність виділених ресурсів підприємствам на і-му році.
Стратегія управління – сукупність крокових управлінь; її ефективність оцінюється показником ефективності (наприклад, отриманим прибутком).
Розподілити ресурси оптимально в кожному році неможливо без урахування майбутніх наслідків, тому процес динамічного програмування розгортається від кінця до початку, – таким чином знаходимо умовне оптимальне управління), а потім – від початку до кінця; серед умовних знаходяться вже оптимальні управління з урахуванням результатів попереднього кроку (початкові умови наступного року).
Розглянемо дану задачу дещо в спрощеному вигляді: як систему управління (розподілу) ресурсами між двома підприємствами з використанням лінійної регресійної моделі і умови “або все – або нічого”.
Задача розподілу ресурсів. Маємо два автотранспортні підприємства, що входять до деякого автотранспортного об’єднання. Розглянемо задачу розподілу ресурсів (капіталовкладення К) між цими підприємствами на період Т = 5 років з наступними коефіцієнтами, що є коефіцієнтами лінійних регресій, які в свою чергу є моделями функцій залишку ресурсів і отриманого року діяльності підприємств:
a – коефіцієнт щорічного прибутку І-го АТП;
b – коефіцієнт щорічного прибутку ІІ-го АТП;
g – коефіцієнт амортизації використання фондів І-го АТП;
q – коефіцієнт амортизації використання фондів ІІ-го АТП;
х – сума основних фондів, що розподіляється в І-е АТП;
у – сума основних фондів, що розподіляється в ІІ-е АТП;
К = х + у – капіталовкладення на весь період Т;
j(хі) = gхі – закон зменшення початкової суми вкладених ресурсів в І-е АТП;
j(yі) = qуі – закон зменшення початкової суми вкладених ресурсів в ІІ-е АТП;
fі = j(хі) + j(yі) – залишки від вкладань після кожного року поточного періоду, що не йдуть в прибуток (zi), а перерозподіляються підприємствам на наступний рік (fі = кі+1), де хі + yі = кі (і=1,...,5) – сума капіталовкладень в обидва підприємства на кожному році періоду, що розглядається.
Оскільки хі + yі = кі , то yі = кі – хі – обсяг ресурсів, вкладених в ІІ-е підприємств ; тоді
fі = gхі + qуі = gхі + q (кі – хі) = (g – q)хі + q кі ,
тобто залишок розраховується за формулою:
fі = (g– q)хі + q кі (27)
Відповідно розпишемо розрахункову формулу одержаних прибутків:
zi = aхі + bуі = aхі + b( кі – хі) = (a– b)хі + bкі,
тобто:
zi = (a– b)хі + bкі (28)
Розподілити ресурси між підприємствами таким чином, щоб отриманий прибуток був максимальний. Розглянемо три задачі з різними умовами: прибутки після кожного року діяльності підприємств відраховуються в автотранспортне об’єднання; прибутки вкладаються кожного року в подальший розвиток підприємств; змішаний тип задачі.
1. Задача розподілу ресурсів за умови відрахування отриманих прибутків в автотранспортне об’єднання після кожного року діяльності.
Задамо вхідні дані, які або розраховуються або задаються на основі статистичних даних відповідними службами головного підприємства:
a = 0,6, b = 0,7, g = 0,8, q = 0,85, Т= 5. Якщо параметри a, b, g, q в кожному році будуть різними, то задачі такого типу називаються задачами з неоднорідними етапами.
Сума прибутку, що отримується кожного року, надходить в автотранспортне об’єднання; залишок після останнього року даного періоду до прибутку не додається. Шукаємо умовне оптимальне управління, починаючи з 5-го року.
Функціональна модель задачі:
 |
Етап 5.
Підраховуємо залишок після 5-ти років діяльності обох підприємств, що не йде в прибуток, і величину прибутку:
f5 = (g – q)х5 + q к5 = (0,8 – 0,85)х5 + 0,85к5 = – 0,05 х5 + 0,85 к5
z5 = (a– b)х5 + bк5 = (0,6 – 0,7) х5 + 0,7к5 =– 0,1 х5 + 0,7 к5
Знаходимо максимальний прибуток за принципом: одному підприємству віддати всі ресурси, іншому – нічого:
z5(max) = 
(–0,1 х5 + 0,7 к5) = 0,7 к5
Максимум досягається, якщо к5 = 0, тобто на 5-му році ІІ-му підприємству віддали всі ресурси: у5 = к5.
Етап 4.
Аналогічні розрахунки проводимо на кожному етапі.
f4 = (0,8 – 0,85)х4 + 0,85к4 = -0,05 х4 + 0,85 к4 º к5
Для знаходження прибутку після 4-го року діяльності необхідно пам’ятати, що до цієї суми додається максимальний прибуток, отриманий після 5-го року діяльності.
z4 = (a - b)х4 + bк4 + z5(max) = (0,6 – 0,7) х4+ 0,7к4 + 0,7 к5 =
– 0,1 х4 + 0,7 к4 + 0,7(-0,05 х4 + 0,85 к4) = – 0,135 х4 +1,295 к4
z4(max) = 
(– 0,135 х4 + 1,295 к4) = 1,295 к4
Виникла та ж сама ситуація, коли ІІ-му підприємству передаються всі ресурси, заплановані на 4-ий рік діяльності, а І-му – нічого, тобто у4 = к4, х4 = 0.
Етап 3.
f3 = (0,8 – 0,85)х3 + 0,85к3 = – 0,05 х3 + 0,85 к3 º к4
z3 = (a– b)х3 + bк3 + z4(max) = (0,6 – 0,7) х3+ 0,7к3 + 1,295 к4 =
– 0,1 х3 + 0,7 к3 + 1,295(– 0,05 х3 + 0,85 к3) = – 0,165 х3 + 1,8 к3
z3(max) = 
(– 0,165 х3 + 1,8 к3) = 1,8 к3
Отримали знову результат: у3 = к3, х3 = 0.
Етап 2.
f2 = (0,8 – 0,85)х2 + 0,85к2 = – 0,05 х2 + 0,85 к2 º к3
z2 = (a - b)х2 + bк2 + z3(max) = (0,6 – 0,7) х2+ 0,7к2 + 1,8 к3 =
– 0,1 х2 + 0,7 к2 + 1,8(-0,05 х2 + 0,85 к2) = - 0,19 х2 + 2,23 к2
z2(max) = 
(– 0,19 х2 + 2,23 к2) = 2,23 к2
Знову маємо незмінну картину, коли : у2 = к2, х2 = 0.
Етап 1.
f1 = (0,8 – 0,85)х1 + 0,85к1 = – 0,05 х1 + 0,85 к1 º к2
z1 = (a– b)х1 + bк1 + z2(max) = (0,6 – 0,7) х1+ 0,7к1 + 2,23 к2 =
– 0,1 х1 + 0,7 к1 + 2,23(– 0,05 х1 + 0,85 к1) = – 0,2 х1 + 2,6 к1
z1(max) = 
(– 0,2 х1 + 2,6 к1) = 2,6 к1
Висновок: Щоб отримати максимальний прибуток від обох підприємств, рівний 2,6 від суми вкладу (к1 = К), потрібно протягом всього періоду Т = 5 років вкладати кошти в ІІ-е підприємство.
2. Задача розподілу ресурсів за умови вкладання отриманих прибутків в розвиток автотранспортних підприємств після кожного року діяльнос-
ті.
Для купівлі обладнання 2-ох типів виділено К умовних одиниць. Ефективність вкладання цих ресурсів в обладнання оцінюється тим прибутком, що отримає підприємство від експлуатації цього обладнання.
Для обладнання І-го типу коефіцієнт прибутку a = 0,4; для обладнання ІІ-го типу – b = 0,42. В кінці звітного періоду (Т=3) амортизаційне обладнання реалізується за ціною: І тип g = 0,7; ІІ тип q = 0,6 від початкової вартості.
Виручені ресурси, а також отриманий прибуток знову вкладається в купівлю обладнання І-го і ІІ-го типів.
Знайти оптимальний розподіл ресурсів для їх купівлі протягом 3-х років.