Базовая математическая модель
Современные методы проектирования индукционных нагревателей базируются на использовании математических моделей взаимосвязанных процессов в электромагнитном и температурных полях различной степени точности, которые могут быть представлены как в простейшей аналитической форме, допускающей непосредственные вычисления элементарного характера, так и в виде очень сложных моделей, требующих большого объема машинного времени даже при вычислениях на компьютерах последних поколений.
Выбор определенного типа моделей в каждом конкретном случае зависит от большого числа различных факторов, включая, прежде всего, уровень сложности соответствующей инженерной задачи, требуемую точность моделирования, ограничения по затратам времени на проектирование и по стоимости проектных разработок.
Прежде чем приступить к построению математического описания исследуемых процессов, инженер должен иметь четкое представление об их базовых физических закономерностях. На этой основе он должен обосновать области применимости используемых моделей и корректность предлагаемых упрощений; охарактеризовать возможные погрешности и неточности, а также чувствительность моделей к неточности задания их параметров, таких как граничные условия, свойства нагреваемых материалов и начальное температурное состояние.
В общем случае пространственно-временное распределение температуры по объему заготовки в процессе индукционного нагрева описывается весьма сложной системой уравнения Максвелла и Фурье для электромагнитного и температурного полей:
(1.1)
; (1.2)
; (1.3)
; (1.4)
(1.5)
Здесь E – вектор напряженности электрического поля; D – вектор электрической индукции (электрического смещения); В – вектор магнитной индукции; Н – вектор напряженности магнитного поля; J – плотность тока проводимости; t – температура; 
- соответственно удельная теплоемкость, плотность и коэффициент теплопроводности нагреваемого металла; V – вектор скорости перемещения заготовки; 
- время.
В формулах (1.1)-(1.5) операции 
(ротор или вихрь векторного поля 
) и 
(дивергенция векторного поля 
, где 
определяются известными соотношениями.
(1.6)
(1.7)
где i, j, k – единичные векторы в трехмерной системе декартовых координат.
Техника вычисления электромагнитных полей зависит от способов решения уравнений Максвелла (1.1)-(1.4) для переменных электромагнитных полей.
Уравнения Максвелла имеют ясную физическую интерпретацию. Согласно (1.1), величина rot H всегда создается только при наличии токов проводимости и (или) смещения, т.е. магнитное поле создается при протекании электрических токов в близлежащих объектах.
Как следует из (1.2), причиной возникновения электрического поля является изменение во времени магнитной индукции, сопровождающееся появлением индуцированных токов в окрестности переменного магнитного поля. Знак “минус” в уравнении (1.2) определяет направление вектора Е.
Фундаментальные закономерности (1.1), (1.2) определяют физическую сущность процессов индукционного нагрева. Под действием переменного напряжения на индукторе в его обмотке возникает переменный электрический ток.
В соответствии с соотношением (1.1) в окружающем обмотку индуктора пространстве возникает магнитное поле, изменяющееся во времени с частотой источника питания, напряженность, которого зависит от величины тока в индукторе, геометрии обмотки и расстоянии от нее. Переменное магнитное поле индуцирует вихревые токи в заготовке и других телах, расположенных рядом с индуктором. Согласно (1.2), эти токи имеют одинаковую частоту и противоположное направление с током индуктора, а на основании (1.1) они создают свое собственное магнитное поле внутри заготовки, направленное встречно основному полю обмотки. Результирующее магнитное поле в системе “индуктор - металл” образуется алгебраическим сложением основного и индуцированного полей.
Как следует из (1.1), наряду с полезным эффектом при этом могут иметь место нежелательные явления нагрева различных токопроводящих узлов конструкций нагревательной установки, расположенных в непосредственной близости от индуктора.
Согласно уравнениям (1.3) и (1.4). дивергенция векторов В и Е равны нулю, и следовательно, в магнитном и электрических полях отсутствуют источники этих факторов, линии поля не имеют точек, где они начинаются или заканчиваются, и таким образом, они везде приобретают форму замкнутого непрерывного контура.
Для получения однозначного решения системы уравнений Максвелла относительно всех неизвестных, число которых превышает число уравнений, можно дополнить эту систему следующими базовыми соотношениями, выполняющимися в линейных изотропных средах.
(1.8)
(1.9)
(1.10)
С учетом (1.8) и (1.10) уравнение (1.1) принимает вид:
(1.11)
В большинстве случаев при индукционном нагреве металлических заготовок с частотой питающего тока, меньшей 100 мегагерц, плотность индуцированного тока проводимости намного больше плотности тока смещения и вторым слагаемым в правой части равенства (1.11) можно пренебречь.
Тогда вместо (1.11) получим более простое соотношение:
(1.12)
Уравнение Фурье (1.5) описывает в наиболее общем виде температурное поле в нагреваемой заготовке. Нагрев происходит за счет внутренних источников тепла, возбуждаемых индуцируемыми в заготовке вихревыми токами. Удельная мощность тепловыделения на единицу объема нагреваемого тела может быть найдена путем расчета передаваемой в заготовку энергии электромагнитного поля.
(1.13)
Теплофизические параметры 
и 
в (1.5) являются нелинейными функциями температуры. Тем не менее, на практике пренебрежение этой зависимостью для коэффициента теплопроводности в предположении 
в большинстве случаев не приводит к значительным ошибкам при моделировании температурных полей в процессах индукционного нагрева. В то же время подобная грубая аппроксимация температурной зависимости удельной теплоемкости может привести к существенным погрешностям при расчетах требуемой мощности индуктора и температурного профиля в заготовке.
Совместно с соответствующими граничными и начальными условиями уравнение (1.5) описывает трехмерное температурное распределение в любой момент времени для любой точки по объему нагреваемой заготовки.
Решение системы уравнений (1.1) – (1.5) может быть получено только численными методами. Эти методы широко и успешно используются на практике в различных задачах расчетов электромагнитных и температурных полей. Для каждой отдельно взятой или целого класса подобных друг другу задач разработано специальное программное обеспечение для качественной реализации вычислительных алгоритмов. Ни один из таких алгоритмов не является универсальным и наиболее подходящим для решения всего круга прикладных задач индукционного нагрева.