Расчет параметров аналитической кривой обеспеченности трехпараметрического гамма – распределения
Для расчетов ординат аналитической кривой обеспеченности существуют три метода: метод моментов, метод наибольшего правдоподобия и графоаналитический метод. Рассмотрим каждый из них.
· Метод моментовзаключается в том, что искомые параметры распределения выражаются через статистические моменты ряда наблюдений. Когда члены ряда располагаются симметрично относительно среднего значения, разные по величине положительные и отрицательные отклонения от среднего повторяются одинаково часто. Если положительные отклонения (многоводные годы) повторяются реже, чем отрицательные, то ассиметрия будет положительной. В противном случае наблюдается отрицательная ассиметрия.
Коэффициент вариации определяется по формулам:
при n > 30 лет; (10)
при n < 30 лет. (10а)
Коэффициент ассиметрии:
при n > 30 лет; (11)
при n < 30 лет. (11а)
Порядок выполнения расчета:
Вспомогательные расчеты для определения Cv и Cs приведены в табл.1.
Для р.Алей – с.Староалейское:
= 
,
= 
.
Среднеквадратическая ошибка определения Сv находится по формуле:
, (12) 
.
Среднеквадратическая ошибка определения Сs находится по формуле:
, (13)
При расчете коэффициента вариации Cv и коэффициента ассиметрии Cs допустимое значение среднеквадратической ошибки составляет 10-15 %.
· Метод наибольшего правдоподобиязаключается в том, что в качестве оценки для неизвестного параметра принимают такое его значение, при котором функция правдоподобия (произведение вероятностей наблюдаемых величин) достигает наибольшего возможного значения.
Согласно данного метода, коэффициент вариации Сv и соотношение коэффициента ассиметрии к коэффициенту вариации Cs/Сv определяется по номограммам (Приложение 2) в зависимости от статистик λ2 , λ3. Номограммы разработаны применительно к трехпараметрическому гамма-распределению.
Порядок выполнения расчета:
а) Вспомогательные расчеты для определения статистик λ2 и λ3 приведены в табл.1.
= 
, (14)
. (14а)
По номограммам находим : Cv = 0,3; Cs = 3,5Cv = 1,08.
б) Определяем среднеквадратическую ошибку нахождения Сv и Cs;
,
в) Сравниваются расчеты параметров аналитической кривой трех-параметрического гамма распределения в таблице 2.
Таблица 2
Расчеты параметров аналитической кривой трех-параметрического гамма распределения
| метод определения | εСv | ε Cs |
| - моментов | 13,9 | 18,5 |
| -наибольшего правдоподобия | 13,9 | 15,3 |
г) Окончательно для расчетов ординат аналитической кривойпринимается тот вариант, где ошибки имеют наименьшее значение. В нашем случае это метод наибольшего правдоподобия: Cv = 0,31; Cs = 1,08; Qo = 19,2 м3/с.
· Графоаналитический методприменяется при использовании биноминальной кривой распределения и заключается в том, что параметры аналитической кривой обеспеченности определяются в зависимости от ординат сглаженной «на глаз» эмпирической кривой обеспеченности, соответствующих заданным вероятностям превышения Р1 =5%, Р2 = 50% и Р3 = 95%.
Порядок выполнения расчета:
а) По эмпирической кривой (рис. 1) выбираются значения: Q5%, = 32,4 м3/с; Q50% = 18,0 м3/с; Q95% = 10,0 м3/с.
б) По этим значениям вычисляют коэффициент скошенности биноминальной кривой обеспеченности:
= 
. (15)
в) По таблице (Приложение 3) по значению коэффициента скошенности (S) определяем Сs, Ф5%, Ф50%, Ф95% , Ф – нормированное отклонение ординаты кривой обеспеченности:
Сs = 1,30; Ф5% = 1,92; Ф50% = -0,21; Ф95% = -1,2.
г) Коэффициент вариации Cv находится по формуле:
Cv = σQ/Qср , (16)
где σQ -среднеквадратичное отклонение.
δQ = 
. (17)
Qср – среднемноголетний расход воды, определенный графоаналитическим способом:
Qср = Q50% - δQ Ф50% = 18,0 – 7,18 (-0,21) = 19,51 м3/с , (18)
находим Сv= δQ /Qср = 7,18/ 19,515 = 0,37.
д) Среднеквадратическая ошибка нахождения Сv определяется по формуле (12):
, 
.