Количественные методы описания систем

Уровни описания систем. При создании и эксплуатации слож­ных систем требуется проводить многочисленные исследования и расчеты, связанные с оценкой показателей, характеризующих различные свойства систем; выбором оптимальной структуры системы; выбором оптимальных значений ее параметров.

Выполнение таких исследований возможно лишь при наличии математического описания процесса функционирования системы, т.е. ее математической модели.

Сложность реальных систем не позволяет строить для них "абсолютно" адекватные модели. Математическая модель описывает некоторый упрощенный процесс, в котором представлены лишь основные явления, входящие в реальный процесс, и лишь главные факторы, действующие на реальную систему.

Какие явления считать основными и какие факторы главны­ми - существенно зависит от назначения модели, от того, какие исследования с ее помощью предполагается проводить. Поэтому процесс функционирования одного и того же реального объекта может получить различные математические описания в зависи­мости от поставленной задачи.

Для построения простой и изящной ММ, обладающей до­статочной степенью адекватности реальному процессу, требуется обычно немалое искусство. Помимо интуиции и понимания стру­ктуры формализуемых явлений здесь существенную роль играет знание типичных схем и ММ, пригодных для описания различных процессов.

Так как ММ сложной системы может быть сколько угодно много и все они определяются принятым уровнем абстрагирова­ния, то рассмотрение задач на каком-либо одном уровне абстрак­ции позволяет дать ответы на определенную группу вопросов, а для получения ответов на другие вопросы необходимо провести исследование уже на другом уровне абстракции. Каждый из возможных уровней абстрагирования обладает ограниченными, присущими только данному уровню абстрагирования возмож­ностями. Для достижения максимально возможной полноты све­дений необходимо изучить одну и ту же систему на всех целесооб­разных для данного случая уровнях абстракции.

Обзор современного состояния математики и работ по теории БС позволяет утверждать, что наиболее пригодными являются следующие уровни абстрактного описания систем: символический; теоретико-множественный; абстрактно-алгебраический; топологический; логико-математический; теоретико-информационный; динамический; эвристический.

Условно первые четыре уровня относятся к высшим уровням описания систем, а последние четыре - к низшим.

Высшие уровни описания систем. Лингвистический уро­вень описания - наиболее высокий уровень абстрагирования. Из него как частные случаи можно получить другие уровни абстрактного описания систем более низкого ранга. Процесс формализации в математике обычно понимают как отвлечение от изменчивости рассматриваемого объекта. Поэтому формаль­ные построения наиболее успешно используются, когда удается с предметами или процессами действительности каким-то об­разом сопоставлять некоторые стабильные, неизменные понятия.

В силу этого становится возможным выявить взаимоотношения, существующие между этими понятиями, и тем самым вскрыть связи, наблюдаемые в реальной действительности. Для обозначе­ния вводимых понятий используют те или иные правила опери­рования с ними. Некоторая совокупность символов и правил пользования ими образует абстрактный язык.

Понятие о высказывании на данном абстрактном языке оз­начает, что имеется некоторое предложение (формула), построен­ное на правилах данного языка. Предполагается, что эта фор­мула содержит варьируемые переменные, называемые конститу­энтами, которые только при определенном их значении делают высказывание истинным.

Все высказывания делят обычно на два типа. К первому при­числяют "термы" (имена предметов, члены предложения и т. д.) - высказывания, с помощью которых обозначают объекты ис­следования, а ко второму - "функторы" - высказывания, опре­деляющие отношения между термами.

С помощью термов и функторов можно показать, как из лингвистического уровня абстрактного описания (уровня высше­го ранга) как частный случай возникает теоретико-множествен­ный уровень абстрагирования (уровень более низкого ранга).

Термы - некоторые множества, с помощью которых перечи­сляют элементы, или, иначе, подсистемы изучаемых систем, а фу­нкторы устанавливают характер отношений между введенными множествами. Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящимися в некоторых отношени­ях между собой и элементами других множеств. Следовательно, автоматизированные системы управления (АСУ) вполне подхо­дят под .такого рода определение понятия "множество". Это доказывает, что построение сложных систем на теоретико-мно­жественном уровне абстракции вполне уместно и целесообразно.

На теоретико-множественном уровне абстракции можно по­лучить только общие сведения о реальных системах, а для более конкретных целей необходимы другие абстрактные модели, кото­рые позволили бы производить более тонкий анализ различных свойств реальных систем. Эти более низкие уровни абстрагирова­ния, в свою очередь, являются уже частными случаями по от­ношению к теоретико-множественному уровню формального описания систем.

Если связи между элементами рассматриваемых мно­жеств устанавливаются с помощью некоторых однозначных фун­кций, отображающих элементы множества в само исходное мно­жество, то приходим к абстрактно-алгебраическому уров­ню описания систем. В таких случаях говорят, что между элементами множеств установлены нульарные, унарные, бинарные, тернар­ные отношения и т. д. Если же на элементах рассматриваемых множеств определены некоторые топологические структуры, то в этом случае приходим к топологическому уровню абст­рактного описания систем.

Низшие уровни описания систем. Логико-математический уровень описания систем нашел широкое применение для формализации функционирования автоматов, задания условий функционирования автоматов, изучения вычислительной способ­ности автоматов. Абстрактно автомат можно предста­вить как некоторое устройство, имеющее конеч­ное число входных и выходных каналов и некоторое множество внутренних состояний. На входные каналы извне поступают сиг­налы, и в зависимости от их значения и от того, в каком состоянии автомат находился, он переходит в следующее состо­яние и формирует сигналы на свои выходные каналы. С течением времени входные сигналы изменяются, соответственно изменя­ется состояние автомата и его выходные каналы.

При любом процессе управления происходит переработка входной информации в выходную. Поэтому при теоретико-информа­ционном уровне абстрактного описания систем инфор­мация выступает как свойство объектов и процессов порождать многообразие состояний, которые посредством от­ражения передаются от одного объекта к другому и запечатлева­ются в его структуре. Отображение множества состояний источника во множество состояний носителя информации называется способом кодирова­ния, а образ состояния при выбранном способе кодирования - кодом этого состояния.

Динамический уровень абстрактного описания систем связан с представлением системы как некоторого объекта, куда в определенные моменты времени можно вводить вещество, эне­ргию и информацию, а в другие моменты времени - выводить их, т.е. динамическая система наделяется свойством иметь "вхо­ды" и "выходы". Кроме этого, для динамических систем вводится понятие "состояние системы", характеризующее ее внутреннее свойство.

Эвристический уровень абстрактного описания систем предусматривает поиски удовлетворительного решения задач управления в связи с наличием интеллектуальной подсистемы в сложной системе человека. Эвристика - это прием, позволяющий сокращать ко­личество просматриваемых вариантов при поиске решения зада­чи.

Моделирование систем

Классификация видов моделирования систем. В основе модели­рования лежит теория подобия, которая утверждает, что аб­солютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим, точно таким же. При моделировании абсолют­ное подобие не имеет места и стремятся к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функци­онирования объекта.

По степени полноты модели делятся на полные, непо­лные и приближенные. Полные модели идентичны объекту во времени и в пространстве. Для неполного моделирования эта иден­тичность не сохраняется. В основе приближенного моделирова­ния лежит подобие, при котором некоторые стороны функци­онирования реального объекта не моделируются совсем.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе виды моделирования подразделяются на детермини­рованные и стохастические, статические и динамические, дискрет­ные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминирован­ное моделирование отображает процессы, в которых предполага­ется отсутствие случайных воздействий. Стохастическое модели­рование учитывает вероятностные процессы и события. Статичес­кое моделирование служит для описания поведения объекта в фи­ксированный момент времени, а динамическое - для исследова­ния объекта во времени. Дискретное, непрерывное и дискретно-непрерывное моделирования используются для описания процес­сов, имеющих изменение во времени. При этом оперируют ана­логовыми, цифровыми и аналого-цифровыми моделями.

В зависимости от формы представления объекта мо­делирование классифицируется на мысленное и реальное. Мыс­ленное моделирование применяется тогда, когда модели не реа­лизуемы в заданном интервале времени либо отсутствуют условия для их физического создания (например, ситуации микроми­ра).

Мысленное моделирование реализуется в виде нагляд­ного, символического и математического. При наглядном мо­делировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. В основу гипотетичес­кого моделирования закладывается гипотеза о закономер­ностях протекания процесса в реальном объекте, которая отража­ет уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изуча­емого объекта. Этот вид моделирования используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей. Аналоговое моделирование основывается на при­менении аналогий различных уровней. Для достаточно простых объектов наивысшим уровнем является полная аналогия. С усло­жнением системы используются аналогии последующих уровней, когда аналоговая модель отображает несколько либо только одну сторону функционирования объекта. Макетирование при­меняется, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию либо могут предше­ствовать проведению других видов моделирования. В основе построения мысленных макетов также лежат аналогии, обычно базирующиеся на причинно-следственных связях между явлени­ями и процессами в объекте.

Символическое моделирование представляет собой ис­кусственный процесс создания логического объекта, который за­мещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью определенной системы знаков и символов. В основе языкового моделирования лежит некоторый тезаурус, который образуется из набора входящих понятий, причем этот набор должен быть фиксированным. Если ввести условное обозначение отдельных по­нятий, т.е. знаки, а также определенные операции между этими знаками, то можно реализовать знаковое моделирование и с по­мощью знаков отображать набор понятий - составлять отдель­ные цепочки из слов и предложений.

Математическое моделирование - это процесс устано­вления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моде­лью. В принципе для исследования характеристик процесса функционирования любой системы математическими методами должна быть обязательно проведена формализация этого процесса, т.е. построена математическая модель. Исследование математической модели позволяет полу­чать характеристики рассматриваемого реального объекта.

При имитационном моделировании реализующий мо­дель алгоритм воспроизводит процесс функционирования систе­мы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Основным преимуществом имитацион­ного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные мо­дели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и др., которые часто создают трудности при анали­тических исследованиях.

Комбинированное (аналитико-имитационное) моде­лирование позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбиниро­ванных моделей производится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы, и для тех из них, где это возможно, используются анали­тические модели, а для остальных подпроцессов строятся имита­ционные модели.

Информационное моделирование. В основе ин­формационных моделей лежит отражение некоторых информационных процессов управления, что по­зволяет оценить поведение реального объекта. Для построения модели в этом случае необходимо выделить исследуемую функцию реального объекта, попытаться формализовать эту функцию в виде некоторых операторов связи между входом и выходом и воспроизвести данную функцию на имитационной модели, причем на совершенно другом математическом языке и естественно иной физической реализации процесса.

Структурно-системное моделирование базируется на некоторых специфических особенностях структур определенного вида, используя их как средство исследования систем. Структурно-системное моделирование включает методы сетевого моделирования, сочетание методов структуризации с лингвистическими, структурный подход в направлении формализации постро­ения и исследования структур разного типа на основе теоретико-множествен­ных представлений, понятия номинальной шкалы теории изме­рений.

Ситуационное моделирование основано на модельной теории мышления, в рамках которой можно описать основные механизмы регулирования процессов принятия решений. В ос­нове модельной теории мышления лежит представление о фор­мировании в структурах мозга информационной модели объекта и внешнего мира. Эта информация воспринимается человеком на базе имеющихся у него знаний и опыта. Целесообразное поведение человека строится путем формирования целевой ситу­ации и мысленного преобразования исходной ситуации в целе­вую. Основой построения модели является описание объекта в виде совокупности элементов, связанных между собой опреде­ленными отношениями, отображающими семантику предметной области. Модель объекта имеет многоуровневую структуру и представляет собой тот информационный контекст, на фоне которого протекают процессы управления.

При реальном моделировании используется возмож­ность исследования характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Такие исследования проводятся как на объектах, работающих в нормальных режимах, так и при организации специальных режимов для оценки интересующих исследователя характеристик. Реальное моделирование является наиболее адекватным, но его возмож­ности ограничены.

Натурным моделированием называют проведение иссле­дования на реальном объекте с последующей обработкой резуль­татов эксперимента на основе теории подобия. Натурный экс­перимент подразделяется на научный эксперимент, комплексные испытания и производственный эксперимент.