Знайомство з системою електронних таблиць Excel.

Мета роботи

Вивчення основ програмування та побудови графіків у системі MathCAD.

Завдання роботи

Освоїти прийоми роботи та побудови графіків у системі MathCAD.

1.3. Зміст роботи

1.3.1. Запустити додаток MathCAD.

1.3.2. Ознайомитися з областями екрана, освоїти роботу з панелями інструментів. По черзі включити кілька пунктів панелі “Математика”, ознайомитися із принципом їх розташування й виклику їхніх опцій.

1.3.3. Ознайомитися з основними прийомами редагування документа.

1.3.4. Зберегти результати у файлі з введенням необхідних коментарів.

1.3.5. Запустити додаток MathCAD.

1.3.6. Побудувати графік функції, оформивши його відповідно до вказівок викладача.

1.3.7. Розв’язати графічним методом задачу лінійного програмування, оформивши його відповідно до вказівок викладача.

1.3.8. Нанести лінії рівня на графік, нормальний вектор, означити область допустимих розв’язків.

1.3.9. Зберегти результати у файлі із введенням необхідних коментарів й оформити звіт.

1.4. Вимоги до звіту

Звіт повинен містити:

– назву роботи, постановку завдання дослідження, математичну модель, результати обчислень, а також відомості про послідовності її виконання

(Додаток А);

– побудувати область допустимих рішень задачі лінійного програмування, лінії рівня цільової функції, вектор-градієнт;

– знайти за допомогою графічного методу максимальне та мінімальне значення цільової функції;

– відповіді на контрольні питання за вказівкою викладача.

1.5.1 Загальні положення

Широку і заслужену популярність ще в середині 80-х років набули інтегровані системи для автоматизації математичних розрахунків класу MathCAD.

Пакет MathCAD завантажується або через кнопку Пуск,пункти Програмиі MathCAD Professional 2000, або можна двічі клацнути на ярлику на робочому столі Windows. З'являється вікно системи (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Відразу після запуску система готова до створення документа з необхідними користувачеві обчисленнями. Перша ж кнопка панелі інструментів (із зображенням чистого аркуша паперу) Новийдозволяє почати підготовку нового документа. Відповідне йому вікно редагування одержує назву Безімені: N, де N – порядковий номер документа, що починається із цифри 1. Спочатку вікно редагування очищене.

Користувальницький інтерфейс системи створений так, що користувач, що має елементарні навички роботи з Windows-додатками, може відразу почати роботу з MathCAD. Інтерфейс системи зовні дуже нагадує інтерфейс широко відомих текстових процесорів Word під Windows 95/98/2000.

Другий рядок вікна системи — головне меню. Деякі його пункти будуть описані надалі, поки ж відзначимо, що робота з документами MathCAD звичайно не вимагає обов'язкового використання можливостей головного меню, тому що основні з них дублюються кнопками швидкого керування. Панелі (рядка) з ними перебувають під рядком головного меню. Для зручності можна вивести панель математичних символів й операторів (Математика). Вона служить для заготівель – шаблонів математичних знаків (цифр, знаків арифметичних операцій, матриць, знаків інтегралів, похідних і т.д.) (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Третій рядок вікна системи займає панель інструментів (рис. 1.3), що містить кілька груп кнопок управління піктограмами, кожна з яких дублює одну з найважливіших операцій головного меню.

Рис. 1.3

1.5.2. Кнопки розміщення блоків

Документи складаються з різних блоків: текстових, формульних, графічних і т.д. Блоки проглядаються системою, інтерпретуються й виконуються. Перегляд іде зліва направо та зверху вниз.

1.5.3. Кнопки операцій з виразами

Для роботи з виразами служать піктограми:

– вставка функції зі списку, що з'являється в діалоговому вікні;

– вставка одиниць виміру;

– обчислення виділеного виразу.

MathCAD має безліч убудованих функцій, від елементарних до складних статистичних і спеціальних математичних.

Четвертий рядок верхньої частини екрана містить типові засоби керування шрифтами: перемикачі типу символів, набору гарнітур і розмірів шрифтів, три піктограми типу шрифтів (напівжирний, похилий або курсивний, і підкреслений), а також три піктограми розташування букв у рядку (поруч, надрядкове і підрядкове) (рис. 1.4).

Рис. 1.4: 1 – перемикач вибору стилів; 2 – перемикач вибору набору символів; 3 – перемикач вибору розмірів символів; 4 – установка жирних символів; 5 – установка похилих символів; 6 – установка підкреслених символів; 7 – установка лівостороннього вирівнювання; 8 – установка вирівнювання по центру; 9 – установка правобічного вирівнювання

У п'ятому рядку розміщена панель математичних символів й операторів (рис. 1.5).

Рис. 1.5: 1 – арифметичні інструменти; 2 – інструменти графіків; 3 – векторні й матричні операції; 4 – інструменти деяких знаків; 5 – оператори математичного аналізу; 6 – панель логіки; 7 – інструменти програмування; 8 – символи грецького алфавіту; 9 – символічні оператори

Редагування документа

Це зміна його виду й параметрів. Система має потужний редактор документів. Документом називається повний математичний опис алгоритмів рішення завдань. Документ, у свою чергу, складається із блоків, тобто окремих частин. Блокиможуть бути трьох видів – текстові, обчислювальні й графічні. Кожен блок займає на екрані деякий простір, обмежений прямокутною областю.

Текстові блоки відіграють роль не виконуваних коментарів. Вони слугують лише для підвищення наочності документа. Обчислювальні блоки складаються з математичних виразів, що є, наприклад формулами, рівняннями, рівностями, нерівностями і т.д.

Графічні блоки також виконують і слугують для висновку результатів обчислень у графічному виді.

Для введення тексту досить ввести знак “(лапки). Поточне положення курсору виявиться в обрамленні рамки. У цю рамку (блок) можна вводити текст. У міру уведення тексту ця рамка автоматично збільшується.

Текстова область може мати довільні розміри й розташовуватися в будь-якому місці робочого документа. При цьому потрібно встановити той шрифт, що необхідний для введення тексту. Цей шрифт буде діяти тільки для текстових областей. Для збереження єдиного стилю всього документа можна встановити той же стиль для змінних (Variables)і для постійних (Constants) у перемикачі вибору стилів.

Необхідно відзначити, що курсор MathCAD приймає три різні форми: візира – знак «плюс» червоного кольору; маркера введення тексту – вертикальна червона риска; маркера введення математичних виразів – куточок («ключка») синього кольору, розташування якого змінюється при натисканні на клавішу Пробіл.

У MathCAD можлива вставка в текстову область математичних формул. Для цього потрібно виконати операцію Вставка/Математична область. Ця операція доступна тільки тоді, коли текстовий маркер установлений у потрібне місце текстової області. Виконання операції Вставка/Математична область призведе до появи в текстовій області шаблона у вигляді маленького чорного квадрата. У ньому можна задавати формули, використовуючи також складальні панелі з математичними символами.

1.5.5. Перенесення, копіювання, вставка й видалення фрагментів

Пункт меню Виправлення/Вирізатиабо натискання комбінації клавіш Сtrl+Xпереносять (вирізують) виділений об'єкт документа в буфер обміну даних. Виділити об'єкт можна суцільним або пунктирним прямокутником. Для виділення суцільним прямокутником необхідно ввести в об'єкт курсор і двічі клацнути лівою кнопкою миші. Для пересилання виділеного об'єкта в буфер обміну можна використати й натискання клавіші F3.

Об'єкт або групу об'єктів можна виділити й пунктирним прямокутником. Підведіть курсор до об'єкта, клацніть лівою кнопкою миші та, не відпускаючи, переміщайте мишу по діагоналі. На екрані з'явиться прямокутник з пунктирних ліній, розміри якого задаються переміщенням миші. Як тільки в цей прямокутник потрапить хоча б частина якого-небудь об'єкта, цей об'єкт буде обведений прямокутником з пунктирних ліній.

Коли ліва клавіша миші буде відпущена, основний прямокутник зникне, але всі виділені об'єкти залишаться. Так можна виділити відразу кілька об'єктів.

Для виділення одиночних об'єктів доцільно використати мишу при натиснутій та утримуваній клавіші Ctrl абоShift. Для переносення досить утримувати курсором миші край виділеного будь-якого блока й домогтися, щоб курсор перетворився в зображення долоні. Це буде означати можливість переміщення блоків.

При виділенні мишею текстових написів можливо виділити і який завгодно фрагмент тексту, аж до одиночного символу, а у формулах – будь-яку змінну. Однак у математичних виразах не можливо виділяти окремі символи в іменах функцій.

Можна також перетягувати об'єкти з одного документа в інший.

Пункт Виправлення/Виділити всеабо натискання комбінації клавіш Ctrl+A виділяє всі об'єкти пунктирними прямокутниками. Це дозволяє не тільки спостерігати взаємне розташування блоків, але і чітко бачити ступінь їх сполучення. Щоб цього уникнути, клацніть по пункту Форматголовного меню, а потім у падаючому меню – по пункту Відокремити області.

При перенесенні об'єктів або при їх редагуванні можливе часткове й навіть повне накладення блоків одних об'єктів на інші. У цьому випадку може зникнути частина зображення деяких об'єктів. Виділення всіх об'єктів корисне для контролю такої ситуації.

Редагування різко прискорюється й спрощується при використанні блокових команд: F2 – поміщає копію блока в спеціальний буфер, тобто місце в пам'яті, що зберігає дані про блок (сам блок зберігається); F3 – стирає блок і поміщає в буфер його копію; F4 – поміщає копію блока з буфера на місце документа, зазначене поточним положенням курсору, якщо це місце не зайняте іншим блоком; Ctrl+F9 – вводить порожній рядок між блоками в місці, зазначеному положенням курсору; Ctrl+F10 – знищує порожній рядок між блоками в місці, зазначеному положенням курсору.

1.5.6. Основні прийоми роботи

Імена змінних і функцій користувача в MathCad можуть мати довільну довжину й складатися з великих та маленьких букв, цифр від 0 до 9, символу нескінченності, грецьких букв, символів підкреслення й відсотків, нижніх індексів.

Приклад

Для задання змінної х=1 та обчислення значення функції sin(x) можна скористатися введенням із клавіатури.

Клавіша, що натискається Зображення Коментар
х x Введення імені змінної
: x := Введення символу присвоювання :=
x :=1 Введення числової константи 1
Enter   Фіксація введення, стрибок курсору
Sin sin Введення імені функції sin
( sin( Введення лівої дужки (
х sin(x Введення імені змінної х
) sin(x) Введення правої дужки )
= sin(x) = Введення знака висновку =
Enter sin(x) = 0. 841 Обчислення sin(x) = sin(l)

Навіть на цьому простому прикладі видно деякі особливості вхідної мови спілкування із системою. Так, символ присвоювання := відмінний від звичайно використовуваного в математиці знака рівності =. Ця обставина пов'язана з тим, що знак рівності інтерпретується в математичних виразах по контексту. Наприклад, x=b означає або присвоєння змінній х значення раніше обчисленої змінної b, або просто факт логічної рівності значення хзначенню b.

Така подвійність неприпустима в машинних програмах. Тому в системах MathCAD довгий час знак = використовується тільки як знак висновку результатів обчислень, а для присвоювання змінним значень застосовується знак :=. Нарешті, для позначення відносини величин х та b як рівності використовується жирний знак рівності.

У MathCad можна сформувати змінні, що пробігають заданий діапазон дискретних значень із заданим кроком для багаторазових обчислень функцій і виразів, а також для спрощення побудови відповідних графіків. Ці змінні записуються в такому вигляді:

N:=N1,...,NN або N:=N1,N2,...,NN,

де N – ім'я змінної; N1 – початкове значення діапазону значень; N2 – друге значення змінної; NN – останнє значення змінної, при цьому в першому випадку крок зміни змінної буде дорівнювати 1, а в другому випадку – (N1-N2).

1.5.7. Побудова графіків

Для створення графіків у системі MathCAD є програмний графічний процесор. Процесор дозволяє будувати самі різні графіки, наприклад, у декартовій та полярній системах координат, тривимірні поверхні, графіки рівнів і т.д.

Для побудови графіків використовується, як ми вже відзначали, шаблони. Більшість параметрів графічного процесора, необхідних для побудови графіків, за замовчуванням задається автоматично. Тому для початкової побудови графіка того або іншого виду досить задати тип графіка. На панелі “Графіка” утримується список із семи основних типів графіків. Вони дозволяють виконати наступні дії:

– декартовий графік [@]– створити шаблон двомірного графіка;

– ­полярний графік [Ctrl+ 7] – створити шаблон графіка в полярній системі координат;

– графік поверхні [Ctrl+ 2] – створити шаблон для побудови тривимірного графіка;

– карта ліній рівня [Ctrl+ 5] – створити шаблон для контурного графіка тривимірної поверхні;

– 3D точковий графік – створити шаблон для графіка у вигляді точок у тривимірному просторі;

– 3D стовпчикова гістограма – створити шаблон для зображення у вигляді сукупності стовпчиків у тривимірному просторі;

– векторне поле – створити шаблон для графіка векторного поля на площині.

Для висновку шаблона двомірної графіки у декартовій системі координат слугує кнопка декартовий графікна панелі“Графіка”. Вона виводить у поточне положення курсору шаблон графіків у декартових координатах. Незаповнений шаблон графіка – це великий порожній прямокутник із шаблонами даних у вигляді темних маленьких прямокутників, розташованих біля осей абсцис і ординат майбутнього графіка. У середні шаблони даних треба помістити ім'я змінної в осі абсцис і задати формули для функцій в осі ординат. Якщо будуються графіки декількох функцій в одному шаблоні, то для їхнього поділу варто використати коми. Щоб переміщати по шаблонах мітку їхнього вибору й виділення, варто використати клавіші переміщення курсору. Можна вибрати шаблон даних і прямо за допомогою миші, вказавши потрібний шаблон її курсором і нажавши ліву клавішу миші.

Крайні шаблони даних служать для вказання граничних значень абсцис та ординат, тобто вони задають масштаби графіка. Якщо залишити ці шаблони незаповненими, то масштаби по осях графіка будуть установлюватися автоматично. Недолік тут у тому, що масштаби, швидше за все, виявляться не цілком зручними (наприклад, будуть надані неокругленими десятковими цифрами) для подання повністю усього графіка в максимальному розмірі. Рекомендується завжди спочатку використати автоматичне масштабування й лише потім змінювати масштаби на більш підходящі.

Приклад побудови графіків функцій на інтервалі , надано на рисунку 1.6.

Рис. 1.6

Щоб відбулася побудова графіка в автоматичному режимі обчислень, досить вивести курсор за межі графічного об'єкта. У ручному режимі обчислень для цього потрібно ще нажати клавішу F9.

Параметри зображення (колір і товщина ліній, координатна сітка, розмітка осей, напису на графіках та ін.) найпростіше змінити, клацнувши двічі по полю графіка та установивши настроювання у відповідних вікнах діалогу (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Приклад

Розв’язати графічно задачу лінійного програмування:

 

при обмеженнях:

,  

Розв’язування:

Перепишемо нерівності у вигляді рівностей:

 

 

А потім з кожного виразимо через , та позначимо ці прямі відповідно (1) та (2):

(1) (2)

Будуємо ці прямі та враховуємо умови невід’ємності змінних (рис. 1.8).

Визначаємо область допустимих розв’язувань – ОАВ, використовуючи обмеження задачі лінійного програмування (рис. 1.9). Наносимо нульову лінію рівня

 

та нормальний вектор, який має координати (3,-4). Таким чином рівняння нормалі має вигляд (рис. 1.10).

Рис. 1.8 Рис. 1.9

Рис. 1.10

Координати вершин багатокутника розв’язків: А , В(6,0), О(0,0). Так як функція мети зростає у напрямку градієнта, а убуває – антиградієнта, то у точках О та В – відповідно мінімум та максимум цієї функції.

Найбільше значення цільової функції .

Найменше значення цільової функції .

Для побудови тривимірної поверхні f(x,y) служить операція Surface Plot, попередньо надана матрицею М ординат f(x,y). При цьому виводиться шаблон графіка, лівий верхній кут якого міститься в місце розташування курсору. Шаблон, у свою чергу, містить єдиний шаблон даних – темний прямокутник у лівого нижнього кута основного шаблона. У нього потрібно занести ім'я матриці зі значеннями ординат ЗD-поверхні. Зрозуміло, що перш ніж будувати графік ЗD-поверхні, потрібно її визначити математично.

Наочність подання тривимірних поверхонь залежить від безлічі факторів: масштабу побудов, кутів повороту фігури щодо осей, застосування алгоритму видалення невидимих ліній або відмови від нього, використання функціонального зафарбування й т.д. Для зміни цих параметрів варто використати операцію установки формату графіка.

При побудові тривимірних поверхонь й об'ємних фігур можна використати параметричне завдання функцій, що їх описують. Фігури задаються значеннями координат х, у і z всіх точок фігури. При цьому в шаблоні 3D-графіка вказуються три матриці, що зберігають масиви цих координат, – X, Y й Z.

Наведемо приклад побудови такої поверхні.

Можна змінювати задані за замовчуванням параметри графіків. Для цього необхідно виділити графік й, установивши в його області курсор миші, виконати подвійне клацання лівою кнопкою миші. З'явиться діалогове вікно (рис. 1.11) 3-D Plot Format (Форматування тривимірних графіків).

Рис. 1.11

Діалогове вікно 3-D Plot Formatмістить дев'ять закладок і безліч прапорців для вибору режиму побудови графіка. Обмежимося розглядом однієї вкладки, наданої на рисунку 1.12 – Загальне. Перший комплект чисел у розділі Вид показує кути, під якими спостерігається побудований графік поверхні. Далі в розділі Стиль осі є ряд перемикачів і прапорець для вибору стилю зображення розмірів графіка (рис.1.12):

– периметр – виводить графік з розмірами по периметрі;

– кут – виводить графік з розмірами по осях;

– немає – виводить графік без розмірів по периметрі й по осях;

– рівні шкали – установка по осях рівних масштабів.

Рис. 1.12

У пункті Границі графікавизначається обрамлення графіка:

– границі – показує границі графіка;

– каркас – показує графік у вигляді паралелепіпеда.

На панелі перемикачів Графік 1можна вибрати одну з форм подання тривимірного графіка.

При роботі з панелями настроювання параметрів зображення можна подивитися результат, отриманий при зміні параметра зображення, не закриваючи панелі. Для цього після зміни параметра клацніть по кнопці Застосувати.Для поверненняв документ натисніть клавішу ОК.

 

Лабораторна робота №2

«Симплекс-метод у лінійному програмуванні»

Символьні обчислення у системі MathCad2000.

Знайомство з системою електронних таблиць Excel.

Розв’язання задачі лінійного програмування в середовищі MathCad2000 та за допомогою Excel

Мета роботи

2.1.1. Вивчення можливостей символьних перетворень у системі MathCAD.

2.2.2. Вивчення можливостей рішення різних типів рівнянь та їх систем у середовищі MathCAD.

3. Вивчити принцип роботи електронних таблиць (ЕТ).

Завдання роботи

2.2.1. Освоїти прийоми роботи із системою MathCAD.

2.2.2. Освоїти способи рішення різних типів рівнянь їх систем аналітичними й чисельними методами в середовищі MathCAD.

3. Освоїти прийоми переміщення по EТ та введення в неї даних.

2.3. Зміст роботи

2.3.1. Запустити додаток MathCAD.

2.3.2. Освоїти роботу з розділом Символи. По черзі включити кілька пунктів даного розділу, ознайомитися із принципом їх розташування й виклику їх опцій.

2.3.3. Повторити всі наведені у вказівках приклади.

2.3.4. Освоїти способи рішення рівнянь в аналітичній формі.

2.3.5. Записати математичну модель задачі (Додаток В).

2.3.6. Вирішити задачу лінійного програмування за допомогою функцій Minimize, Maximize.

2.3.7. Зберегти результати у файлі із введенням необхідних коментарів й оформити звіт.

2.3.8. Завантажити оболонку Windowsі запустити додаток Excel.

2.3.9. Ознайомитися з областями екрана; освоїти переміщення по екрані за допомогою миші й кнопок прокручування; ознайомитися з меню інструментів. По черзі включити кілька пунктів головного меню, ознайомитися із принципом розташування й виклику їх опцій.

2.3.10. Вирішити задачу лінійного програмування за допомогою Exсel.

2.3.11. Зберегти таблицю у файлі та оформити звіт.

2.4. Вимоги до звіту

Звіт повинен містити:

– назву роботи, постановку завдання дослідження, математичну модель;

– результати обчислень, а також відомості про послідовності її виконання;

– результати обчислень без використання ПК – за допомогою симплекс-методу;

– результати обчислень у системі MathCAD та за допомогою ЕТ;

– відповіді отримані за допомогою симплекс-методу, у системі MathCAD, за допомогою ЕТ та графічним методом (якщо це можливо);

– порівняти всі отримані результати, зробити належні висновки;

– відповіді на контрольні запитання за вказівкою викладача.

2.5. Загальні положення

2.5.1. Меню символьних засобів Символи

За допомогою пункту Символиголовного меню викликається падаюче меню символьних засобів, з них частина містить свої підменю. Зміст наданих функцій досить очевидний. Розглянемо деякі з них.

Щоб символьні операції виконувалися, необхідно вказати, над яким виразом ці операції повинні вироблятися, тобто треба виділити вираз (правила виділення описувалися вище). Потім вибрати в головному меню.

Для ряду операцій варто не тільки вказати вираз, до якого вони звертаються, але й намітити змінну, щодо якої виконується та або інша символьна операція. Саме вираз в такому випадку не виділяється, адже й так ясно, що якщо маркер введення виділяє змінну якого-небудь виразу, то цей вираз вже відзначений наявністю в ньому виділеної змінної.

Символи/Спростити – спростити виділений вираз з виконанням таких операцій, як скорочення подібних що складають, доведення до загального знаменника, використання основних тригонометричних тотожностей і т.д. Ця операція дозволяє спрощувати математичні вирази, що містять алгебраїчні та тригонометричні функції, а також поліноміальні вирази. За його допомогою можна спростити складні й погано впорядковані алгебраїчні вирази.

2.5.2. Розв’язання рівнянь в аналітичній формі

Система MathCad дозволяє вирішувати лінійні, нелінійні рівняння й системи рівнянь як аналітично, так і чисельно і графічно. Ці функції здійснюються в такий спосіб. Пункт Змінніпадаючого меню пункту Символиголовного меню MathCad викликає спливаюче меню.

За допомогою пункту спливаючого меню Обчислитирівняння (нерівність) вирішують щодо виділеної змінної, тобто виробляється пошук такого значення змінної, при якому вихідний вираз стає рівним нулю.

Інший спосіб рішення рівнянь можна здійснити, скориставшись панеллю символьних обчислень , на якій необхідно вибрати кнопку . Після чого з'явиться на екрані повідомлення .

Введіть у позначеній позиції ліворуч від ключового слова solveвираз для правої частини рівняння, а в позиції праворуч від solve – ім'я змінної, щодо якої потрібно вирішити рівняння, і клацніть по вільному місцю в робочому документі. Результат (значення кореня рівняння) буде відображений у робочому документі праворуч від стрілки.

Багато нелінійних рівнянь, наприклад, трансцендентні, і системи з них не мають аналітичних рішень і вирішуються графічними або чисельними методами.

Функція root (вираз, ім'я змінної)шукає значення змінної, при якій вираз стає рівним нулю. Пошук кореня здійснюється ітераційними методами, причому перед цим потрібно задати початкове значення х.

Якщо необхідно знайти рішення рівняння з декількома змінними або системи рівнянь, задається блок рівнянь. Він має наступну структуру:

Givenслужбове слово, що відзначає початок блока;

– рівняння;

– обмежувальні умови;

– вирази з функціями Find, Minerr, Maximize, Minimіze;

– перевірка рішення (якщо необхідно).

У цьому випадку використовуються наступні функції:

а) Find (х12,…,хn) – повертає значення однієї змінної або значення вектора змінних Х, що відповідає точному рішенню;

б) Minerr (х12,…,хn) – повертає значення однієї змінної або значення вектора змінних Х, що відповідає наближеному рішенню з мінімальною середньоквадратичною похибкою;

в) Maximize (f,х12,…,хn) – повертає максимальне значення цільової функції та значення однієї змінної або значення вектора змінних Х;

г) Minimіze (f,х12,…,хn) – повертає мінімальне значення цільової функції та значення однієї змінної або значення вектора змінних Х.

Обмежувальні умови служать для обмеження області рішення за допомогою функції Find або мінімізації середньоквадратичної похибки за допомогою функції Minerr.

Для задання початкового значення, щоб уникнути тривіальних помилок, можна побудувати графік досліджуваної функції. Задайте в робочому документі функцію f(x) і побудуйте її графік у декартових координатах. Щоб знайти графічно корінь рівняння – абсциси точок перетинання графіка функції з віссю ординат, клацніть по полю графіка правою кнопкою миші. У контекстному меню, що з'явилося, виберіть пунктТрасування та установіть (стрілками клавіатури або мишею) маркер (перехресні пунктирні лінії) у точці перетинання графіка функції з віссю абсцис. У вікні діалогу відображаються координати маркера: значення координати хпри рівностікоординати yнулю або малій величині і є шукане наближене значення кореня.

2.5.3. Розв’язання задач лінійного програмування за допомогою MathCAD

Приклад

Розв’язати задачу лінійного програмування.

 

при заданих обмеженнях:

 

Ця задача може розв’язуватися без використання комп’ютера за допомогою прямого симплекс-методу. А у системі MathCADрозв’язокмає вигляд, який наданий на рисунку 2.1.

Аналогічно знаходиться мінімум функції за допомогою вбудованої функції MathCADMinimize.

Рис. 2.1

2.6. Поняття про електронні таблиці

Інформаційні технології обробки даних часто вимагають подання відомостей у вигляді таблиць. Для табличних розрахунків характерні відносно прості формули й більші обсяги вихідних даних.

Універсальним засобом для автоматизації розрахунків над табличними даними стали пакети прикладних програм (ППП), названі ТАБЛИЧНИМИ ПРОЦЕСОРАМИ або ЕЛЕКТРОННИМИ ТАБЛИЦЯМИ.

Екран Exсel

Основний формат ЕТ – екран із сіткою, що розділяє його на стовпці й рядки. Стовпці таблиці названі латинськими буквами й комбінаціями латинських букв від A до W (256 стовпців). Рядки пронумеровані від 1 до 16384. Комірки, отримані на перетинанні стовпців і рядків, мають свої адреси, що складається з букви, яка позначає стовпець і цифри, яка позначає рядок. Наприклад, комірка, що перебуває на перетинанні стовпця B і рядка 5, має адресу B5. Адресу комірки також називають посиланням. На екрані монітора звичайно видно не більше 18 повних рядків робочої таблиці й 9 повних стовпців зі стандартною шириною 9 позицій, назва відкритої книги, а також основні елементи вікон Windows: КНОПКА СИСТЕМНОГО МЕНЮ, ПАНЕЛЬ ГОЛОВНОГО МЕНЮ, ПАНЕЛІ ІНСТРУМЕНТІВ, ПАНЕЛЬ ФОРМУЛ і т.д.

Для пересування по робочому аркуші на значні відстані використовуються смуги прокручування. Часто доводиться виконувати дії з декількома комірками одночасно, тобто із блоком або діапазоном комірок. Блок – це безліч комірок, що утворюють область прямокутної форми. Блок відзначається адресами верхніх лівих і правої нижньої комірок прямокутника, розділених двокрапкою, наприклад: B4:D6, A5:A10, C3:E3.

На риунку 2.2 зображено екран Exсel з виділеним блоком комірок B4: D6.

Рис. 2.2

Головне меню Exсel

У верхній панелі перебуває головне меню Exсel. Вибір будь-якого пункту меню розкриває список його команд.

Команди в головному меню не завжди доступні. Недоступна в цей момент команда зафарбована тьмяними сірими кольорами. Вона залишається тьмяною доти, поки не з'являться умови для її роботи.

Виконання деяких команд також здійснюється через швидкі клавіші, зазначені відразу після назви команди.

 

 

Типи даних

В Excel розрізняються три типи даних: числові значення, текстові значення й формули.

Числові значення – це числа, що відображають кількісні величини, і числа, розглянуті як дати й час. Будь-які числові значення можуть використовуватися як аргументи для формул. Цей тип даних вирівнюється по правому краю комірки.

Щоб програма сприймала введені час і дату як числа, потрібно користуватися стандартним форматом введення. При цьому Excel не робить розходження між рядковими й прописними буквами й при введенні дат дозволяє використати крапку (.), косу риску (/), або дефіс (-).

Текст – узагальнена категорія даних, що має на увазі все, що не має справи із числами й обчисленнями.

Формули в ЕТ починаються зі знака рівності (=), що відрізняє введення тексту від введення формули. Наприклад: =B5*C5*D5. Після введення формули в комірку, вона видна в рядку формул, а в самій комірці висвічується результат обчислення. Формули можуть складатися із чисел, посилань на комірки й убудованих функцій, таких як СУМ, СРЗНАЧ й ін., розділених операторами додавання (+), віднімання (-), множення (*), ділення (/), зведення в степінь (^).

2.6.4. Відносні та абсолютні посилання

При виконанні операцій копіювання й дублювання формульних даних, що містять посилання на комірки, Excel автоматично коректує їх, тобто змінює номер рядка або найменування стовпця залежно від напрямку руху. Таке коректування в багатьох випадках дуже зручне, але іноді не потрібне за змістом виконуваного завдання. Щоб посилання в процесі копіювання не змінювалося, його роблять абсолютним, установивши знак долара перед буквою стовпця й перед номером рядка, наприклад $A$1. Допускається конструювання змішаних посилань, наприклад $A1. Адреса стовпця даної комірки є сталою, а адреса рядка - відносною.

2.6.5. Введення й редагування вмісту комірки

Звичайно при вході в Exсel на екрані товстою рамкою виділена комірка з номером A1, що готова до прийому інформації. Щоб ввести інформацію в іншу комірку, її виділяють за допомогою миші або клавіш керування курсором (клавіш зі стрілками). За мірою набору даних із клавіатури Exсel показує всі введені символи як у панелі формул, що перебуває зверху, так і в активній комірці на робочому аркуші. У панелі формул активізуються кнопки: СКАСУВАННЯ (позначена хрестом); ВВЕДЕННЯ, (позначена галочкою) та ЕКСПЕРТ ЗА ФУНКЦІЯМИ (позначена fx).

Щоб набрана інформація була внесена в поточну комірку робочого аркуша, вона повинна бути підтверджена однією з наступних дій з використанням клавіш або миші:

– натисканням клавіші введення, або виходом з поточної комірки за допомогою клавіші керування курсором.

– клацанням миші по іншій комірці, або по кнопці введення позначеною галочкою.

Для виправлення помилок під час заповнення комірки, перш ніж введення інформації підтверджене, можна скористатися клавішею Backspace або Delete. Для видалення всього набраного тексту потрібно за допомогою миші натиснути кнопку із хрестом.

Виправити вже підтверджений зміст комірки можна як у рядку формул, так і безпосередньо в комірці. Для цього:

1) вибрати потрібну комірку;

2) двічі клацнути по ній мишею або нажати клавішу F2;

3) відредагувати вміст.

За допомогою клавіші Insert можна змінити режим вставки символів на режим заміни.

Щоб здійснити очищення комірки, при якій знищується вміст комірки без її видалення з робочої таблиці, потрібно: або нажати <Del>, а потім <Enter>, або вибрати з контекстного меню комірки команду ОЧИСТИТИ ВМІСТ, або виконати команду головного меню ВИПРАВЛЕННЯ-ОЧИСТИТИ-ВМІСТ.

Для видалення комірки з її вмістом й атрибутами форматування потрібно: вибрати команду ВИДАЛИТИ з контекстного меню комірки або ВИПРАВЛЕННЯ-ВИДАЛИТИ з головного меню. Excel відобразить діалогове вікно, в якому потрібно вказати, як зрушувати сусідні комірки для заповнення місця, що звільнилося після видалення на робочому аркуші.

2.6.6. Послідовність розв’язування оптимізаційних задач в MS Exel

Задачі математичного програмування можна розв'язувати за допомогою табличного процессора МS Ехсеl, в якому використову­ється програма Solver

(Поиск решения).

Процедура пошуку розв'язку дозволяє знайти оптимальне значення формули, яка міститься в комірці, що називається цільо­вою. Ця процедура працює з групою комірок, прямо чи побічно пов'язаних з формулою в цільовій комірці.

Щоб одержати з фор­мули, що міститься в цільовій комірці, заданий результат, проце­дура змінює значення у впливаючих комірках. Щоб звузити безліч значень, які використовуються в моделі, застосовуються обмежен­ня. Ці обмеження можуть посилатися на інші впливаючі комірки.

Приклад

Розглянемо задачу лінійного програмування:

(2.1)
.   (2.2)

 

Розв’язування:

Обмеження (2.2) і цільова функція (2.1) у вигляді формул без знаків (>,<, =) та вільного члена заносяться у комірки. Як невідомі, в цих формулах фігурують адреси певних комірок. Нехай невідомі значення х , х будуть заноситися в комірки з адресами А2, А3. Тоді для першого обмеження в довільну комірку (наприклад B2) потрібно занести формулу =4*А2+3*А3. Для другого обмеження в довільну комірку (наприклад В3) потрібно занести формулу =2*А2+5*А3. Формулу цільової функції занесемо у комірку С2 у вигляді =12*А2+15*А3.

Після введення формул всіх обмежень і цільової функції для розв'язання задачі лінійного програмування потрібно виконати такі дії:

а) В меню Тооls (Сервис) виберіть пункт Sо1ver (Поиск решения). Після вибору його активізується вікно Solveг рагаmetrs (рис. 2.3).

б) У поле Set Target Cell (Установить целевую ячейку) введіть адресу або ім'я комірки, в якій знаходиться формула функ­ції, що досліджується на екстремум.У даному випадку ввести $С$2.

в) Щоб максимізувати значення цільової комірки шляхом зміни значень комірок шуканих невідомих змінних, встановіть перемикач Equval to (Равной) у положення Мах (максимальному значенню).

Щоб мінімізувати значення цільової комірки шляхом зміни значень комірок шуканих невідомих змінних, встановіть перемикач Equval to (Равной) у положення Мin (мінімальному значенню).

Рис. 2.3

Щоб знайти значення в цільовій комірці, яке дорівнює де­якому числу шляхом зміни значень комірок шуканих невідомих змінних, встановіть перемикач у положення Value of (значенню) і введіть у відповідне поле необхідне число.

В нашому випадку встановлюємо перемикач у положення Мах (максимальному значенню).

г) У поле Ву Changing Ctlls (Изменяя ячейки)введіть іме­на чи адреси комірок шуканих невідомих змінних, розділяючи їх комами або за допомогою мишки вказати необхідні комірки.

До­пускається встановлення до 200 змінюваних комірок. В нашому випадку введемо $А$2:$А$3. Щоб автоматично знайти всі комір­ки, що впливають на цільову функцію, натисніть кнопку Предположить.

д) У поле Subject to the Constraints (Ограничения) введіть всі обмеження, що накладаються на пошук розв'язку. Для цього натисніть кнопку Аdd (Добавить).Відкриється вікно Add constrainf (Добавление ограничения). У поле Cell Reference (Ссылка на ячейку) ввести комірку чи діапазон, на значення яких необхідно накласти обмеження. Поле Ограничение служить для задання умови, що накладається на значення комірки чи діапазо­ну, зазначеного в полі Ссылка на ячейку. Виберіть необхідний умовний оператор (<=, =, >=, цел або двоич.). Введіть обмеження – число, формулу, чи посилання на діапазон – у поле праворуч від списку, що розкривається. Натисніть на кнопку До­бавить, щоб, не повертаючись у вікно діалогу Параметры поиска решения, накласти нову умову на пошук розв'язку задачі. В нашому випадку потрібно ввести

$А$2 >= 0, $А$3 >= 0, $В$2 <= 12, $В$3 <= 10.

є) Натисніть кнопку Выполнить.

ж) Щоб зберегти знайдений розв'язок, встановіть перемикач
у діалоговому вікні Solver Results (Результати поиска решения)
в положення Кеер Sо1ver Sоlution (Сохранить найденное реше-
ние).
Щоб відновити вихідні дані, встановіть перемикач у положення Restore Original Values (Восстановить исходные значения). В нашому випадку отримаємо в комірці $А$2 число 2,142857, в комірці $А$3 число – 1,142857 і в комірці $С$2 – число 42,85714. Отже, оптимальний розв'язок лінійної задачі програмування має вигляд (рис.2.4):

Рис. 2.4

А такий вигляд має рішення цієї ж задачі лінійного програмування у вигляді симплекс-таблиць (рис. 2.5):

Рис. 2.5

Приклад.

Розв’язати задачу дрібно-лінійного програмування за допомогоюMathCADтаMS Exel.

 

при обмеженнях:

 

Розв’язок у MS Exel, наданий на рисунку 2.6.

Рис. 2.6

Розв’язок у MathCAD, наданий на рисунку 2.7.

Рис. 2.7

 

Лабораторна робота №3

«Транспортна задача»

Використання електронних таблиць при розв’язуванні транспортної задачі

Мета роботи

3.1. Вивчення можливостей рішення транспортної задачі (ТЗ) за допомогою ЕТMS Exсel.

Завдання роботи

3.2.1. Освоїти рішення ТЗ у MS Exсel.

3.3. Зміст роботи

3.3.1. Запустити додаток MS Exсel.

3.3.2. Вивчити методи знаходження початкового опорного плану ТЗ: метод «північно-західного кута» та найменшої собівартості.

3.3.3. Вивчити метод потенціалів для розв’язання ТЗ.

3.3.4. Вирішити ТЗ за допомогою таблиць MS Exсel (Додаток С).

3.3.5. Зберегти результати у файлі із введенням необхідних коментарів й оформити звіт.

3.4. Вимоги до звіту

Звіт повинен містити:

– назву роботи, постановку завдання дослідження;

– результати обчислень, а також відомості про послідовності її виконання;

– відповіді отримані у результаті ЕТ MS Exсel та отримані без допомоги ПК, порівняти, зробити належні висновки;

– відповіді на контрольні питання за вказівкою викладача.

3.5. Загальні положення

Використовуючи знання роботи з таблицями MS Exсelзнайти рішення ТЗ.

Приклад.

Фірма, яка обслуговує туристів, прибуваючих на відпочинок, повинна розмістити їх у 4 готелях: “Морський”, “Сонячний”, “Слава” і “Затишний”, в яких заброньовано відповідно 85, 65, 90 і 60 місць. Сто двадцять туристів прибувають по залізниці, вісімдесят – прилітають черговим рейсом в аеропорт, а сто чоловік прибудуть на теплоході на морський вокзал. Транспортні витрати при перевезенні з пунктів прибуття в готелі наведені в таблиці 3.1. Таблиця 3.1

Початкові пункти Пункти призначення (готелі)
«Морський» «Сонячний» «Слава» «Затишний»
Залізничний вокзал,
Аеропорт,
Морський вокзал,

В умовах жорсткої конкуренції фірма повинна мінімізувати свої витрати, значну частину яких складають саме транспортні витрати. Потрібно визначити такий план перевезення туристів з пункту прибуття в готелі, при якому сумарні транспортні витрати будуть мінімальні і всі туристи будуть розміщені в готелях.

Побудова математичної моделі задачі.

1) Змінні задачі. Позначимо кількість туристів, які перевозитимуться з пункту i в готель j як ( ; ). Це змінні задачі, значення яких повинні необхідно визначатися в процесі рішення. Наприклад, – це число туристів, які необхідно перевезти з аеропорту (пункт 2) у готель “Слава” (пункт 3). У задачі міститься 3*4=12 змінних.

2) Обмеження на змінні задачі. Очевидно, що всі змінні задачі не негативні і цілі числа, тобто

, – цілі числа, де ; (3.1) (3.2)

Окрім цього, повинні задовольнятися наступні умови. Число туристів, що вивозяться із залізничного вокзалу (пункт 1) рівне 120, тому:

= 120.   (3.3)

Аналогічно для аеропорту (пункт 2):

= 80.   (3.4)

І для морського вокзалу (пункт 3):

= 100.   (3.5)

За умовою задачі в готелі “Морський” (пункт 1) заброньовано 85 місць, тому:

= 85.   (3.6)

Аналогічно, для готелю “Сонячний” (пункт 2):

= 65.   (3.7)

Для готелю “Слава” (пункт 3):

= 90.   (3.8)

Для готелю “Затишний” (пункт 4):

= 60.   (3.9)

Звичайно транспортна задача надається у вигляді таблиці, де в комірках поміщаються змінні задачі (), а в правому верхньому кутку комірки стоїть ціна перевезення з пункту i в пункт j (). У крайньому правому стовпці і нижньому рядку таблиці записуються числа визначувані обмеження задачі (у даному прикладі – це число туристів у початкових пунктах і число місць у пунктах призначення – готелях).

Для даного прикладу таблиця має вигляд (таблиця 3.2):

Таблиця 3.2

Початкові пункти Пункти призначення (готелі) Число туристів у початково- му пункті
«Морський» «Сонячний» «Слава» «Затишний»
Залізничний вокзал,         120
Аеропорт,         80
Морський вокзал,         100
Число місць у готелі 85 65 90 60

Дана транспортна задача є збалансованою, так як сума чисел в останьому стовпці дорівнює сумі чисел останього рядка:

120+80+100 = 85+65+90+60

3) Цільова функція. Транспортні витрати на перевезення туристів у готелі обчислюються за формулою:

Z = = 7+ 4+ 15+ ... +8   (3.10)

Остаточно транспортна задача має вигляд (таблиця 3.2). Потрібно знайти такі значення змінних ( ; ) при яких цільова функція, визначувана формулою (3.10), матиме мінімальне значення і будуть виконані обмеження (3.1) - (3.9):

, де – цілі числа ( ; ); ;

Транспортна задача є задачею лінійного програмування і може бути вирішена симплекс-методом. З причини її специфіки для неї був розроблений спеціальний метод рішення – метод потенціалів. Наведемо різні варіанти розв’язування даної задачі за допомогою ЕТ.

Розв’язування:

1 варіант. Розв’язок транспортної задачі в процедурі EXCEL “Поик решення”

а) Введення даних. Вводимо дані таблиці 1 і 2 в комірки EXCEL (рис. 3.1).

У комірках B3 : E5 введені вартості перевезень (табл. 3.1).

У комірках F3 : F5 знаходиться число туристів, що прибувають. А в комірках B6 : E6 знаходиться число місць у готелях. Комірки B8 : E10 – робочі (змінні) комірки, в яких обчислюватимуться значення змінних задачі .

У комірках F8 : F10 потрібно записати формули для обчислення лівих частин обмежень (3.3) – (3.5):

у F8 повинна бути сума комірок B8 : E8;

у F9 повинна бути сума комірок B9 : E9;

у F10 повинна бути сума комірок B10 : E10.

Формули для обчислення лівих частин обмежень (3.6) – (3.9) введемо в комірки B11 : E11:

у B11 повинна бути сума комірок B8 : B10;

у C11 повинна бути сума комірок C8 : C10;

у D11 повинна бути сума комірок D8 : D10;

у E11 повинна бути сума комірок E8 : E10;

Цільову функцію помістимо в комірку G3:

G3: СУММПРОИЗВ (B3 : E5; B8 : E10).

Таблиця початкових даних має вигляд (рис. 3.1):

Рис. 3.1

б) Заповнення вікна процедури «Поиск решения».

цільова функція : G3;

значення цільової функції : min;

змінні комірки: B8 : E10;

обмеження задачі:

F8 : F10 = F3 : F5 (формули (3.3) – (3.5));

B11 : E11 = B6 : E6 (формули (3.6) – (3.9));

B8 : E10 0 і B8 : E10 – цілі числа.

У вікні «Параметры» встановити «Линейная модель», що відповідає рішенню задачі симплекс-методом. Результати заповнення вікна показані на рисунку 3.2:

Рис. 3.2

в) Виконавши процедуру «Поиск решения» одержимо наступні результати (рис. 3.3):

Рис. 3.3

Таким чином із залізничного вокзалу (початковий пункт 1) потрібно 65 туристів відвезти в готель «Сонячний» (пункт призначення 2) і 55 туристів у готель «Затишний» (пункт призначення 4); з аеропорту (початковий пункт 2) 80 туристів відвезти в готель «Слава» (пункт призначення 3); туристів, що прибувають на морський вокзал (початковий пункт 3) потрібно відправити до готелів «Морський», «Слава» та «Затишний» відповідно у кількості – 85,10 та 5 чоловік (рис. 3.3). При цьому сумарна вартість транспортних витрат складе 1815 умовних одиниць (комірка G3).

2 варіант. Розв’язок транспортної задачі за допомогою ЕТ.

а) Знаходження початкового опорного плану ТЗ методом найменшої вартості за допомогоюMS Exсel:

б) Покращення отриманого опорного плану методом потенціалів:

в) Перехід до нового базису за допомогою циклу перерахунку:

г) Подальший розв’язок зводиться до повторного застосування методу потенціалів та циклу перерахунку:

Остання ітерація: