Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

Метод встречных включений.

Элементы теории множеств

Понятие множества.

Подмножество. Операции над множествами.

Диаграммы Эйлера-Венна.

Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторое множество предметов.

Понятие множества является первичным, исходным и не определяется через другие более простые понятия. Под множеством понимают совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а его элементы – малыми. Для того чтобы показать, что какой-либо объект является элементом того или иного множества, вводится понятие принадлежности.

Î – знак принадлежности

аÎА – “а принадлежит множеству А

аÏА – “ а не принадлежит множеству А

Для наиболее важных числовых множеств используют фиксированные обозначения.

– множество всех натуральных чисел.

– множество всех целых чисел.

– множество всех рациональных чисел.

– множество всех действительных чисел.

Множество считается заданным, если известно, из каких элементов оно состоит. Существует два основных способа задания множества:

1) перечисление элементов множества. Например, ={1, 2, 3,…}.

2) описательный способ, который состоит в следующем: указывается общий вид элементов множества и их характеристические свойства. Например, M={a a5}.

Определение 1. Множества А и В называются равными если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, и каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Равенство и неравенство множеств обозначаются соответственно А=В и A B.

Определение 2. Пусть А и В – множества. Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то множество А называется подмножеством множества В. Обозначается: АÍВ.

Определение 3. Пусть А и В – множества. Если АÍВ и А¹В то множество Аназывается собственным подмножеством множества В. Обозначается АÌВ.

Определение 4. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Обозначается Æ.

Замечание 1. Пустое множество единственно и является подмножеством любого множества.

Определение 5. Под универсальным множеством понимают такое множество U, которое содержит все рассматриваемые нами множества (в процессе какого-либо рассуждения) в качестве своих подмножеств.

Определение 6. Множество М называется конечным, если оно содержит конечное число элементов. В противном случае множество называется бесконечным.

Через М обозначается число элементов конечного множества М, или мощность множества М.

Для иллюстрации множеств удобно использовать так называемые диаграммы Эйлера-Венна, смысл которых заключается в том, что элементы множества схематически представляются точками некоторого круга.

В

Рассмотрим операции над множествами, с помощью которых из любых двух множеств можно получить новые множества.

Определение 7. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из всех элементов принадлежащих и множеству А и множеству В одновременно. Обозначается АÇВ, т.е. АÇВ={x | xÎА и xÎВ}

xÎАÇВ xÎА и xÎВ;

xÏАÇВ xÏА или xÏB.

АÇВ

 


Определение 8. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Обозначается: АÈВ, т.е. АÈВ={x | xÎА или xÎВ}.

 

xÎАÈВ xÎА или xÎВ.

xÏАÈВ xÏА и xÏB.

 

 

АВ


 

Замечание 2. Если элемент х принадлежит множеству А, то он принадлежит объединению множества А с любым другим множеством.

Замечание 3. Операции объединения и пересечения, определенные для случая двух множеств, могут быть распространены и на случай любого числа множеств. Пусть – множества. Тогда – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств ; – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств .

Определение 9. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В. Обозначается: А\В, т.е. А\В={x | xÎА и xÏВ}.

А\В

Определение 10. Если АВ, то разность В\A называется дополнением множества А до множества В.

 
 

 


Дополнением множества А называется разность U\A. Обозначается , то есть .

Равенство множеств.

Метод встречных включений.