Фрагмент матрицы определения параметров математических
функций при 
| Год | Условные обозначения | 
| 
| 
| t³y | lg y | t·lgy | ||||
| 
| 
| tі³ | ti^6 | |||||||
| -2 | -60 | 1,47 | -2,94 | ||||||||
| -1 | -32 | 1,50 | -1,5 | ||||||||
| 1,51 | |||||||||||
| 1,50 | 1,5 | ||||||||||
| 1,50 | |||||||||||
| 7,48 | 0,06 |
Далее найдем расчетные и вспомогательные данные для определения параметров моделей. Просчитываем несколько моделей, после чего выберем адекватную:
1. Для прямолинейной функции
Таким образом, получаем:
= 31,8 + 0,4t.
ŷi - yi (ŷi - yi )2
ŷ1 = 31,1 + 0,4*(-2) = 31 ŷ1 – y0 = 31 – 30 = 1 (ŷ1 - y0 )2 = 1
ŷ2 = 31,1 + 0,4*(-1) = 31,4 ŷ2 – y0 = 31,4 – 32 = -0,6 (ŷ2 - y1 )2 = 0,36
ŷ3 = 31,1 + 0,4*0 = 31,8 ŷ3 – y0 = 31,8 – 33 = -1,2 (ŷ3 - y2 )2 = 1,44
ŷ4 = 31,1 + 0,4*1 = 32,2 ŷ4 – y0 = 32,2 – 32 = 0,2 (ŷ4 - y3)2 = 0,04
ŷ5 = 31,1 + 0,4*2 = 32,6 ŷ5 – y0 = 32,6 – 32 = 0,6 (ŷ5 - y4)2 = 0.36
2. Для параболы второго порядка
Таким образом, получаем:
= 32,6+0,4t+(-0,4)t2
ŷi - yi (ŷi - yi )2
ŷ1 = 32,6+ 0,4*(-2)+ (-0,4)*4= 61,4 ŷ1 – y0 = 31,4 (ŷ1 - y0 )2 = 986
ŷ2 = 32,6 + 0,4*(-1)+(-0,4)*1= 64,6 ŷ2 – y0 = 32,6 (ŷ2 - y1 )2 = 1063
ŷ3 = 32,6+ 0,4*0+ (-0,4)*0= 67 ŷ3 – y0 = 34 (ŷ3 - y2 )2 = 1156
ŷ4 = 32,6+ 0,4*1+(-0,4)*1=68,6 ŷ4 – y0 = 36,6 (ŷ4 - y3)2 = 1339
ŷ5 = 32,6 + 0,4*2+(-0,4)*= 69,4 ŷ5 – y0 = 37,4 (ŷ5 - y4)2 = 1399
3. Для параболы третьего порядка
Таким образом, получаем:
= (-45,72)+(-128,64)t+(-0,42)t2+37,94t3
ŷi - yi (ŷi - yi )2
ŷ1 = 513,34 ŷ1 – y0 = 483,34 (ŷ1 - y0 )2 = 233617,556
ŷ2 = 120,41 ŷ2 – y0 = 88,41 (ŷ2 - y1 )2 = 7816,328
ŷ3 = -45,72 ŷ3 – y0 = -78,72 (ŷ3 - y2 )2 = 6196,328
ŷ4 = -136,8 ŷ4 – y0 = -168,8 (ŷ4 - y3)2 = 28493,44
ŷ5 = -1,1 ŷ5 – y0 = -33,1 (ŷ5 - y4)2 = 1095,61
4. Для показательной функции
= lg 1,5= 0,17
= lg0,006= -2,22
Таким образом, получаем:
= 0,17*(-2,22)t
ŷi - yi (ŷi - yi )2
ŷ1 = 0,03449 ŷ1 – y0 = -29,96 (ŷ1 - y0 )2 = 897,60
ŷ2 = -0,07658 ŷ2 – y0 = -32,07 (ŷ2 - y1 )2 = 1028,48
ŷ3 = 0,17 ŷ3 – y0 = -32,83 (ŷ3 - y2 )2 = 1077,80
ŷ4 = -0,3774 ŷ4 – y0 = -32,37 (ŷ4 - y3)2 = 1047,81
ŷ5 = 0,83783 ŷ5 – y0 = - 31,16 (ŷ5 - y4)2 = 970,94
Адекватность определяется по значению стандартизированной ошибки аппроксимации. Для расчета построим таблицу 4.
Таблица 4
Фрагмент матрицы определения 
| Год |
|
| Теоретические уровни по моделям | ||||
| Прямолинейной функции | Функции параболы второго порядка | Функция параболы третьего порядка | Показательная функция | ||||
| -2 | 61,4 | 513,34 | 0,03449 | ||||
| -1 | 31,4 | 64,6 | 120,41 | -0,07658 | |||
| 31,8 | -45,72 | 0,17 | |||||
| 32,2 | 68,6 | -136,8 | -0,3774 | ||||
| 32,6 | 69,4 | -1,1 | 0,83783 | ||||
|
| 450,13 | 0,58834 |
Таблица 4.1
| Год | ti | yi | Отклонения теоретических уровней  от фактических уровней 
| |||||||
| Прямолинейной функции | Функции параболы второго порядка | Параболы третьего порядка | Показательной функции | |||||||
| 
|
|
|
|
|
|
| |||
| -2 | 31,4 | 483,34 | 233617,5 | -29,96 | 897,6 | |||||
| -1 | -0,6 | 0,36 | 32,6 | 88,41 | 7816,3 | -32,07 | 1028,5 | |||
| -1,2 | 1,44 | -78,722 | 6196,8 | -32,83 | 1077,9 | |||||
| 0,2 | 0,04 | 36,6 | -168,8 | 28493,4 | -32,37 | 1047,8 | ||||
| 0,6 | 0,36 | 37,4 | -33,1 | 1095,6 | -31,16 | 970,8 | ||||
| ∑ | 3,2 | 291,13 | 277219,7 | -158,39 | 5022,6 |
Построим график всех моделей
Ряд1 -Прямолинейная функция
Ряд2 - Функция параболы второго порядка
Ряд3 - Функция параболы третьего порядка
Ряд4 – Показательная функция
Определим адекватность по значению стандартизированной ошибки аппроксимации по формуле:
(12)
где 
- значение уровня i-го года (данные в задании),
, - значение уровня i-го года, полученное по математической модели;
1. Для прямолинейной функции:
= 0,8
2. Для параболы второго порядка:
= 34,4
3. Для параболы третьего порядка:
= 7,4
4. Для показательной функции:
= 31,6
Адекватной считается та модель, для которой 
минимальна. Такой в нашем случае является модель описания прямолинейной функцией = 31,8 + 0,4t.
Прогнозирование осуществляется по адекватной модели тренда. Подставляя в адекватную модель значение t = 5 (прогноз на 3 года), подсчитываем точечную оценку прогнозируемого параметра yt.
= 31,8 + 0,4t = 31,8 + 0,4∙5 = 33,8, таким образом yпрог = 33,8.
Далее, с достоверностью 
= 0,95, определяем предельную возможную ошибку прогноза 
:
, (13)
где 
- остаточное среднее квадратическое отклонение, определяется по формуле:
,
(14)
где tα – коэффициент доверия, определяется по таблицам функции Стьюдента в зависимости от принятой достоверности 
.
n – число уровней базисного ряда динамики,
m – число параметров адекватной модели тренда.
Тогда прогнозируемый параметр будет лежать в пределах
yt - Δy ≤ yпрог. ≤ yt+Δy.
= 
= 
= ± 1,26
Так как достоверная вероятность = 0,95, то коэффициент доверия tα= 2. Предельно возможная ошибка прогноза
= ± 1,26 ∙ 2 = ± 2,52
Заключение
Таким образом, развитие объекта по которому мы составили прогноз по адекватной модели тренда с установленной вероятностью, будет на уровне 33,8 млн. рублей. Однако, принимая во внимание возможную ошибку прогноза, необходимо учитывать, что доход от оказанных услуг будет в пределах от 31,8 млн. руб. до 36,32 млн. руб.
Библиографический список
Книги
Шмойлова Р.А., В.Г. Минашкин, Н.А. Садовникова, Е.Б. Шувалова Теория статистики - М: Финансы и статистика, 2007.
Статьи
Семчагов В.Н. "Экономическая безопасность: состояние банковской системы" // Вопросы экономики - 1996. - № 6.