Составление математической модели задачи
При разработке математической модели задачи решаются такие вопросы:
· выбор параметров управления;
· выбор критерия оптимальности;
· формирование ограничений и целевой функции в общем виде и с использованием конкретных числовых данных.
Выбор критерия оптимальности в расстановочной задаче существенно зависит от соотношения провозной способности флота П и объема перевозок Q. В курсовой работе П<Q. Критерий оптимальности – максимум дохода в инвалюте. 5
Fij = Fij -Rij (4)
( і = 1,m ;j = 1,n)
F11 = 654 - 196,2 = 457,8 тыс. долл. – доход 1 судна на 1 первой схеме движения.
Остальные показатели сводим в табл. 2.4.
Таблица 2.4 Доход за рейс, тыс. долл
| №судна | Схемы | |||
| 1.Капитан Кушнеренко | 457,8 | 396,2 | 200,2 | 424,2 |
| 2.Славянск | 366,8 | 340,2 | 163,8 | 320,6 |
Математическая модель задачи в общем виде :
Z = 
Fij* xij – max (5)
qil* xij £ Ql(l=1,S)
tij* xij = Ti( і =1,m)
xij³ 0 ( і = 1,m ; j = 1,n)
где xij – число рейсов судові– го типа на j – ой схеме движения (параметры управления), судо – рейсы ;
Ti - бюджет времени судові– го типа, судо – сутки.
Ti= Ni*Тпл(і =1,m), (6)
где Ni – число судов і– го типа;
Тпл - продолжительность планового периода (Тпл= 365 сут.);
Т1= 7*365=2555 судо –сут.;
Т2 = 6*365=2190 судо –сут.;
Ql - количество груза, предъявленное к перевозке на l– ом участке, тыс.т;
Gl- множество схем движения, содержащих l– ый участок;
S – количество груженых участков.
Экономический смысл целевой функции – максимизировать доход в инвалюте.
ограничения отражают требование перевозки груза в количестве, не превышающем заявленного;
Ограничения отражают требования использования бюджета времени в эксплуатации судов всех типов на перевозках;
Ограничения – условие неотрицательности переменных.
Математическая модель задачи в координатной форме записи:
Z = F11* x11+ F12* x12+ F13* x13+F14*x14 +F21* x21+ F22* x22+ F23* x23 +F24*x24 – max
Ограничения:
q11* x11+q21* x21 
Q1;
q12* x14 +q22* x24 Q2;
q13* x11+q13* x12+q23*x21+q23*x22 Q3;
q14* x12+ q14* x13 +q14* x14 + q24* x22+q24*x23+q24*x24 Q4;
t11* x11 +t12 * x12+ t13 * x13+t14*x14= T1
t21* x21 +t22 * x22+ t23 * x23+t24*x24= T2
xij³ 0 ( і = 1,m ; j = 1,n).
Целевая функция курсовой работы имеет вид:
Z = 457,8* x11+ 396,2* x12+ 200,2* x13+ 424,2*x14 + 366,8* x21+ 340,2* x22+ 163,8* x23 +320,6*x24 – max
Ограничения:
11* x11+8* x21 320;
10* x14 + 7* x24 250;
10* x11+10* x12+9x21+9x22 
340;
11* x12+ 11* x13 +11* x14 + 9* x22+9x23+9x24 150;
125* x11 +119* x12+ 56* x13+109x14= 2555
115* x21 +117* x22+ 55* x23+99x24= 2190
xij ³ 0 ( і = 1,m ; j = 1,n).
3. Нахождение оптимального плана работы флота и оптимальных схем движения судов при помощи пакета ПЭР.
Перенумеруем переменные, чтобы они были одноиндексными (табл. 3.1)
Таблица 3.1.Переход от двухиндексной к одноиндексной нумерации переменных
| x11 | x12 | x13 | x14 | x21 | x22 | x23 | x24 | Знак | Правые части ограничений |
| x 1 | x 2 | x 3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | ||
| ≤ | |||||||||
| ≤ | |||||||||
| ≤ | |||||||||
| ≤ | |||||||||
| = | |||||||||
| = | |||||||||
| 457,8 | 396,2 | 200,2 | 424,2 | 366,8 | 340,2 | 163,8 | 320,6 | → | max |
Запишем математическую модель в координатной форме с использованием конкретных числовых данных:
Целевая функция:
Z = 457,8* x1+ 396,2* x2+ 200,2* x3+ 424,2*x4 + 366,8* x5+ 340,2* x6+ 163,8* x7 +320,6*x8 – max
Ограничения:
11* x1+8* x2 320;
10* x4 + 7* x8 250;
10* x1+10* x2+9x5+9x6 340;
11* x2+ 11* x3 +11* x4 + 9* x6+9x7+9x8 150;
125* x1 +119* x2+ 56* x3+109x4= 2555
115* x5 +117* x6+ 55* x7+99x8= 2190
x1-8 ³ 0
Перейдем от задачи в стандартной форме к задаче в канонической форме (преобразуем неравенства в уравнения с помощью дополнительных переменных):
Z = 457,8* x1+ 396,2* x2+ 200,2* x3+ 424,2*x4 + 366,8* x5+ 340,2* x6+ 163,8* x7 +320,6*x8 +0*x9+0*x10+0*x11+0*x12 – max
Ограничения:
11* x1+8* x2+x9=320;
10* x4 + 7* x8+x10=250;
10* x1+10* x2+9x5+9x6+x11=340;
11* x2+ 11* x3 +11* x4 + 9* x6+9x7+9x8+x12=150;
125* x1 +119* x2+ 56* x3+109x4= 2555
115* x5 +117* x6+ 55* x7+99x8= 2190
x1-12 ³ 0
Обозначаем вектора условий :
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
Данная система ограничений не содержит нужных для построения базиса (m+n) единичных векторов – условий. Применим метод искусственного базиса и перейдем от исходной задачи к расширенной путем ввода искусственных переменных x13 и x14.
Z = 457,8* x1+ 396,2* x2+ 200,2* x3+ 424,2*x4 + 366,8* x5+ 340,2* x6+ 163,8* x7 +320,6*x8 +0*x9+0*x10+0*x11+0*x12 –М*x13 –М*x14– max
Ограничения:
11* x1+8* x2+x9 320;
10* x4 + 7* x8+x10 
250;
10* x1+10* x2+9x5+9x6+x11 340;
11* x2+ 11* x3 +11* x4 + 9* x6+9x7+9x8+x12 150;
125* x1 +119* x2+ 56* x3+109x4 – x13= 2555
115* x5 +117* x6+ 55* x7+99x8 – x14= 2190
x1-14 ³ 0
Мы получили 6 единичных векторов необходимых для построения базиса:
A9= 
A10= 
A11= 
A12= 
A13= 
A14= 
B= 
Вычислим значение базисных переменных.
Тогда исходный опорный план расширенной задачи таков:
X= (x1=0; x2=0; x3=0; x4=0; x5=0; x6=0; x7=0; x8=0; x9=320; x10=250; x11=340; x12=150; x13=2555; x14=2190).
Составим симплекс-таблицу для исходного опорного плана расширенной задачи (табл.3.2).
Таблица 3.2 Симплекс таблица для исходного опорного плана
| Строка | Базис | Сб | В | 457,8 | 396,2 | 200,2 | 424,2 | 366,8 | 340,2 | 163,8 | 320,6 | -M | -M | ||||
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 | x11 | x12 | x13 | x14 | ||||
| Х9 | |||||||||||||||||
| Х10 | |||||||||||||||||
| Х11 | |||||||||||||||||
| Х12 | |||||||||||||||||
| Х13 | M | ||||||||||||||||
| Х14 | M | ||||||||||||||||
| m+1 | Zj + Cj | -457,8 | -396,2 | -200,2 | -424,2 | -366,8 | -340,2 | -163,8 | -320,6 | ||||||||
| m+2 | -125 | -119 | -56 | -109 | -115 | -117 | -55 | -99 |
План в табл. 3.2 неоптимальный, так как есть отрицательные оценки, а задача на максимум. Оптимальный план находим с помощью ПЭВМ типа PENTIUM по программе симплекс – метода.
Пакет прикладных программ (ППП) ПЭР – пакет экономических расчетов является адаптацией пакета «Системы количественного анализа в управлении» версии 5.0.
ППП ПЭР предназначен для решения ряда экономико – математических задач на персональных компьютерах типа PENTIUM. В пакете реализованы наиболее часто используемые экономико – математические задачи и методы, в частности: линейное программирование.
Максимальные размеры решаемых задач: 40 основных переменных и 40 ограничений. Программа линейного программирования использует симплексный – метод решения задач.
В основном меню пакета выбираем пирамиду LP, при этом осуществляем переход к решению конкретной задачи. Решение задачи начинается с появления на экране меню, где мы выбираем опцию «Ввод новой задачи». Ввод начинается с задания имени задачи, которое должно содержать не более 6 символов.
Далее вводятся характеристики задачи:
1) признак оптимальности: при максимизации вводим 1;
2) число переменных;
3) число ограничений;
4) символ “N”, чтобы не пользоваться именами переменных.
После определения задачи и ввода имен переменных программа высвечивает экран для ввода коэффициентов модели.
Затем, выбираем опцию «Решение задачи», на экране появляется меню решение задачи, в которой выбираем «Решить и вывести начальную и конечную таблицы ».
После этого надо сохранить задачу, для этого мы вызываем опцию «Вывод (печать окончательного решения задачи)» - на экране появляется меню выводарешения, где выбираем вывод на экран и печать окончательного решения.
Я получила следующую таблицу (табл. 3.3)
Таблица 3.3. Оптимальный план задачи
Х1 = Х11 = 8,55 S1 = 225,96
Х2 = Х12 = 0 S2 = 113,6364
Х3 = Х13 = 0 S3 = 83,1178
Х4 = Х14 = 13,64 S4 =0
Х5 = Х21 = 19,04 А5=0
Х6 = Х22 = 0 А6=0
Х7 = Х23 = 0 Zmax=16683,47
Х8 = Х24 = 0 итерац. = 5
Экономический смысл полученных данных таков:
Х11=9 - судами 1-го типа выполнено 9 рейсов по 1й схеме.
Х12= 0 - Судами 1-го типа выполнено 0 рейсов по 2-й схеме.
Х13= 0 - Судами 1-го типа выполнено 0 рейсов по 3-й схеме.
Х14= 14 - Судами 1го типа выполнено 14 рейсов по 4-й схеме.
Х21=19 - Судами 2го типа выполнено 19 рейсов по 1-й схеме.
Х22=0 - Судами 2-го типа выполнено 0 рейсов по 2-й схеме.
Х23=0 - Судами 2-го типа выполнено 0 рейсов по 3-й схеме.
Х24=0 - Судами 2-го типа выполнено 0 рейсов по 4-й схеме.
Zmax = 16683,47 – максимальный доход в инвалюте при работе судов по схемам.
В результате решения задачи получили оптимальные схемы движения.
Расчет плановых показателей работы флота
Для оптимального плана рассчитываются такие показатели флота:
1. Время работы судов і- го типа на j- ой схеме движения.
2. Количество груза, перевезенного судами і- го типа на каждом участке j-ой схемы движения и в целом по схеме.
3. Инвалютный доход, полученный судами і- го типа на j- ой схеме движения.
4. Расходы в инвалюте.
5. Чистый инвалютный доход.
1)Время работы судов і- го типа на j- ой схеме движения рассчитывается по формуле:
Tij = tij * xij (7)
T11 = t11 * x11=125*8,55= 1068 сут. – время работы 1 судна на 1 схеме движения.
Показатели для всех остальных судов представляем в табл. 4.1
Таблица 4.1 Время работы судов
| №судна | Схемы | |||
| Итого | ||||
| 1.Капитан Кушнеренко | ||||
| 2.Славянск | - | |||
| Итого | ||||
2)Количество груза, перевозимого судами і -го типа на каждом участке j- ой схемы движения.
Qil= qil * xij (8)
Q11 = q11*x11=11*8,55=94,1 тыс.т - количество груза, перевозимого судами 1-го типа на 1-ом участке 1- ой схемы движения.
Полученные значения заносим в табл.4.2
Таблица 4.2. Количество перевозимого груза
| № судна | Схемы | ||||
| Итого | |||||
| 1.Капитан Кушнеренко | 85,5 | 136,4 | 465,9 | ||
| 2.Славянск | 153,2 | 171,4 | - | - | 324,6 |
| Итого | 247,3 | 256,9 | 136,4 | 790,5 |
3) Инвалютный доход, полученный судами і - го типа на j- ой схеме движения.
Инвалютный доход, полученный судами і - го типа на j- ой схеме движения:
Фij = Fij * xij (9)
Ф11= F11 * x11=654*8,55 = 5591,7 тыс.долл. – инвалютный доход, полученный 1 судном на 1 схеме движения.
Показатели для всех остальных судов представляем в табл. 4.3
Таблица 4.3 Инвалютный доход судов
| № судна | Схемы | |||
| Итого | ||||
| 1.Капитан Кущнеренко | 5591,7 | 8265,8 | 13857,5 | |
| 2.Славянск | - | |||
| Итого | 15568,7 | 8265,8 | 23834,5 | |
4)Расходы в инвалюте
Rij =0.3*Фij (10)
R1= 0,3*5591,7= 1677,5 тыс. долл. – расходы 1 судна на 1 схеме движения.
Показатели для всех остальных судов представляем в табл. 4.4
Таблица 4.4 Инвалютный расход судов
| № судна | Схемы | |||
| Итого | ||||
| 1.Капитан Кущнеренко | 1677,5 | 2479,7 | 4156,5 | |
| 2.Славянск | 2993,1 | - | 2993,1 | |
| Итого | 4670,6 | 2479,7 | 7150,3 | |
5)Чистый валютный доход
Фij=Фij - Rij (11)
Ф11 = 5591,7 – 1677,5=3914,2 тыс. долл. – чистый валютный доход 1 судна на 1 схеме движения.
Сводим остальные показатели в табл.4.5
Таблица 4.5 Чистый инвалютный доход судов
| № судна | Схемы | |||
| Итого | ||||
| 1.Капитан Кущнеренко | 3914,2 | 5786,1 | 4156,5 | |
| 2.Славянск | 6983,9 | - | 2993,1 | |
| Итого | 10898,1 | 5786,1 | 7149,6 | |
Вывод
Оптимальными являются 1- ая и 4-ая схемы движений, на которых судоходная компания будет иметь максимальный доход в инвалюте. Из приведенных расчетов видно:
- общее время работы судов составляет 4743 сут.
- общее количество перевезенного груза 790,5 тыс.т.
- инвалютный доход, полученный судами 23834,5 тыс.долл.
- общий расход в инвалюте всеми судами равен 7150,3 тыс.долл.
- чистый валютный доход составляет 7149,6 тыс.долл.
Список литературы
1.Воевудский Е.Н.и др. Экономико-математические методы и модели в управлении морским транспортом. – М.: Транспорт,1989.- 384 с.
2. http://www.port.odessa.ua/index.php/ru/
3.Надточей В.И. география морского судоходства. – М.:Транспорт, 1995.
4. http://www.searates.com/ru/
5. http://www.logistics-gr.com/index.php/ru/