Определение углов между всеми осями симметрии и плоскостями зеркального отражения.

После построения стереографической проекции данной точечной группы с помощью сетки Вульфа, можно приступать к выполнению задания 3 – определению углов между всеми элементами симметрии данной точечной группы. Для этого необходимо стереографические проекции плоскостей перевести в гномостереографические. Затем, выводя попарно проекции элементов на один меридиан сетки Вульфа, определить углы между ними обычным способом. Результаты измерения углов вносятся в таблицу вида: Таблица 2.1.

 

 

Таблица 1. Углы между элементами симметрии.

Элементы симметрии Оси Плоскости
Оси 900 900 600 600 1200 1200 450 450 900 900 1460 340
900 900 600 1200 600 1200 1350 450 340 1460 900 900
900 900 450 450 450 450 900 900 560 560 560 560
600 600 450 600 600 900 900 450 360 910 910 360
600 1200 450 600 900 600 450 900 910 360 910 360
1200 600 450 600 900 600 1350 900 360 910 360 910
1200 1200 450 900 600 600 900 1350 910 360 360 901
Плоскости 450 1350 900 900 450 1350 900 900 540 1250 1250 540
450 450 900 450 900 900 1350 900 540 1250 1250 540
900 340 560 360 910 360 910 540 540 1120 710 710
900 1460 560 910 360 910 360 1250 1250 1120 710 710
1460 900 560 910 910 360 360 1250 1250 710 710 1120
340 900 560 360 360 910 910 540 540 710 710 1120

Построение гномостереографической и стереографической проекции общей и одной частной простой формы. Определение полученного многогранника

Задание 4 выполняется на кальке со стереографическими проекциями элементов симметрии точечной группы. Для построения общей простой формы на кальку наносится гномостереографическая проекция произвольной грани, которая не лежит на проекции элемента симметрии и не составляет с одинаковыми элементами симметрии равных углов. Размножив эту грань с помощью всех элементов группы, получим гномостереографическую проекцию многогранника, который является общей простой формой данной группы.

Для построения частной простой формы необходимо взять точку, расположенную на одном из элементов симметрии, как, например, точки т.В и т.С. Первая точка является проекцией грани, которая перпендикулярна оси симметрии 3 и трем плоскостям симметрии, а т.С является проекцией грани перпендикулярной плоскости симметрии. Если гномостереографическая проекция грани отстоит на 90о от стереографической проекции плоскости или оси симметрии, то эта грань также находиться в частном положении.

Построение стереографических проекций форм выполняют на отдельных листах кальки. Для этого переносят гномостереографачиские проекции на новую кальку и по ним обычным способом строят стереографические проекции граней. На этом задания по работе с точечной группой симметрии закончены.

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ГРУППА СИММЕТРИИ Cmca

Построение плана пространственной группы симметрии

Построение плана пространственной группы рассмотрим на примере группы Cmca. Сначала построю проекцию системы трансляций, которая задается символом ячейки Бравэ, стоящем на перовом месте. В моем случае символ означает базоцентрированную систему, состоящую из трех осевых трансляций вдоль осей системы координат и одной диагональной трансляции ромбической сингонии. То есть характеризуется такими векторами трансляций , , , а ромбическая сингония – системой координат с метриками , (декартовая система координат).

Рис. 13

Нанесу на эту проекцию формульные (генерирующие) элементы симметрии в соответствии с правилами записи. На первом месте в заданном интернациональном символе пространственной группы стоят плоскости зеркального отражения m, которая располагается вдоль оси OX, на втором месте – плоскость скользящего отражения c, расположенная вдоль оси OY . На третьем месте стоит горизонтальная плоскость отражения а.

Рис. 14

 

Развитие плана пространственной группы проводят с помощью последовательного применения теорем о сложении элементов симметрии. Сначала применяют теоремы сложения элементов симметрии континуума, а затем – дисконтинуума.

По теореме 1.1 на нашем плане появятся оси второго порядка на пересечении плоскостей.Для применения теорем 1.2, 1.3, 1.4 нет условий. А теорема 1.5 подтверждает теорему 1.1.

Рис. 15

Теперь перейдем к теоремам о взаимодействии пространственных элементов симметрии. Применяя теорему 1.7 о трансляции перпендикулярной плоскости симметрии, получим еще две плоскости параллельные исходным в координатном положении, которые лежат на половине трансляции. Плоскости, отстоящие от генерирующих на величину трансляции, появились вследствие трансляционного переноса. А применив теорему 1.9 мы получим оси симметриии второго порядка.

Рис. 16

Нанесение на план пространственной группы все возможные правильные системы точек, определение кратности каждой системы, и составление таблицы их расположения и кратности

Для выполнения этого задания вновь построю план пространственной группы на отдельном листе миллиметровой бумаги. При нахождении правильных систем точек вспомню, что два любых объекта, связанные преобразованием трансляции являются эквивалентными.

Выполнение задания начну с систем точек частного положения. Для этого выделю неэквивалентные элементы симметрии. В моем случае все элементы симметрии являются эквивалентными.

Таблица 2. Правильные системы точек.

Вид Кратность Координаты Расположение
Частного т. , , , На оси 2 (пересечение плоскостей c)
Частного т. , , , , , , , На пересечении оси 2 и плоскости n
Частного т. , , , , , , , На пересечении оси 2 и плоскости n
Частного т. , , , На пресечении плоскостей n
Частного т. , , , , На пересечении плоскостей с и n
Общего т. , , , , , , , Вне элементов симметрии