Дробный факторный эксперимент

Число опытов в полном факторном эксперименте быстро растет с увеличением размерности факторного пространства. При больших К матрицы планирования эксперимента оказываются практически неприемлемыми. При этом из множества полных факторных экспериментов 2^к может быть отобрана некоторая часть, представляющая дробный факторный эксперимент, содержащий подходящее число опытов.

Вернемся еще раз к модели (2). Если есть основание считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс можно описать линейной моделью, то достаточно провести три опыта и на их основе определить три коэффициента: b₀, b_], b₂. Остается один свободный опыт. Его можно употребить для сокращения числа опытов. При линейном приближении b₁₂ к нулюможно использовать столбец х₁х₂ еще для одного нового фактора х₃. По результатам опытов (см. табл. 2) можно построить линейную модель уже для трех факторов

Коэффициенты этой модели вновь рассчитываются по известной формуле (1). Наиболее важное отличие приведенного метода планирования от полного факторного эксперимента заключается в следующем. Из матрицы планирования видно, что величина в точности совпадает с величиной b₁₂ (знаки столбцов х₁х₂ и х₃ одинаковы). Если в дополнение к столбцам, указанным в табл. 2, построить столбцы х₁х₃ и x₂x₃, то они в точности совпадут соответственно со столбцами х₂ и x₁ и, следовательно, коэффициенты b₁₃ и b₂₃ совпадают соответственно с коэффициентами b₂ и b₁, т.е.

где β₁, β₂, β₃ – истинные значения коэффициентов;

β₂₃, β₁₃, β₁₂ – истинные значения парных взаимодействий.

Следовательно, вместо восьми опытов для изучения трех факторов можно поставить четыре опыта! Число экспериментов сокращается вдвое. При этом мы воспользовались только половиной полного факторного эксперимента 2³ или полурепликой.

В дробном факторном эксперименте линейные эффекты смешаны с эффектами парных взаимодействий, что свидетельствует о потере информации (если сравнить с полным факторным экспериментом). Это «естественная плата» за сокращение числа опытов. Но поскольку принята модель линейной и взаимодействие пренебрежимо малым, то точность расчета будет достаточной.

Поиск оптимальных условий

Задача оптимизации ставится таким образом: необходимо определить экспериментально координаты экспериментальной точки (x₁^opt, x₂^opt, ..., x_k^opt). Кратчайший путь их нахождения — это движение в направлении градиента

где – единичные векторы в направлении координатных осей факторного пространства.

Из уравнения видно, что частная производная линейной функции по каждой переменной x_i равна соответствующему коэффициенту:

т. е.

Следовательно, чтобы осуществить движение по градиенту, значения факторов по каждой из осей i, j, ..., k необходимо изменить пропорционально величинам коэффициентов b₁, b₂, ..., b_k с учетом их знака.

Бокс и Уилсон [1] предложили шаговый метод движения в направлении градиента: па основе серии опытов находится локальное описание поверхности отклика в некоторой исходной области с помощью модели линейного вида. Далее определяют направление градиента по уравнению (3). В этом направлении планируют «мысленные» опыты. Серия «мысленных» опытов рассчитывается последовательным прибавлением к основным уровням значимых факторов факторных величин, пропорциональных величинам коэффициентов регрессии с учетом их знаков. Вначале определяют произведения коэффициентов на соответствующие интервалы варьирования , по каждому фактору. Потом находят базовый фактор, для которого произведение оказалось наибольшим по абсолютной величине, и для него вычисляют «единичный шаг» . После этого рассчитывают «единичные шаги» для всех остальных факторов

и округляют расчетные значения. Полученные таким образом «шаги» последовательно прибавляют (в зависимости от знака b_j и от того, что ищут — максимум или минимум) к основному уровню каждого фактора или вычитают из него. Незначимые факторы стабилизируют на любом уровне в интервале ±I. Обычно рассчитываются 5—10 «мысленных» опытов. Реализация «мысленных» опытов начинается с опыта, условия которого выходят за область эксперимента хотя бы по одному из факторов. Из серии рекомендуется проводить 2—3 опыта. По оценке их результатов принимают решения о прекращении экспериментов или о дальнейшем проведении их.

Если одного линейного приближения недостаточно, то ставится новая серия опытов с центром в точке, которая соответствует наибольшему значению у, и находится новое направление движения но поверхности отклика. Такой шаговый процесс продолжается до достижения экстремума.

⇐ Назад

Далее ⇒