Основные тригонометрические тождества

2

(4)

(5)

(6)

. (7)

По значению одной из тригонометрических функций некоторого угла можно, используя приведенные выше формулы, найти значения всех остальных. Применение этих формул значительно упрощает процесс тригонометрических преобразований. При этом необходимо помнить, что при извлечении квадратного корня получаем выражение с модулем, например . Раскрывая модуль, знак выбираем в зависимости от того, в какой четверти лежит угол .

Пример 1. 1) Выразить в радианной мере угол, равный 150º.

2) Выразить в градусной мере угол в радиан.

Решение. 1) Используя формулу (2), получим:

2) Используя формулу (3), получим

Пример 2.Вычислить tg a, если sin a = –0,8 и .

Решение.Сначала найдем cos a. Из формулы (4) получим

Так как в третьей четверти cos a < 0, то cos a = –0,6. Находим

Пример 3.Вычислить

Решение.Используя нечетность и периодичность функции , получаем:

По формулам приведения находим:

Таким образом,

Пример 4.Определить знак выражения

Решение. Вначале используем нечетность функций, а затем их знаковые характеристики (рис.6):

Значит это угол III четверти, в которой синус принимает отрицательное значение (рис. 6). Тогда

Угол – это угол II четверти, в которой косинус отрицательный.

– это угол II четверти, тогда .

Угол лежит в III четверти, тогда и

Учитывая знаки всех множителей, получаем

,

т.е. заданное выражение положительно.

Пример 5. Сравнить два числа и

Решение. Заметим, что углы и – это углы I четверти, в которой синус и косинус принимают положительные значения.

(в силу ограниченности функции косинус), тогда

Пример 6. Указать наибольшее и наименьшее значение выражения

Решение.Выражение будет наибольшим, если будет наибольшим.

Известно, что но тогда

Тогда наибольшее значение выражения будет, если т.е. равно 2. А наименьшее, если т.е. равно .

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Выразите в радианной мере углы:

1) 100º; 2) 244,38º; 3) 720º; 4) 135º; 5) 27,13º.

1.2. Выразите в градусной мере углы:

1) 2) 3) 4) 0,64; 5) 3,627.

1.3. Найдите:

1) sin a, если и

2) cos a, если и

3) tg a, если и

4) сtg a, если и

1.4. Вычислите:

1) 2) 3) 4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

1.5. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) 2) 3)

1.6. Выберете среди чисел наименьшее:

1)

2)

1.7. Докажите тождества:

1)

2)

3)

4)

1.8. Упростите выражение используя формулы (4) – (7) и формулы приведения.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

II уровень

2.1. Найдите:

1) и если

2) если и

3) если

2.2. Определите знак произведения:

1)

2)

3)

4)

5)

2.3. Вычислите:

1) если

2) если и

3) если

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

2.4. Докажите тождества:

1)

2)

3)

4)

5)

2.5. Упростите выражение:

1)

2)

3)

4) если

5)

6)

7)

8)

2.6. Сравните два числа и

III уровень

3.1. Докажите тождества:

1)

2)

3)

4)

5)

3.2. Вычислите:

1) если и

2) если и

3.3. Упростите выражение:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

3.4. Найдите значение выражения если

3.5. Сравните и

3.6. Найдите наибольшее значение выражения

2