Практика 1.1. Отношения и их свойства
Лекция 1.1. Отношения и их свойства
Вопросы и задания для подготовки к лекции:
1. Что называют прямым (декартовым) произведением двух множеств?
2. Заданы множества 
{1, 3} и 
{а, в}, тогда декартовым произведением этих множеств А´В (В´A) является множество…
3. Фабрика "Авторучка" изготовляет отдельно корпус и колпачок авторучек белого, синего и оранжевого цветов. А-множество цветов. Какое количество различных вариантов окраски возможно? Есть ли разница в парах А´A (белый, синий) и (синий, белый)? В чем она состоит?
4. Отношение задано неравенством: 
. Приведите примеры пар, которые принадлежат и не принадлежат данному отношению.
5. Рассмотрите множество упорядоченных пар (2,4), (2,6), (2,8), (4,6), (4,8), (6,8). Какое отношение они задают? Подмножеством какого множества является данное множество? Постройте граф данного отношения.
6. Приведите примеры отношений, заданных на множестве натуральных чисел (на множестве людей).
Вопросы для обсуждения:
1. Кортеж. Декартово произведение n множеств. N- ая степень множества А.
2. Понятие бинарного (тернарного, n-местного) отношения на множестве А. Представление бинарных отношений графами.
3. Свойства бинарных отношений (рефлексивность, симметричность, транзитивность, связанность).
4. Отношение эквивалентности. Понятие класса эквивалентности, порожденного элементом a. Фактор-множество.
5. Отношение порядка. Строгий (нестрогий, линейный) порядок и их графы.
Литература:
1. Матрос Д.Ш., Поднебесова Г.Б. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры: Учебное пособие для студентов педагогических вузов. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 240 с.
2. Стойлова Л.П. Математика: учебник для студентов высш. Пед. Учеб.заведений/ Л.П. Стойлова. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 432 с.
Практика 1.1. Отношения и их свойства
Вопросы и задания для подготовки к занятию:
1. Какую пару объектов называют неупорядоченной? Что называют кортежем?
2. Какие отношения называют бинарными? Приведите примеры.
3. Как читается запись для бинарного отношения R: a R b и почему она означает не тоже, что b R a? Проиллюстрируйте на примере.
4. Какие бинарные отношения называют транзитивными, симметричными, рефлексивными, антирефлексивными, антисимметричными, связными? Каковы графы этих отношений?
5. Какое бинарное отношение называется отношением эквивалентности (порядка)?
6. Что такое «класс эквивалентности»?
7. Что называется разбиением множества на классы?
Задания для самостоятельной работы:
1. Пусть А={1,2}, В={2,5 }, С={3} Найти А´В´А, А2, В3, А´В´С.
2. Какие из равенств справедливы? Обоснуйте, либо приведите контрпример.
| А´ (BC)=(A´B) (A´C) А´ (BUC)=(A´B) U (A´C) (BC) ´А =(B´A) (C´A) (BUC) ´А =(B´A) U (C´A) А´ (B´C)=(A´B)´C | А´ B= B´ A (АB) ´ (CD) = (A´C) (B´D) (А\B) ´C=(A\C) ´ (B\C) (А\B) ´C=(A´C) \(B´ C) |
3. Постройте граф отношения х = y+2 заданного на множестве {-3, -1, 1, 2, 3, 4}. Принадлежат ли пары (-1,-3), (4,2) этому отношению?
4. Постройте граф отношения «быть матерью», заданный на множестве членов вашей семьи. Какими свойствами обладает это отношение на данном множестве?
5. Выпишите по 5 упорядоченных пар, принадлежащих данным отношениям. Выясните какими свойствами обладают данные отношения.
a) На множестве Z заданы отношения: х y+1, х2= y2, х2+ y2=1.
b) На множестве N заданы отношения: х делит y, х y.
c) На множестве R заданы отношения: 5х y, х - y Є Z
6. Приведите примеры бинарных отношений:
a) Рефлексивных и транзитивных, но не антисимметричных;
b) Рефлексивных и транзитивных, но не симметричных;
c) Транзитивных и симметричных, но не рефлексивных;
d) Рефлексивных и симметричных, но не транзитивных.
7. Покажите, что отношение заданное на множестве R (х - y )/2 Є Z является отношением эквивалентности.
8. Постройте граф, отвечающий порядку – отношению делимости во множестве всех натуральных чисел от 2 до 16, и назвать максимальные и минимальные элементы относительно этого порядка.
9. Придумайте отношение, которое позволит упорядочить слова, входящие в предложение «Каждый охотник желает знать таблицу умножения». Является ли данный порядок строгим (нестрогим, линейным)?