Потоки финансовых платежей
Простые проценты
Основные понятия
Процентные деньги (проценты) – 1. сумма, уплаченная за пользование заемными денежными ресурсами; 2. доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты, инвестиции и т.д.).
Процентная ставка (такса) – 1. характеризует интенсивность начисления процентов; 2. отношение процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени, к величине капитала.
I=f(PV, n, i),
I=I 
PV n,
где I – процентные деньги,
PV – величина капитала, предоставляемого в кредит,
n – срок, на который предоставляется кредит,
I – процентная ставка.
Относительно момента выплаты или начисления дохода за пользование предоставленными денежными средствами проценты подразделяются на обычные и авансовые.
Проценты обычные (декурсивные) – проценты, начисляемые по истечении определенного периода после вложения средств. Вычисляются относительно первоначальной суммы денег.
Проценты авансовые (антисипативные) – проценты, уплачиваемые в момент выдачи денежных средств. Вычисляются относительно суммы денег с процентами (наращенной суммы).
Этим видам процентов на практике соответствуют определенные процентные ставки: обычная ставка и антисипативная ставка.
Практика уплаты процентов основывается на теории наращивания денежных средств по арифметической или геометрической прогрессии. Арифметическая прогрессия соответствует простым процентам, геометрическая – сложным, то есть в зависимости от того, что является базой для начисления – переменная или постоянная величина – проценты также делятся на:
простые – проценты, весь срок финансовой операции определяется относительно первоначальной суммы;
сложные – проценты, база для определения которых постоянно меняется за счет присоединения (снятия) начисленных раннее процентов.
Следующей формулой выражается суть практических расчетов, связанных с исчислением суммы погашения ссуды, предоставленной под простые проценты и размера срочного вклада с процентами:
FV= PV (1+n i),
где PV – современная стоимость денег,
FV – наращенная (будущая) стоимость денег.
При использовании простых процентов, когда срок сделки не равен целому числу лет, периоды начисления процентов выражаем дробным числом как отношение числа дней проведения сделки к числу дней в году, т. е.:
n=t/y.
Тогда, FV=PV(1+i t/y).
В зависимости от сочетания t и y, измеренных по-разному, на практике встречаются следующие способы расчетов:
1. t и y измерены точно – это значит начислить точные проценты с фактическим сроком операции. Для определения t здесь пользуются специальной таблицей порядковых номеров дней в году: из номера дня окончания операции вычитают день ее начала (если день выдачи и день погашения ссуды считают за 1);
2. если t измерено точно, а y – приближенно. Этот способ используется для вычисления обыкновенных (коммерческих) процентов с фактическим сроком операции. Поскольку при вычислении в выражении t/y знаменатель меньше, чем при расчетах в случае 1, то есть 360 по сравнению с 365, то размер начисленных процентов при прочих равных условиях соответственно будет несколько большим – на 1,3889%. России по такому принципу ведутся все банковские операции.
3. когда t и y измерено приближенно. Этот способ применяется для вычисления обыкновенных (коммерческих) процентов с приближенным сроком операции при некоторых видах расчетов с населением.
При обслуживании текущих счетов банки сталкиваются с непрерывной цепью поступлений и расходований средств, а также с необходимостью начисления процентов на постоянно меняющуюся сумму.
В банковской практике в этой ситуации используется правило – общая начисленная за весь срок сумма процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм.
Для начисления процентов на такие постоянные суммы используют процентные числа.
Процентное число = Сумма 
срок ее хранения в днях/100.
Процентные числа по каждой постоянной сумме складываются и делятся на дивизор:
Дивизор = Продолжительность года в днях/годовая ставка процентов (в процентах).
Таким образом, вся абсолютная сумма начисленных процентов рассчитывается по следующей формуле:
I = Сальдо процентных чисел/Дивизор.
Пример 1.1. На расчетный счет предприятия поступили средства: 15.01 – 890 000 руб., 19.01 – 536 780 руб., 2.02 – 321 000 руб., 20.03. – 17 278 577 руб.; дебетовое сальдо с прошлого квартала на 01.01 текущего года – 27 160 руб.
Снятие средств осуществилось: 18.01 – 210 000 руб., 22.02 – 500 000 руб., 15.03 – 780 000 руб.; процентная ставка – 10% годовых на остаток по счету.
Подвести итоги на 31.03 текущего года по текущему счету предприятия в банке.
Решение:
1. Исходные данные заносим в таблицы, в гр. «Сумма»: поступление – в дебет, расход – в кредит.
2. В гр. «Дни» записываем t, т. е. порядковый номер дня, на который подводим итог, минус номер дня операции.
3. Далее в гр. «Процентное число» записываем:
210 000*37:100 = 151 200;
500 000*89:100 = 185 000, и. т. д.
4. Затем на балансовой строке процентных чисел подводим их итог: складываем процентные числа дебета и отдельно кредита. Большая сумма пишется в баланс в дебет и кредит, а сальдо (разница между суммой процентных чисел дебета и кредита) проставляется, где сумма меньше.
5. Исчисляем процентный платеж исходя из сальдо процентных чисел и дивизора:
I = Процентное число/ Дивизор = 2 695 399,6 / 360:10 = 74 872,21 руб.
Кредит
| Дата снятия | Дни (t) | Сумма (PV) | Процентное число |
| 18.01 | N(31.03) – N(18.01)= = 90-18 = 72 | 210 000 | 151 200 |
| 22.02 | N(31.03) – N(22.02)= = 90-53 = 37 | 500 000 | 185 000 |
| 15.03 | N(31.03) – N(15.03)= = 90-74 = 16 | 780 000 | 124 800 |
Сальдо процентных чисел: 3 156 399,6 – 461000 = 2 695 399,6
Дебет
| Дата поступления | Дни (t) | Сумма (PV) | Процентное число |
| 1.01 (сальдо) | N(31.03) – N(1.01)= = 90-1= 89 | 27 160 | 24 172,4 |
| 15.01 | N(31.03) – N(15.01)= = 90-15= 75 | 890 000 | 667 500,0 |
| 19.01 | N(31.03) – N(19.01)= = 90-19 = 71 | 536 780 | 381 113,8 |
| 2.02 | N(31.03) – N(2.02)= = 90-33 = 57 | 321 000 | 182 970,0 |
| 20.03 | N(31.03) – N(20.03)= = 90-79= 11 | 17 278 577 | 1 900 643,4 |
Итого 3 156 399,6
Таким образом, на 31.03 средства на счете с процентами составят: 27 160 + 890 000 + 536 780 + 321 000 + 17 278 577 + 74 872,21 – – 210 000 – 500 000 – 580 000 = 17 838 389,21 руб.
Для определения доходности ряда финансовых операций применяется следующая формула:
i=(FV-PV)y/(PV t),
где PV и FV могут трактоваться как цены покупки и продажи финансового актива (соответственно);
t – время между покупкой и продажей актива.
Пример 1.2. Корпоративные облигации номиналом 10 тыс. ден. ед. со сроком обращения 6 месяцев продавались в день выпуска по цене 5 тыс. ден. ед., а через 30 дней – по цене 6,2 тыс. ден. ед.
Определить: а). доходность облигаций к погашению; б). доходность при продаже (рассматриваемые облигации относятся к разряду таких ценных бумаг, операции с которыми до срока погашения осуществляются ниже номинала).
а). Дано:
FV = 10 тыс. ден. ед.
PV = 5 тыс. ден. ед.
t = 6 мес.
Y = 12 мес.
Определить:
ik погаш. = ?
Решение:
ik погаш. = 
(200 % годовых).
б). Дано:
FV = 6,2 тыс. ден. ед.
PV = 5 тыс. ден. ед.
t = 30 дней
Y = 360 дней
Определить:
ik текущ. = ?
Решение:
ik текущ. = 
(288 % годовых).
Пример будет решаться в случае, если ценные бумаги, купленные в момент выпуска за 5 тыс. ден. ед., проданы через 30 дней по цене 6,2 тыс. ден. ед. Возможно решение и в том случае, если задан лишь курс ценной бумаги, т. е.
, или 
.
Для этого формула i=(FV-PV)*y/(PV*t) преобразуется путем деления числителя и знаменателя на PV в следующую:
i = 
.
Пример 1.3. Курс дисконтной облигации со сроком обращения 91 день в день выпуска – 75 (в процентах от номинала). Оценить доходность к погашению.
Дано:
PV/ FV = 0,75
t = 91 день
Y = 365 дней
Определить:
ik погаш. = ?
Решение:
ik погаш. = 
= 1,34 (134 % годовых).
Пример 1.4. Доллары США, купленные по курсу 24 руб 40 коп. за 1 долл., продали спустя 3 месяца по курсу 24 руб. 50 коп. за 1 долл. Исчислить доходность операции.
Дано:
FV = 24,5
PV = 24,4
t = 3 мес.
Y = 12 мес.
Определить:
i = ?
Решение:
i = 
(1,64 % годовых).
В практике финансово-экономических расчетов может возникнуть и обратная (по отношению к наращению) задача: по известной сумме FV определить объем размещенных средств PV.
Дисконтирование – принятое в финансовой математике название процедуры определения стоимости денег в более ранний момент времени в соответствии с принятой ставкой дисконтирования.
Дисконтирование коммерческое (банковский учет) – дисконтирование, при котором ставкой дисконтирования выступает дисконтная ставка.
Дисконтирование математическое – дисконтирование, при котором ставкой дисконтирования выступает обычная процентная ставка (ставка процентов).
Дисконт – разность между будущей и текущей суммами денег. На практике: скидка с номинала дисконтной ценной бумаги.
Дисконтная ставка – процентная ставка, применяемая для вычисления процентов авансовых.
В этих расчетах величина PV называется приведенной или современной стоимостью суммы FV, а при операции наращения сумма FV выступает как будущая стоимость величины PV.
Прямой расчет FV при ставке i соответствует правилу декурсивных (обычных) процентов и называется наращиванием «со ста».
Из формул наращивания «со ста» производится обратное действие, или расчет денежных средств, предоставляемых в долг (величины PV). Это действие, помимо дисконтирования, называется учетом «на сто»:
PV = FV/(1+n i);
PV = FV/(1+t/y i).
При банковском дисконтировании используют следующие формулы:
FV=PV/(1-d);
PV=FV(1-n d) и PV=FV(1- d t/y).
D = FV d t/y.
Пример 1.5. Ставка размещения краткосрочных денежных ресурсов для банков на 3 суток составляет 14,1% (годовых). Какой объем средств необходимо разместить, чтобы в результате операции поступило 1,5 млн. руб. (точные прценты)?
Дано:
FV = 1,5 млн. руб.
i = 14,1 % годовых
t = 3 суток
Y = 365 дней
Определить:
PV = ?
Решение:
PV = 
млн. руб.
Пример 1.6. Сумма долга, подлежащая возврату, – 10 тыс. руб. Определить сумму начисленных процентов, если срок ссуды 1 год, декурсивная ставка процентов 70 % годовых.
Дано:
FV = 10 тыс. руб.
n = 1 год
i = 70 % годовых
Определить:
Проценты (FV-PV) = ?
Решение:
I = 
тыс. руб.
Пример 1.7. Дата погашения дисконтного векселя 30 июня текущего года. Какова его выкупная цена и дисконт на 12 июня, если его номинал 100 тыс. руб., вексельная ставка 40 % годовых?
Дано:
t = 18 дней
Y = 360 дней
FV = 100 тыс. руб.
d = 40 % годовых
Определить:
PV = ?
D = ?
Решение:
PV = FV-D = 100-100 
0,4 = 100-2 = 98 тыс. руб.
Определим соотношение простых ставок i и d при условии равенства доходов, выплачиваемых при декурсивном проценте и доходов, выплачиваемых при авансовом проценте. Эквивалентность ставок i и d:
i = d/(1-n d);
d = i/(1+i n).
i = d/(1-d t/y);
d = i/(1+i t/y).
Пример 1.8. Доходность по дисконтной ценной бумаге со сроком обращения 3 месяца оценена в виде дисконтной ставки, равной 100% годовых, а доходность размещения средств на 3-месячный депозит – 120 % годовых. Сравнить эффективность операций.
Дано:
d = 100%
i = 120%
t = 3 мес.
Y = 12 мес.
Решение:
iэкв. = 
Итак, доходность дисконтной бумаги выше, чем размещение средств во вклад (133% > 120%).
Задачи для самостоятельного решения:
1. Определите доходность (процентов годовых) помещений капитала в 100 денежных единиц на 3 месяца, если его наращенная стоимость 120 денежных единиц.
2. Дисконтные облигации номиналом 100000 руб. со сроком обращения 9 месяцев продаются в день выпуска по цене 60000 руб., а через 90 дней – по цене 75800 руб. Определите доходность облигаций к погашению и текущую доходность.
3. Курс дисконтной облигации со сроком 90 дней выпуска 80,5 (в процентах). Оцените доходность к погашению.
4. Финансовый актив, купленный за 15000 денежных единиц, продали спустя 27 дней за 16000. Оцените доходность операции.
5. Исчислите текущую стоимость денег, будущая стоимость которых через 3 процентных периода при начислении простых процентов оценивается в размере 100 денежных единиц. Ставка процентов за период – 1%.
6. Банк начисляет по 3-месячному депозиту 28% годовых. Какую сумму надо внести на депозит, чтобы получить 3000 руб. к концу операции.
7. Учесть дисконтный вексель номиналом 10000 руб. за месяца до погашения по вексельной ставке 40% годовых.
8. Дата погашения дисконтного векселя 5 июля текущего года, его выкупная цена на 23 февраля? Номинал векселя 1000000 руб., учетная ставка – 8% в год.
9. Процентный вексель банка гарантирует исчисление процентов исходя из 40% годовых при сроке обращения 30 дней. Определите эквивалентную дисконтную ставку.
10. Что выгодней: приобрести дисконтный вексель со сроком погашения 100 дней, если доходность оценена вексельной ставкой 30%, или предоставить ссуду на тот же срок под 45% годовых.
11. Сравните доходность финансовых инструментов:
дисконтный вексель со сроком обращения 9 месяцев, учетная ставка – 40% годовых.
процентный вексель с таким же сроком (ставка – 45% годовых).
Тема 2.
Сложные проценты
Основные понятия
Сложные проценты – проценты, база для определения которых постоянно меняется за счет присоединения (снятия) начисленных раннее процентов.
Начисление процентов на проценты – расчеты по правилу сложных процентов.
Реинвестирование (капитализация) процентов – процедура систематического присоединения процентов к сумме денег, относительно которой они определялись.
Наращение по сложной ставке – процесс увеличения капитала за счет присоединения процентов. Так же в финансовой математике называют процедуры начисления суммы денег с начисленными процентами.
Если расчет осуществляется по декурсивной ставке i, то используют следующую формулу:
FV = PV(1+i)n,
где (1+i)n – коэффициент наращения, или множитель наращения.
Пример 2.1. Ссуда 2 млн. руб. выдана под сложные проценты на 3 года. Проценты (10 % годовых) начисляются ежегодно и присоединяются к основной сумме долга. определить сумму задолженности к погашению.
Дано:
PV = 2 млн. руб.
i = 10% годовых
n = 3 года
Определить:
FV = ?
Решение:
FV = PV(1+i)n = 2(1+0,1)3 = 2,662 млн. руб.
Если проценты начисляются и присоединяются не по истечении года, а чаще (m раз в год), то говорят, что имеет место m-кратное начисление процентов. При этом годовую базовую ставку обозначают j и называют номинальной в отличие от эффективной ставки i, которая характеризует полный эффект (доходность) операции с учетом внутригодовой капитализации.
Поэтому:
(1+i)n = (1+j/m)m*n;
i = (1+j/m)m – 1;
j/m = (1+i)1/m – 1.
При внутригодовой капитализации наращенная сумма определяется по формулам:
FV = PV*(1+j/m)m*n;
FV = PV*(1+j/m)m*t/y.
При разработке инвестиционных решений в проектном анализе принимают иногда, что m = ∞, т. е. осуществляется непрерывное начисление процентов по истечении малых промежутков времени. Ставку за этот малый промежуток времени называют силой роста, а наращенную стоимость исчисляют так:
FV = PV * e i*n,
где e i*n – математическая экспоненциальная постоянная.
Пример 2.2. По вкладу А проценты начисляются один раз в год исходя из 120% годовых. По вкладу Б обслуживание осуществляется по полугодиям исходя из 100% в год. Сравнить доходность размещения средств.
Дано:
А: j = 120 %
m = 1
Б: j = 100 %
m = 2
j: m = 50 % (ставка за период)
Решение:
i = (1+j/m)m-1;
А) i = (1+1.2/1)1-1 = 1.2 (120%)
Б) i = (1+1/2)2-1 = 1.25 (125%)
Вклад Б – выгоднее, т.к. iБ > iА.
Пример 2.3. Пусть во вклад с капитализацией процентов помещены 10 тыс. руб. Определить наращенную сумму вклада через 2 года, если проценты начисляются ежеквартально из расчета 80 % годовых.
Дано:
PV = 10 тыс. руб.
j = 80% годовых
n = 2 года
m = 4 (т. е. 4 раза в год
(ежеквартально)
начисляются проценты)
Определить:
FV = ?
Решение:
FV = PV(1+j/m)mn = 10 тыс.(1+0,8/4)4*2 = 42,99817 тыс. руб.
Пример 2.4. По дебетовой магнитной карте ежеквартально начисляются и присоединяются проценты исходы из 9% годовых. Определите какой суммой будет располагать владелец карточки через 7 месяцев, если она сформирована на 500$.
Дано:
PV = 500 долл. США
j = 9% годовых
m = 4
t = 7 мес.
Y = 12 мес.
Определить:
FV = ?
Решение:
FV = PV(1+j/m)m*t/y = 500(1+0,09/4)4*7/12 = 500(1+0,09/4)2 
= 522, 75 $
В данном примере проценты начисляются только за полный процентный период, поэтому 1/3 из степени следует отбросить (т. е. за 7 месяцев минуло 2 полных процентных периода – 2 квартала).
Определение FV по PV называется прямым счетом. Обратный расчет, учет «на сто», дает значение современной стоимости денег. Формула математического учета по сложной процентной ставке имеет вид:
PV = FV/ (1+i)n.
Величина (1+i) -n называется дисконтирующим или учетным множителем.
При неоднократном учете дисконтных ценных бумаг (учете и переучете) на одинаковых условиях дисконтирование по сложной ставке d выглядит так:
PV = FV (1-d)n,
где d – учетная ставка;
n – срок до конца финансовой операции, равный числу раз учета.
Пример 2.5. Определить текущую стоимость денег, будущая величина которых через 10 периодов оценивается в 2000 д.е. Ставка дисконтирования – 3% за период.
Дано:
FV = 2000 д.е.
i = 3% за период
n = 10 процентных периодов
Определить:
PV = ?
Решение:
PV = 
д. е.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Ссуда предоставлена на 4 года под 60% годовых. Процент начисляется ежегодно и присоединяется к основной сумме долга. Во сколько раз дешевле обойдется ссуда, полученная под простые проценты.
2. Средства размером 2000 руб. помещены во вклад, по которому проценты начисляются ежеквартально из расчета 16% годовых и присоединяется к основной сумме долга. Определите наращенную сумму вклада, если срок хранения 9 месяцев.
3. Банк предлагает следующие варианты помещения денежных средств:
во вклад А под 40% годовых;
во вклад Б под 30% годовых с начислением и присоединением процентов каждое полугодие;
во вклад В под 20% годовых с ежеквартальным начислением и присоединением процентов.
Определить какой вклад самый выгодный.
4. Ставка по кредиту 50% годовых. Определите размер полученной на 4 месяца ссуды, если подлежит вернуть 310000 руб. Проценты начисляются присоединяются к основной сумме долга.
5. Будущая стоимость денег через 10 периодов 20 денежных единиц. Исчислите текущую стоимость, если ставка дисконтирования 1% за период. Начисляются сложные проценты, производится дисконтирование «на сто».
Тема 3.
Потоки финансовых платежей
Основные понятия
Потоки финансовых платежей, или финансовые, денежные потоки, представляют собой ряд следующих друг за другом выплат и поступлений денег в рамках одной финансовой операции.
Аннуитет – это 1). платежи, PVF современная стоимость регулярного финансового платежа (платежей). К таким платежам относятся погашение кредита, выплата долга, взносы при страховании, создание амортизационного фонда и т. п.;
2). вид государственного долгосрочного займа, по которому кредитор ежегодно получает определенный доход (ренту), устанавливаемый с учетом постепенного погашения суммы долга вместе с процентами по нему.
Регулярные финансовые потоки – это финансовые потоки, в которых поступление средств осуществляется через одинаковые промежутки времени вне зависимости от происхождения и назначения платежей.
Классификация аннуитетов:
1. В зависимости от того варьирует ли размер разового платежа или нет:
- постоянные аннуитеты;
- переменные аннуитеты.
2. По времени осуществления платежей (в начале процентного периода или в конце процентного периода):
- аннуитет prenumerando;
- аннуитет postnumerando.
3. По наличию принципа условия:
- безусловные аннуитеты;
- условные аннуитеты (выплачиваемые при наступлении какого-либо события).
4. По времени их действия:
- немедленные аннуитеты, действие которых начинается после заключения договора;
- отложенные аннуитеты, платежи по которым производятся по истечении оговоренного периода.
5. По продолжительности периода:
- годовые аннуитеты;
- полугодовые аннуитеты;
- ежемесячные и другие аннуитеты.
Обозначения, используемые для анализа аннуитетов:
R – суммарный годовой платеж (размер суммы, которая переходит от одного владельца к другому в течении года, либо предполагается возможность такого перехода);
p – число раз поступлений отдельных платежей в течении года;
PMT – сумма отдельного разового платежа, для постоянного аннуитета равна R/p;
n – время, период; срок потока платежей;
m – число раз в году начислений процентов исходя из ставки j в течении года;
i (j) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании отдельных платежей, из которых состоит поток.
Наращенная стоимость аннуитета (FVA) – это сумма всех последовательных платежей с начисленными на них процентами к концу срока операции.
Для осуществления расчетов при условии осуществления платежей и начисления процентов 1 раз в год: m = p = 1, используют следующие формулы:
FVApost = PMT 
= PMT 
,
где – коэффициент (множитель) наращения обычной финансовой ренты.
FVAprenum = PMT 
,
где – коэффициент (множитель) наращения.
Если вложения и капитализация осуществляются чаще, чем раз в год: m = p ≠ 1, то применяется следующая формула:
FVApost = PMT 
.
Если вложения осуществляются реже, чем капитализация, т. е. p < m, p = 1, то применяется следующая формула:
i = 
,
FVApost = PMT 
.
Если вложения осуществляются чаще, чем капитализация, т. е. p > m, m = 1, то применяется следующая формула:
,
FVApost = PMT 
.
Универсальная формула, которая может быть использована при любом случае:
FVA = PMT 
.
Современная стоимость регулярных финансовых потоков (срочных аннуитетов (PVA)) – это сумма всех платежей, дисконтированных на начало периода первого платежа.
Дисконтирование аннуитета postnumerando выглядит следующим образом:
PVA = PMT 
,
где – коэффициент современной стоимости срочного аннуитета.
Для конкретных вариантов формула видоизменяется следующим образом:
1). При m = p = 1:
PVA = PMT .
2). При p < m, p = 1:
PVA = PMT 
.
3). При m ≠ p ≠ 1:
PVA = PMT 
.
Дисконтирование аннуитета prenumerando выглядит следующим образом:
PVAprenum = PMT(1+i) .
Примеры
Пример 3.1. Ежегодно в конце года в течении 4 лет на специальный счет поступают 50 ден. ед. Определить наращенную стоимость, если ежегодно в конце года осуществляется начисление сложных процентов по ставке 10%.
Дано:
Срочный аннуитет
postnumerando
PMT = R = 50 ден. ед.
p = 1
m = 1
i = 10% годовых
n = 4 года
Определить:
FVA = ?
Решение:
FVAprenum = R 
50*4,641 = 232,05 д. е.
Пример 3.2. Для погашения задолженности единовременным платежом через 2 года должником в кредитном учреждении создается амортизационный (погасительный) фонд, в котором постепенно накапливаются достаточные для этого средства. Определить размер равных взносов в конце полугодия для создания через 2 года погасительного фонда 500 млн. руб. Фонд создается в кредитном учреждении, которое начисляет проценты ежеквартально исходя из годовой ставки 80%.
Дано:
P = 2 раза
N = 2 года
FVA = 500 млн. руб.
mj = 4
j = 80%
Определить:
PMT = ?
Решение:
PMT = FVA: 
млн. руб.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Определите размер разовых взносов на счет под 10% годовых с ежеквартальным обслуживанием, чтобы через 2,5 года собрать 725000 руб. Взносы осуществляются один раз в год.
2. Для создания погасительного фонда предприятие в течение 3 лет перечисляло в банк ежегодно 40000 руб., на которые кредитное учреждение начисляло проценты исходя из расчета 10% годовых (проценты присоединяются дважды в год). Взносы осуществляются каждое полугодие. Определите объем фонда к моменту окончания всех взносов.
3. В течение 4 лет ожидается поступление от реализации проекта в размере 1300000 руб. ежеквартально. Единовременное вложение в проект в начале года 8000000 руб. Оцените соотношение доходов и расходов исходя из ставки сравнения 10% годовых.
4. В течение 7 периодов по ценным бумагам выплачиваются дивиденды 100 руб. каждый период. Приведите величину всех будущих поступлений на начало первого периода исходя из 2% за период.
Тема 4.
Планирование погашения задолженности
Основные понятия
Обозначения, используемые для планирования погашения задолженности:
D – первоначальная сумма задолженности;
q – ставка процентов за кредит;
mq – число раз начисления процентов по кредиту в течении года;
n – срок ссуды.
Исчисление суммы денежных средств, погашающих долг, если долг гасится единовременным платежом без создания погасительного фонда, решается по формуле:
FV = D 
Амортизационный (погасительный) фонд – это целевой депозит, где постепенно накапливаются средства, достаточные для единовременного погашения долга.
Обозначения, используемые для планирования погашения задолженности с формированием погасительного фонда:
p – число взносов в погасительный фонд в год;
N – число лет создания погасительного фонда (срок);
j – ставка банка;
mj – число раз в год капитализации процентов в банке;
γ – срочные уплаты (годовые расходы по обслуживанию долга);
%% - годовая сумма процентов по долгу;
R – взносы в погасительный фонд.
γ = %% + R
План погашения задолженности при равных срочных выплатах:
- определяется размер срочных уплат:
γ = PVA: 
;
- рассчитывается годовая сумма процентов по долгу:
%% = D[ 
];
- определяется размер взносов в погасительный фонд:
R = γ – %%.
План погашения задолженности равными частями:
- определяется ежегодная сумма погашения долга путем деления суммы кредита на количество лет, на которые он выдан;
- определяются расходы по обслуживанию долга:
γt = Dt q + D/n,
где Dt – остаток долга на начало года;
t – порядковый номер года (периода);
D – первоначальная сумма кредита;
n – срок кредита.
- рассчитывается расход за первый год:
%% = D q,
γ1 = D1 q + D/n.
Примеры
Пример 4.1. Ссуда размером 250 денежных единиц предоставлена на 3 года под 7 % годовых. Процент начисляется и присоединяется 2 раза в год. Составьте план погашения задолженности равными срочными уплатами.
Решение:
Очевидно, 250 д.е. следует трактовать как сумму современных величин, равных срочным уплатам γ:
γ = PVA: = 250: 
= 95,48 д. е.;
Сумма первой годовой уплаты процентов:
%% = D[ ] = 250[ 
] = 17,81 д. е.;
Сумма первого платежа в счет погашения долга:
R = γ – %% = 95,48 – 17,81 = 77,67.
Результаты оформим в виде таблицы:
| Год | Остаток на начало года | Погашение долга | Проценты | Срочные выплаты |
| 1. | 250,00 | 77,67 | 17,81 | 95,48 |
| 2. | 172,33 | 83,21 | 12,27 | 95,48 |
| 3. | 89,12 | 89,12 | 6,35 | 95,48 |
Σ = 250
Пример 4.2. Пусть кредит 250 д. е. выдан на 5 лет под 10% годовых. Долг погашается равными частями, проценты начисляются на оставшуюся сумму долга один раз в год и выплачиваются вместе с выплатой основного долга. Составьте план погашения долга.
Решение:
По условию примера:
1) ежегодная сумма погашения долга равна: 250:5 = 50 д. е.;
2) срочные (ежегодные) расходы по обслуживанию долга меняются от года к году (γt):
γt = Dt q + D/n,
где Dt – остаток долга на начало года;
t – порядковый номер года (периода);
D – первоначальная сумма кредита;
n – срок кредита.
3) Расходы на первый год:
сумма процентов за первый год: %% = D q = 250 0,1 = 25 д. е.;
γ1 = 25 д. е. + 50 д. е. и т. д.
Решение представим в виде таблицы:
| Месяцы | Остаток на начало года | Погашение долга | Проценты | Срочные выплаты |
Σ = 250
Пример 4.3. Ссуда размером 1000 денежных единиц предоставлена на 3 года под 20% годовых с начислением и присоединением процентов к основной сумме долга и выплатой их вместе с ней. Сразу же после получения ссуды в банке начинают создавать в течении 3 лет погасительный фонд, куда ежегодно в конце периода перечисляют равные суммы. Проценты по счету начисляют 1 раз в год исходя из 30% годовых. Определите годовые расходы по обслуживанию долга.
Решение:
Определим размер суммы, которую необходимо будет выплатить:
FV = PV(1+i)n = 1000(1+0,2)3 = 1728.
Определяем годовые расходы по обслуживанию долга:
PMT = FVA 
= 1728 
= 433,082.
Тема 5.