Глава 4. Логические переменные и логические функции
Глава 4. Логические переменные '- ' д и логические функции
■Ф- ОБЪЯСНЕНИЕ МАТЕРИАЛА
Буквы, обозначающие высказывания (А, В,...), можно рассматривать как имена логических переменных, так как ими можно заменить любые высказывания (с любым содержанием). То есть построенные нами таблицы истинности, задающие логические операции, верны для любых высказываний.
Говоря выше о логических операциях над высказываниями, мы фактически рассмотрели основные логические операции над двумя логическими переменными.
Логические переменные принимают два значения: 0 и 1 («истина» и«ложь»).
В алгебре логики из логических переменных, логических констант (О и 1), знаков логических операций и скобок составляются логические выражения (подобно тому как в алгебре чисел формируются арифметические выражения).
Логическое выражение (логическая форма) — это выражение, содержащее одну или несколько переменных, соединенных знаками логических операций и скобками и превращающихся в высказывания при подстановке вместо этих переменных простых суждений.
Например, логическая форма (А V В) —> С при А = Вы пользуетесь последними версиями антивирусных программ; В = Вы регулярно сохраняете свои файлы на дискетах; С = Снижается вероятность потери данных превращается в высказывание Е= Если вы пользуетесь последними версиями антивирусных программ или регулярно сохраняете свои файлы на дискетах, то снижается вероятность потери данных.
Выражения алгебры логики также называют формулами.
Можно определить и логические функции от логических переменных.
Логическая функция—это функция, определенная на множестве истинностных значений (истина, ложь) и принимающая значение из того же множества.
Например: F{AJ3)=AvB—логическая функция двух переменных —А и В.
Сколько же всего может быть различных логических функций двух переменных? Попробуем ответить на этот вопрос.
Две переменные, каждая из которых может быть либо нулем, либо единицей, образуют 22 = 4 различных набора значений: (0,0); (0,1); (1,0); (1,1). На каждом наборе функция принимает значение либо 0, либо 1. Например, некоторая функция двух переменных будет полностью определена так: F(0,0) = 1; F(0,1) = 1; F( 1,0) = 0; F( 1,1) = 0. Так как каждая функция двух переменных однозначно задается четырьмя значениями, каждое из которых равно либо 0, либо 1, то количество таких функций будет равно количеству комбинаций этих четырех значений. Таких комбинаций 24 = 16. То есть всего существует 16 различных функций двух переменных.
Из нижеприведенной таблицы логических функций двух переменных видно, что каждой функции соответствует ее отрицание (константа 1 — отрицание константы 0).
Функцию можно задавать как в табличном виде, так и в виде формулы. Ниже будет показано, что всегда возможен переход от табличного задания к формуле.
Сводная таблица логических функций двух переменных
| Значения функции F(X,Y) | Название функции | Обозначение функции | |||
| Х=0, У=0 | х = о, У = 1 | Х = 1, У=0 | Х= 1, У=1 | ||
| Константа 0 | F=0 | ||||
| Конъюнкция | F = X& У | ||||
| Отрицание импликации XY | F = (X=>y) | ||||
| Переменная X | F = X | ||||
| Отрицание импликации YX | F = (У => X) | ||||
| Переменная У | F=Y | ||||
| Отрицание эквивалентности | F = (X о У) | ||||
| Дизъюнкция | F = XvY | ||||
| Отрицание дизъюнкции | F = (XvY) | ||||
| Эквивалентность | F = Xo У | ||||
| Отрицание У | F=Y | ||||
| Импликация YX | F= Y=*X | ||||
| Отрицание X | F= ~X | ||||
| Импликация XY | F = X=> Y | ||||
| Отрицание конъюнкции | F = (X& У) | ||||
| Константа 1 | F= 1 |
W" t *• "< "< - <ч « -t',-| ^ if|*.-. Д'1« 0.4, J. »«5,
Глава 5. Сложное высказывание <^п^ -к
' -Л, . \ - Т- ч у i "
■Ф- ОБЪЯСНЕНИЕ МАТЕРИАЛА , ?*» :
Высказывания бывают простые и сложные. ,ч > , t > ■ -v