Прогнозирование эколого-экономических систем на основе ориентированных графов

Результаты анализа и прогноза оказываются гораздо более достоверными при отражении в модели обратных связей, чего не может обеспечить математический аппарат. Поэтому при прогнозировании многокомпонентных систем широко используются ориентированные графы (орграфы), относящиеся к комплексным методам прогнозирования. При этом основное внимание уделяется отображению в формируемых моделях эколого-экономических систем обратных связей, которые присутствуют в любой сложной системе. Наглядность и простота реализации такого аппарата решения многокомпонентных задач делают их доступными для широкого круга специалистов, не обладающих глубокими знаниями прикладной математики [2].

Геометрически ориентированный граф можно представить в виде набора вершин, обозначаемых кружками, и отрезков, соединяющих эти вершины. Отрезок задает направление от одной вершины к другой (рис. 8.1).

Путем в орграфе называется такая конечная последовательность отрезков, в которой начало каждого последующего отрезка совпадает с концом предыдущего. Отрезки можно обозначить парой вершин, которые она соединяет. Например, от вершины 1 к вершине 2 ведут два пути: первый – {(1, 2)} и второй – {(1,3); (3, 2)}. Путь можно записать в виде последовательности вершин, через которые он проходит. Например, второй путь можно записать следующим образом: {1, 3, 2}.

Рис. 8.1. Пример ориентированного графа

Контуром называется путь, начальная вершина которого совпадает с конечной. В орграфе, представленном на рис. 8.1, нет контура. На рис. 8.2 представлен орграф с контуром, проходящим через вершины 2, 4 и 3.

Рис. 8.2. Пример орграфа с контуром

Вершины, в которые не заходят отрезки, называются начальными. Вершины, из которых не выходит ни одного отрезка, называются конечными.

Матрицей смежности вершин орграфа называется квадратная матрица, каждый элемент которой численно равен единице, если есть отрезок, идущий от вершины i к вершине j. Если такого отрезка нет, то элемент (ij)) матрицы смежности равен нулю. При решении многокомпонентных задач используются орграфы, в которых любые вершины i и j может непосредственно соединять только один отрезок. В табл. 8.2 показана матрица смежности для орграфа, представленного на рис. 8.2.

Таблица 8.2

Матрица смежности

Показатели i	Показатели j
	1	2	3	4
1	0	1	1	0
2	0	0	0	1
3	0	1	0	0
4	0	0	1	0

Ориентированные графы являются основой представления многокомпонентных систем. В качестве вершин используются показатели, а отрезки указывают влияние изменения одного показателя на изменение другого. На рис. 8.3 представлен орграф, отражающий проблему состояния окружающей среды и развития крупного промышленного центра.

Рис. 8.3. Знаковый орграф изучения развития промышленного центра и состояния окружающей природной среды

Построенную модель можно сделать более информативной, если на отрезках орграфа поставить знаки "+" или "-". Знак "+" ставится в том случае, если при увеличении значения показателя, от которого идет отрезок, показатель, к которому он приходит, увеличивается. Знак "-" ставится в обратном случае. Полученный орграф называется знаковым, поскольку на его отрезках стоит +1 или -1, и этот коэффициент обозначим еij.

Основой моделирования многокомпонентных задач являются импульсные процессы, сущность которых состоит в том, что какой-либо вершине задается определенное изменение. Эта вершина актуализирует всю систему показателей, поэтому называется активной или активизирующей. Таких вершин может быть несколько – обычно исследователь указывает активизирующие вершины и начальные изменения в них.

Предположим, что в модели, представленной знаковым орграфом на рис. 8.3, начальные значения всех показателей равны нулю, а активизирующая вершина – численность промышленных предприятий и начальное изменение равно 1. Значения в других вершинах будут меняться с каждым шагом итерации t, причем это изменение может быть определено по формуле

где .

Значения показателей рассматриваемой модели приведены в табл. 8.3.

Таблица 8.3

Показатели знакового орграфа

Показатель	Номер итерации t
	0		1		2		3
Состояние окружающей среды	0	0	-2	-2	-3	-1	-2
Население	+ 1	+ 1	+ 1	0	0	-1	0
Число предприятий	+ 1	+ 1	+2	+ 1	+2	0	+ 1

На рис. 8.4 представлен график изменения всех четырех показателей.

Рис. 8.4. Изменение показателей знакового орграфа

В рассматриваемых моделях есть важнейшая особенность: контур в формируемом орграфе обеспечивает моделирование обратной связи. Обратная связь – неотъемлемый элемент любой эколого-экономической системы. Есть контуры, которые усиливают тенденцию к отклонению от начального состояния. Такие контуры называют контурами положительной обратной связи. Контуры, которые подавляют тенденцию отклонения от начального состояния, называют контурами отрицательной обратной связи (рис. 8.5).

Рис. 8.5. Контур отрицательной обратной связи

Контур положительной обратной связи содержит четное число отрезков со знаком "-". В противном случае он является контуром отрицательной обратной связи.

Наличие в модели большого числа контуров, усиливающих отклонение, предполагает неустойчивость. В то же время наличие большого числа контуров, противодействующих отклонению, также может приводить к неустойчивости за счет увеличения колебаний. Если колебания показателей затухают и система приходит в определенное состояние, характеризующееся определенным уровнем показателей, то такая система устойчива.

Различают абсолютную и импульсную устойчивости. Абсолютная устойчивость предполагает ограниченность значений в последовательности Импульсная устойчивость предполагает ограниченность значений в последовательности