Построение оптимального портфеля. Касательный портфель

После описания всего множества имеющихся инвестиционных возможностей (допустимого множества) ставится Вперед задача: выделить множество портфелей, имеющих наиболее выгодные соотношения ожидаемой доходности и риска, и затем выбрать из него, с учетом предпочтений конкретного инвестора, портфель, оптимальный для данного инвестора.

Все инвесторы при прочих равных условиях предпочитают бо́льшую доходность и избегают риска. Отсюда следует, что для инвестора представляет интерес не все допустимое множество, а лишь его часть –эффективная граница – часть границы, обращенная влево-вверх на плоскости (σ, ). Можно строго доказать, что эффективная граница всегда выпукла вверх.

Эффективная граница может быть описана аналитически. Ее структура такова: на ней располагается конечное число так называемых угловых портфелей, для расчета которых имеются специальные алгоритмы и программы. В портфелях, промежуточных между двумя соседними угловыми, доли бумаг меняются линейно.

Практически, при не очень большом числе бумаг, эффективная граница может быть построена средствами программы Microsoft Excel. Последовательность действий такова:

1) завести нужное количество ячеек для величин и заполнить их оцененными значениями;

2) завести ячейки для долей хi;

3) в двух специальных ячейках записать формулы для средней ожидаемой доходности и риска портфеля;

4) используя процедуру "Поиск решения" из "Пакета анализа", решить следующую задачу оптимизации: минимизировать величину риска, меняя значения хi, при следующих ограничениях: доли неотрицательны, в сумме равны 1, и равна заданной величине требуемой доходности . Результатом будут совокупность оптимальных значений долей, значения доходности и риска портфеля;

5) варьируя, с достаточно мелким шагом, значения в пределах от минимального до максимального из , получить эффективную границу.

■ Оптимальный портфель – это портфель, по своим характеристикам риска – доходности в наибольшей степени (среди всех допустимых портфелей) отвечающий предпочтениям конкретного инвестора.

Чтобы найти оптимальный портфель, предварительно нужно иметь следующие данные:

■ эффективную границу допустимого множества, построенную по оцененным средним ожидаемым доходностям активов, их стандартным отклонениям и ковариациям;

■ семейство кривых безразличия, построенное на основе информации о предпочтениях инвестора.

Затем, используя численные или приближенно-графически процедуры, следует найти точку касания эффективной границы и одной из кривых безразличия. В силу того, что эффективная граница выпукла вверх, а кривые безразличия – вниз, такая точка касания существует и является единственной. Она и представляет собой оптимальный портфель для данного инвестора (рис. 11.5).

Введем в рассмотрение так называемый безрисковый актив: его доходность, обозначаемая rf, принимает некоторое определенное значение, т.е. фактически не является случайной величиной: σf = 0. На практике в качестве безрисковых активов выступают государственные облигации, депозиты в надежные банках и др. Для оценки значения rf можно использовать доходность так называемых ПИФов денежного рынка. Пусть инвестор, в дополнение к имеющимся и уже рассмотренным возможностям вложения средств в рисковые активы, может также вложить часть средств в безрисковый актив. Как это скажется на допустимом множестве и на окончательном инвестиционном решении – оптимальном портфеле?

Рис. 11.5. Оптимальный портфель для данного инвестора на плоскости риск – доходность

Портфель, состоящий частично из безрискового актива, а частично – из рисковых бумаг, можно (аналогично тому, как это было сделано для трех бумаг) представить как портфель из двух активов: безрискового и рисковой части портфеля. Из формул для доходности и риска портфеля из двух бумаг, а также из очевидного замечания, что случайная величина с нулевой дисперсией имеет нулевую ковариацию с любой другой величиной, следует, что портфели такого типа располагаются на плоскости риск – доходность на отрезках, соединяющих безрисковый актив с различными допустимыми портфелями (рис. 11.6).

В результате эффективная граница изменится – передвинется влево, и будет включать отрезок прямой, выходящей из точки, соответствующей безрисковому активу, и касающейся "старой" эффективной границы. Портфель, располагающийся в точке касания, называется касателъным и, как будет очевидно из модели САРМ, играет важную роль. В случае если у инвестора имеется возможность не только инвестировать, но и занимать средства по безрисковой ставке, эффективной границей будет вся указанная прямая.

Рис. 11.6. Портфель, состоящий частично из безрискового актива, а частично – из рисковых бумаг, на плоскости риск – доходность

Структура оптимального портфеля также изменится: у инвесторов появится возможность выбирать портфели с меньшим риском при том же уровне доходности. Важно отметить, что безрисковый актив создает принципиально новые инвестиционные возможности даже в том случае, если его доходность нулевая (т.е. когда денежные средства просто хранятся на счете).