Открытие линейного программирования и его влияние на развитие математических методов

Выдающийся российский математик и экономист Леонид Витальевич Канторович (1912—1986) в 1930 г. окончил Ленинградский университет, с 1934 г. — профессор, с 1958 г. — член-корреспондент АН СССР, с 1964 г. — академик. В 1975 г. Канторович стал первым и пока единственным Российским лауреатом Нобелевской премии за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов (вместе с американцем Т. Ч. Куимансом). Канторович поставил на математический фундамент идею оптимальности в экономике в производственно-экономических, отраслевых и межотраслевых задачах. Он заложил основы экономико-математического анализа таких проблем, как ценообразование, измерение эффективности производственных преобразований, построение системы рентных платежей, стимулирование нововведений и т.д. В практике хозяйственной деятельности выбор между различными вариантами (планами, решениями) предполагает поиск наилучшего. Как показывает практика, опыт и интуиция оказываются недостаточными для обоснования оптимального решения. Более надежный и эффективный способ — использование математических (количественных) подходов и расчетов. Однако математические подходы длительное время (в 1930—1950-е гг.) игнорировались теоретиками, занимавшими главенствующие посты в советской экономической науке. Несмотря на все это, одним из наиболее значительных и ярких достижений в области экономико-математических исследований была разработка Л. В. Канторовичем метода линейного программирования.

Линейное программирование — это решение линейных уравнений (уравнений первой степени) посредством составления программ и применения различных методов решения, существенно облегчающих расчеты и достижение искомых результатов. С помощью линейного программирования находится ответ, как оптимально распределить ресурсы. Разработка теории оптимальных решений (1970-е гг.) началась с решения конкретной производственной задачи по заказу "Фанеротреста": обеспечение наиболее эффективного распределения ресурсов (восемь видов сырья, пять станков) для максимального выпуска фанеры. В задаче на оптимизацию выпуска фанеры Канторович представил переменную, которую следовало максимизировать в виде суммы стоимостей продукции, производимой всеми стайками. Ограничители были представлены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми затрачиваемыми в производстве факторами (древесиной, клеем, электроэнергией, рабочим временем) и количеством выпускаемой продукции на каждом из станков. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные разрешающими множителями, или мультипликаторами. С их помощью разрешалась поставленная задача. Если известны значения разрешающих множителей, то искомые величины, в частности оптимальный объем выпускаемой продукции, могут быть найдены путем цепи математических расчетов. В итоге проблема свелась к решению конкретной технико-экономической задачи с целевой функцией (функционалом) па максимизацию выпуска готовой продукции. Заслуга Канторовича состоит в том, что он, решая частную задачу наиболее рациональной загрузки оборудования, разработал и предложил математический метод выбора оптимального варианта.

Нс будучи экономистом, Канторович прекрасно понял, какое значение имеет метод максимизации при ограниченных ресурсах, а значит, и создание математической основы для решения типичных хозяйственных задач. Условия задачи на цель, которая должна быть достигнута, могут быть выражены с помощью системы линейных уравнений. Поскольку уравнений меньше, чем неизвестных, задача имеет не одно, а множество решений. Но найти нужно одно, экстремальное, решение. Для решения задачи Канторович использовал метод последовательных приближений, последовательного сопоставления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи. В дальнейшем Канторович обосновал экономический смысл предложенных им коэффициентов (разрешающих множителей) — это предельные стоимости ограничивающих факторов. Можно сказать, что это объективно значимые цены каждого из факторов производства применительно к условиям полностью конкурентного рынка. Сущность разработанного метода впервые была изложена в работе "Математические методы организации планирования производства" (1939). Продолжив исследования, Канторович разработал общую теорию рационального использования ресурсов. В период Великой Отечественной войны, работая в Военно-морской инженерной академии в Ленинграде, он обосновал с помощью линейного программирования оптимальное размещение производственных и потребительских ресурсов.

Несомненной заслугой Канторовича является выявление двойственных оценок в задачах линейного программирования: нельзя одновременно минимизировать затраты и максимизировать результаты, так как одно противоречит другому. Вместе с тем оба этих подхода взаимосвязаны: если найдена оптимальная схема перевозок в транспортной задаче, то ей соответствует определенная система цен; если найдены оптимальные значения цен, то сравнительно нетрудно получить схему перевозок, отвечающую требованию оптимальности. Таким образом, для любой задачи линейного программирования существует сопряженная ей, или двойственная, задача: прямая задача — минимизация целевой функции, двойственная задача — максимизация. Двойственные оценки дают принципиальную возможность соизмерять не только ценовые, затратные показатели, но и полезности. Двойственные, взаимосвязанные оценки соответствуют конкретным условиям, если изменяются условия, то изменяются и оценки. Поиск оптимального результата — это определение общественно необходимых затрат, учитывающих, с одной стороны, трудовые, стоимостные затраты, а с другой стороны, общественные потребности, полезности продукта для потребителей.

Наиболее полное изложение теории линейного программирования Канторовича содержится в его работе "Экономический расчет наилучшего использования ресурсов" (1959), в которой ставится проблема разработки оптимального плана всего народного хозяйства как математической модели. Первоначально Канторович в работах по линейному программированию использовал термин "разрешающие множители", который в последующих работах получил несколько иную интерпретацию и формулировку — объективно обусловленные оценки (ООО). Эти оценки не произвольны, их величины носят объективно обусловленный характер и задаются конкретными условиями задачи. Значения ООО годятся только для дайной задачи. ООО в экономических задачах показывают, к каким экономическим результатам приведет появление в хозяйственном процессе дополнительной единицы того или иного производственного компонента, и дают возможность наметить направление улучшения показателя работы хозяйственного объекта. Однако следует отметить, что свои свойства ООО сохраняют лишь в условиях малых хозяйственных изменений, а их значения меняются, как правило, вместе с составлением и изменением планов развития производства. Канторович предложил рассчитывать ООО при разработке плана — на эти показатели должны были бы опираться предприятия при расчете затрат и объемов выпуска тех или иных видов продукции. ООО корректируются в зависимости от соотношения спроса и объемов производства. Такого рода расчеты, внедряемые в практику планирования и управления, должны были оптимизировать использование ресурсов.

Идеи и предложения Канторовича предусматривали использование в практике хозяйствования рыночных категорий. По сути, на такой основе шел поиск и формирование предпосылок концептуальной основы реформирования существовавшей экономической системы. При активном участии Канторовича и его коллег в конце 1950-х — начале 1960-х гг. сформировалось новое поколение советской экономико-математической школы. Связь с традицией и передачу опыта новым поколениям экономистов вместе с Канторовичем активно осуществляли известные экономисты старшего поколения В. С. Немчинов и В. В. Новожилов.

Василий Сергеевич Немчинов (1894—1964) — академик, ректор ТСХЛ, один из крупнейших Российских статистиков, участник разработки первого баланса народного хозяйства СССР на 1923—1924 гг. Работа.! совместно с Базаровым, Фельдманом, Кондратьевым. Будучи академиком — секретарем Отделения экономических, философских и правовых наук АН СССР, Немчинов в 1958 г. организовал первую в СССР лабораторию экономико-математических исследований, на базе которой в 1963 г. был создан Центральный экономико-математический институт АН СССР (ЦЭМИ).

Виктор Валентинович Новожилов (1892—1970), как и Е. Е. Слуцкий, окончил Киевский университет еще до революции. В 1930—1960-е гг. — профессор в различных ленинградских вузах. Основные труды по вопросам экономики промышленности и оптимального планирования связаны с соизмерением затрат и результатов. Для этого Новожилов использовал методы экономико-математического моделирования и при расчете народнохозяйственных издержек обосновал необходимость учитывать затраты по обратным связям, используя нормативы эффективности ресурсов. Новожилов разработал экономико-математические модели, последовательно обосновывающие применение нормативных коэффициентов эффективности, первоначально для эффективности капиталовложений. В дальнейшем Новожилов разработал модель оптимального использования всех ресурсов производства и рассмотрел проблему оптимального соотношения капиталовложений и потребления, и в котором достигается максимальный темп производительности труда.

Вместе с Л. В. Канторовичем Новожилов и Немчинов вели разработку методов линейного программирования, построения новых математических моделей, постепенно перейдя к разработке системы моделей, получивших название СОФЭ — система оптимального ((функционирования экономики. За разработку проблем СОФЭ Л. В. Канторович, В. В. Новожилов и В. С. Немчинов получили в 1965 г. Ленинскую премию СССР. Это была единственная премия, полученная экономистами в советский период. Несмотря на несколько десятилетий активного государственного патронажа над социалистической политической экономией, па исходе ее исторического пути было признано, что теория социалистического хозяйствования находится, скорее всего, в стадии поиска, эксперимента, открытия действительности.