Основные понятия теории массового обслуживания
Интенсивное и широкомасштабное использование различных технических устройств привело к необходимости появления специализированных организаций и предприятий, предназначенных для профилактики, ремонта и проведения других работ по поддержанию их работоспособности. Примерами таких обслуживающих структур являются сервисные центры, станции технического обслуживания и ремонтные мастерские, состоящие из некоторого числа подсистем, каждую из которых можно считать каналом обслуживания. В число подобных каналов могут входить различные автоматические устройства и бригады людей, выполняющих определенные заказы или функции.
Упомянутые структуры иногда выделяют в специализированную отрасль, которую называют системой массового обслуживания, и ее работу уподобляют обслуживанию поступающего потока заявок-требований на выполнение конкретных услуг. Подобные заявки появляются одна за другой в некоторые, вообще говоря, случайные моменты; их обслуживание требует какого-то времени, после чего освободившийся канал снова готов для удовлетворения очередного требования. Так как каждая система массового обслуживания обладает определенной пропускной способностью и ограниченным числом каналов, то возникла необходимость в установлении зависимостей между перечисленными выше ее свойствами и характером потока входящих заявок.
Установлением подобных зависимостей и иных закономерностей функционирования рассматриваемых здесь систем занимается теория массового обслуживания, а в качестве характеристик их результативности в ней применяют различные показатели и параметры:
• средний процент требований, покидающих систему необслуженными;
• среднее время простоя отдельных каналов и системы в целом;
• среднее время ожидания заявки в очереди на обслуживание;
• вероятность немедленного приема требования к обслуживанию;
• закон распределения длины очереди заявок на обслуживание и т.д.
Нетрудно понять, что все эти характеристики отражают степень приспособленности системы к обслуживанию потока требований, иными словами – ее пропускную способность. Под такой способностью обычно понимают среднее число тех заявок, которые система может обслужить в единицу времени, либо среднее отношение числа удовлетворенных требований к количеству поданных в конкретный период. Очевидно, если заявки поступают в точно определенные промежутки времени и их обслуживание занимает известное время, то оценка пропускной способности не представляет трудности. Однако на практике это не так: в потоке требований возникают сгущения и разрежения, чреватые задержками в обслуживании или простоями как отдельных каналов, так и системы в целом.
Все это подтверждает, что функционирование систем массового обслуживания представляет собой случайный процесс, требующий детального изучения самих этих систем и классификации обрабатываемых ими потоков событий. При этом под такими потоками часто подразумеваются последовательности событий (обычно однородных), происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Если события наступают через строго определенные промежутки времени, то поток принято называть регулярным.
Наиболее широко в теории массового обслуживания рассматриваются так называемые простейшие (или стационарные пуассоновские) потоки, которые обладают следующими тремя важными свойствами:
а) ординарность, когда вероятность попадания на элементарный интервал At времени двух и более событий оказывается пренебрежимо малой по сравнению с вероятностью попадания туда одного события;
б) отсутствие последействия, если для любых не перекрывающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, наблюдаемых на всех других;
в) стационарность, когда вероятность наблюдения того или иного количества событий за интервал времени [t1; t2] зависит лишь от его продолжительности и не зависит от местоположения на оси времени.
Кратко и последовательно поясним сущность каждого из этих трех довольно важных для практики свойств. Ординарность означает, что заявки приходят поодиночке, а не парами, тройками и т.д. Если же они поступают только парами или тройками, то неординарный поток можно свести к ординарному – рассматривая заявки как поток пар или троек требований. Наиболее существенным является свойство отсутствие последействия, указывающее на независимость друг от друга тех заявок-требований, которые поступают на вход системы массового обслуживания, чего нельзя сказать о ее выходном потоке. Наконец, стационарность предполагает постоянную плотность потока событий.
Оказывается, что простейший поток играет в теории массового обслуживания особую роль, до некоторой степени аналогичную роли нормального закона в теории вероятностей и закона больших чисел – в математической статистике. Ранее (см. рис. 2.8) было показано, что при суммировании большого числа независимых случайных величин, подчиненных практически любым законам распределения, получается величина, распределенная по нормальному закону. Аналогично можно доказать, что при взаимном наложении (суммировании) большого числа ординарных стационарных потоков с практически любым последействием получается результирующий поток, довольно близкий к простейшему. Ведь условия, которые должны для этого соблюдаться, подобны условиям центральной предельной теоремы: складываемые потоки оказывают на сумму приблизительно равномерно малое влияние.
Несмотря на сложность соблюдения подобных условий, на практике существуют потоки, которые правомерно рассматривать как простейшие. Действительно, если сложить 4–5 частных потоков Пi, то этого оказывается достаточно для того, чтобы получить суммарный поток ПS, к которому можно относиться уже как к простейшему.
Рис. 3.4. Иллюстрация плотности распределения простейшего потока событий
Убедиться в этом можно с помощью нижней прямой на рис. 3.4, а, точки-события которой на оси времени t свидетельствуют о соблюдении требований стационарности, ординарности и отсутствия последействия.
При этом оказывается, что число событий, попадающих на участок 
, распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием а = Xt, а вероятность Р m(t) появления за это время ровно т событий определяется по формуле
где λ – плотность потока (среднее число событий, приходящихся на единицу времени).
Кроме того, нетрудно показать, что промежуток времени между появлением соседних событий простейшего потока подчинен уже упомянутому выше (см. параграф 2.5) экспоненциальному распределению, плотность которого выражается следующей зависимостью:
Оказывается, что экспоненциальный закон (иногда его называют также показательным) обладает еще одним замечательным свойством (рис. 3.4, б): если промежуток времени, распределенный по данному закону, уже длился некоторое время t, то это никак не влияет на закон распределения его оставшейся продолжительности, т.е. он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка. Данное свойство представляет собой, в сущности, другую формулировку условия "отсутствие последействия" в простейшем потоке.
Если же под событиями простейшего потока подразумевать отказы, то это означает, что вероятность их появления в данный момент не зависит от того, сколько времени устройство уже отработало. Это утверждение справедливо для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов с разной интенсивностью отказов, но не относится к отказам износового типа. Вот почему простейший поток нашел большое применение в исследованиях надежности, например с помощью так называемых марковских цепей событий, что и будет продемонстрировано ниже (например, при моделировании аварийности и травматизма).