Ошибки модели

Торговля финансовыми инструментами существенно зависит от математических моделей, для реализации которых используются сложные вычисления и современные математические теории. В простейшем смысле модель неверна, если существуют ошибки аналитического решения (набора уравнений, систем уравнений).

Но модель также некорректна, если она основана на неверных предположениях о ценообразовании базового актива, и это является более общим и более опасным риском. В истории финансовой отрасли есть ряд примеров торговых стратегий, основанных на неверных предположениях (см. блок 14-1), и возникающие в этих случаях модельные риски фактически являются всего лишь проявлением такого вида ошибки. Например, в модели ценообразования облигации может использоваться срочная структура процентных ставок при том, что реальная структура процентных ставок существенно изменяется и является неустойчивой.

БЛОК 14-1

НЕВЕРНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ – ПРИМЕР ОПЦИОНА ПУТ НИДЕРХОФФЕРА

Устойчиво работающий хедж-фонд, управляемый Виктором Нидерхоффером (Victor Niederhoffer), ведущим торговцем Уолл-стрит, был разорен в ноябре 1997 г.^[1] Этот фонд продал большое число непокрытых опционов "вне денег" на индекс "Стэндэрд энд Пурз 500" и взамен получил небольшую сумму премий по опционам. Торговая стратегия Нидерхоффера была основана на предположении, что рынок не может упасть более чем на 5 % в произвольный день. 27 октября 1997 г. он снизился более чем на 7 % в результате кризиса на азиатских рынках. (Такое снижение действительно невозможно, если доходности рынка распределены по нормальному закону.) Ликвидность или, скорее, отсутствие ликвидности после шока на рынке поставило фонд на колени и не позволило обеспечить требование поддержания маржи более чем на 50 млн долл. США. Как следствие, брокеры Нидерхоффера закрыли свои позиции по низким ценам, все акции фонда были утрачены.

Наиболее частой ошибкой при создании модели является предположение, что распределение базового актива стационарно (т.е. неизменно во времени) при том, что фактически оно меняется. Особенно важно учитывать это для волатильности. Торговцы производными инструментами хорошо знают, что волатильность непостоянна. Идеальным решением будет принятие факта, что волатильность – стохастический процесс, и необходимо с учетом этого разработать модель ценообразования опциона. Однако модели ценообразования опциона становятся сложными для вычислений в случае, когда учитывается стохастичность волатильности. (Более того, введение новых ненаблюдаемых параметров, связанных с учетом волатильности в модели ценообразования, делает оценку еще более трудоемкой.)

Таким образом, работающие с производными инструментами трейдеры выбирают компромисс между сложностью (более точным представлением реальной ситуации) и простотой (возможностью своей трактовки модели).

В то время как специалисты понимают, что они делают упрощения о поведении цены, им (или риск-менеджерам) нелегко оценить влияние такого типа упрощений на произвольную позицию или торговую стратегию. Например, они часто принимают, что ставки доходности распределены нормально, т.е. имеют классическое распределение типа "колокол". Однако существуют эмпирические наблюдения, подтверждающие "тяжелые хвосты" у распределения; при таких распределениях нежелательные ситуации возникают намного чаще, чем должны были бы происходить при нормальном распределении. То есть по возможности необходимо использовать эмпирическое, а не теоретическое распределение для того, чтобы ослабить опасность влияния больших "тяжелых хвостов". Однако такие "хвосты" не учитываются во множестве классических теоретических моделей, таких, как модель ценообразования опционов Блэка – Шоулза.

Еще один способ чрезмерного упрощения модели – уменьшить число используемых факторов риска. Для простых инвестиционных продуктов, таких, как отзываемые облигации, для цены и коэффициента хеджирования может быть достаточно однофакторной модели с краткосрочной ставкой спот. Для более сложных продуктов, таких, как опцион спред или экзотические структуры, могут потребоваться двух- или трехфакторные модели, где факторами могут служить кратко- и долгосрочные ставки спот.

Еще одна проблема состоит в том, что модели практически всегда получаются при допущении о существовании совершенного рынка капитала. В реальности множество рынков, особенно в развивающихся странах, далеко не совершенны. Между тем, даже на развитых рынках обращающиеся внебиржевые производные инструменты недоступны публично и обычно не могут быть полностью хеджированы.

В практических случаях большинство моделей оценки производных продуктов основано на предположении, что для рассматриваемых инструментов может быть использована стратегия дельта-нейтрального хеджирования, т.е. риск владения производным инструментом может быть постоянно элиминирован за счет владения базовым активом в соответствующей пропорции (коэффициентом хеджирования). На практике дельта-нейтральный хедж опциона по отношению к базовому активу вовсе не является безрисковым и поддержание дельта-нейтральности такой позиции часто требует активной стратегии ребалансирования^[2]. Банки редко используют непрерывное ребалансирование, которое используется в моделях ценообразования. В частности, теоретическая стратегия предполагает выполнение множества транзакций, комиссия за выполнение которых слишком велика, чтобы стратегия была целесообразной. Даже без учета высоких трансакционных издержек непрерывной торговли она невозможна: рынки не работают ночью, в праздники и выходные дни.

Ликвидность, а скорее, ее отсутствие может быть также существенным источником модельного риска. Модели предполагают, что по базовому активу можно иметь короткую или длинную позицию при текущих рыночных ценах и что эти цены существенно не изменяются при проведении торгов.

Модель может быть математически корректной и, в общем, достаточно полезной, и тем не менее неверно применяться в конкретной ситуации. Например, некоторые модели временно́й зависимости, которые широко используются специалистами для оценки инструментов с фиксированным доходом, получены при допущении, что форвардные ставки имеют логарифмически нормальное распределение, т.е. соответствующие непрерывно начисляемые ставки распределены нормально. Похоже, что эта модель относительно хорошо работает на большинстве мировых рынков, за исключением японского. В последние годы японские рынки характеризовались очень низкими процентными ставками, для которых лучше работают другие статистические модели (гауссовские модели и так называемые модели "квадратного корня").

Аналогично, модели, которые можно безопасно использовать для определенного типа продуктов, не будут хорошо работать для других инструментов. Множество внебиржевых продуктов имеет встроенные опционы, которые не учитываются в стандартной модели их ценообразования. Например, применение модели оценки варрантов может привести к искажению результатов, если оценивается варрант с продлеваемым сроком. К другим наиболее часто встречающимся ошибкам относится использование модели оценки опционов Блэка – Шоулза при оценке опционов на акции, когда происходит корректировка на дивиденды путем вычитания их текущей стоимости (ценности) из цены акций. Эта операция игнорирует тот факт, что опционы могут быть исполнены заранее. Возможно применение неверных моделей в случае, когда исследователь не знает, является ли базовый актив первичным или зависящим от другого базового актива (или набору активов).