Определение стоимости облигаций с фиксированным купоном
Нетрудно заметить, что денежный поток, генерируемый подобными ценными бумагами, представляет собой аннуитет, к которому в конце срока операции прибавляется дисконтированная номинальная стоимость облигации.
Определим современную (текущую) стоимость такого потока:
где F– сумма погашения (как правило – номинал, т.е. F = N); k – годовая ставка купона; r – рыночная ставка (норма дисконта); п – срок облигации; N – номинал; т – число купонных выплат в году.
Соотношение представляет собой базовую основу для оценки инвестором стоимости облигации.
Нетрудно заметить, что текущая стоимость облигации зависит от величины рыночной процентной ставки (требуемой нормы доходности) и срока погашения. Причем зависимость эта обратная. Из базовой модели оценки могут быть выведены две группы теорем, которые приводятся ниже без доказательств.
Первая группа теорем отражает взаимосвязи между стоимостью облигации, ставкой купона и рыночной ставкой (нормой доходности):
1) если рыночная ставка (норма доходности) выше ставки купона, текущая стоимость облигации будет меньше номинала (т.е. облигация будет продаваться с дисконтом);
2) если рыночная ставка (норма доходности) меньше ставки купона, текущая стоимость облигации будет больше номинала (т.е. облигация будет продаваться с премией);
3) при равенстве купонной и рыночной ставок текущая стоимость облигации равна номиналу.
Вторая группа теорем характеризует связь между стоимостью облигации и сроком ее погашения (рис. 8.2):
1) если рыночная ставка (норма доходности) выше ставки купона, сумма дисконта по облигации будет уменьшаться по мере приближения срока погашения;
2) если рыночная ставка (норма доходности) меньше ставки купона, величина премии по облигации будет уменьшаться по мере приближения срока погашения;
3) чем больше срок обращения облигации, тем чувствительнее ее цена к изменениям рыночной ставки.
Рис. 8.2. Взаимосвязь стоимости облигации и срока ее погашения
Средневзвешенная продолжительность платежей (дюрация)
Степень влияния изменения процентных ставок на цены облигаций характеризуется показателем средневзвешенной продолжительности потока платежей, или дюрацией (duration).
До сих пор мы принимали во внимание только одну временную характеристику облигаций – срок погашения п. Однако для обязательств с выплатой периодических доходов не менее важную роль играет еще один временной показатель – средневзвешенная продолжительность платежей, или дюрация.
Понятие "дюрация" было впервые введено американским ученым Ф. Маколи (F. R. Macaulay) и играет важнейшую роль в анализе долгосрочных ценных бумаг с фиксированным доходом. В целях упрощения будем предполагать, что купонный платеж осуществляется раз в год. Тогда дюрацию D можно определить из следующего соотношения:
где CFt – величина платежа по купону в периоде t; F – сумма погашения (как правило, номинал); п – срок погашения, r – процентная ставка (норма дисконта), равная доходности к погашению (r = ΥΤΜ).
Нетрудно заметить, что знаменатель формулы представляет собой формулу для расчета текущей стоимости облигации с фиксированным купоном, т.е. величину PV. Преобразуем выражение с учетом вышесказанного и величины нормы дисконта r = ΥΤΜ:
Дюрация является средневзвешенным сроком поступления платежей по облигации. Используемые при этом веса представляют собой долю каждого дисконтированного платежа в текущей стоимости всего потока – PV. Рассмотрим следующий пример.
Пример 2. Облигация с номиналом в 1000 и ставкой купона 7%, выплачиваемого раз в год, имеет срок обращения 3 года.
Требуется определить дюрацию данного обязательства.
Решение
Расчет представлен в табл. 8.1.
Таблица 8.1
Расчет дюрации
|
t |
|
|
|
|
|
|
1 |
70 |
1,070 |
65,42 |
0,0654 |
0,0654 |
|
2 |
70 |
1,145 |
61,14 |
0,0611 |
0,1223 |
|
3 |
1070 |
1,225 |
873,44 |
0,8734 |
2,6203 |
|
Итого |
- |
- |
1000,00 |
1,0000 |
2,8080 |
Таким образом, средняя продолжительность платежей по трехлетней купонной облигации приблизительно равна 2,8 года. Дюрация 20-летней облигации с купоном 8% годовых будет равна всего 11 годам, т.е. почти в 2 раза меньше срока погашения.
Нетрудно заметить, что дюрация зависит от трех факторов – ставки купона k, срока погашения п и доходности YTM.
Рис. 8.3. Характеристика дюрации при различных значениях ставки купона k, срока погашения п и доходности YTM
Эта зависимость для 20-лстнсй облигации при различных ставках k и YTM показана на рис. 8.3.
Графическая иллюстрация взаимосвязи дюрации с показателями п, k и YTM позволяет сделать ряд важных выводов.
1. Дюрация облигации с нулевым купоном всегда равна сроку ее погашения, т.е. при k = 0D = п.
2. Дюрация купонной облигации всегда меньше срока погашения: при k> 0D < п.
3. С ростом доходности (процентной ставки на рынке) дюрация купонной облигации уменьшается, и обратно.
Показатель дюрации, или средней продолжительности, более корректно учитывает особенности временно́й структуры потока платежей – отдаленные платежи имеют меньший вес, и, следовательно, оказывают меньшее влияние на результат, чем более близкие к моменту оценки.
Дюрацию часто интерпретируют как средний срок обязательства с учетом его текущей величины или, другими словами, как точку равновесия сроков дисконтированных платежей. В частности, дюрацию купонной облигации можно трактовать как срок эквивалентного обязательства без текущих выплат процентов (например, облигации с нулевым купоном).
Важное теоретическое и прикладное значение в анализе играет предельная величина дюрации LVD (limiting value of duration), вычисляемая по формуле
Отметим следующие свойства этого показателя:
• средняя продолжительность платежей по бессрочным облигациям равна величине LVD независимо от величины ставки купона;
• дюрация купонной облигации, приобретенной по номиналу или с премией, монотонно возрастает вместе с увеличением срока погашения и приближается к своему предельному значению LVD по мере приближения срока погашения к бесконечности;
• дюрация купонной облигации, приобретенной с дисконтом, достигает своего максимума прежде, чем срок погашения приблизится к бесконечности, и затем снижается по направлению к величине LVD.
Однако главная ценность дюрации состоит в том, что она приблизительно характеризует чувствительность цены облигации к изменениям процентных ставок на рынке (доходности к погашению). Таким образом, используя дюрацию, можно управлять риском, связанным с изменением процентных ставок.
Дюрация характеризует эластичность цены облигации к изменениям ее доходности.
Можно показать, что
Величина, заключенная в квадратные скобки, получила название модифицированной дюрации (modified duration – MD):
Тогда
Эту формулу часто используют для определения приблизительного изменения цены облигации исходя из предполагаемого изменения доходности к погашению. Рассмотрим следующий пример.
Пример 3. Предположим, что облигация из примера 2 была куплена по номиналу. При этом инвестор ожидает рост рыночной процентной ставки на 1%. Требуется определить ожидаемое изменение цены облигации.
Решение
Величина средней продолжительности платежей D для этой облигации составила приблизительно 2,8. Определим ожидаемое процентное изменение YTM:
Δ YTM = 0,01/(1 + 0,07) = 0,0093.
Найдем величину MD:
MD = 2,8/0,0093 = 2,62.
Предполагаемое процентное изменение цены облигации составит
ΔΡ= -(0,01 • 2,62) = -0,0262, или -2,6%.
Таким образом, курс облигации К должен понизиться на 2,6%. Поскольку облигация была куплена по номиналу, новый курс должен быть приблизительно равен 100 – 2,6 = 97,4%.
Недостатки показателя "дюрация"
Первое ограничение вытекает из нелинейной формы связи между YTM и Р. Поскольку скорость изменения показателей при этом будет разной, применение показателя D или MD для прогнозирования цен облигаций в случае значительных колебаний процентных ставок будет приводить к преувеличению падения курса при росте YTM и занижению реального роста курса при уменьшении YTM.
Другим существенным недостатком дюрации как меры измерения процентного риска является неявное допущение о независимости доходности от срока погашения. Таким образом, предполагается, что краткосрочные процентные ставки изменяются так же, как и долгосрочные. Например, если доходность но трехмесячным ГКО изменилась на 1%, то и доходность 15-летних ОВГВЗ также должна измениться на 1%. Нереалистичность подобного допущения очевидна.
Несмотря на отмеченные недостатки, показатель средней продолжительности платежей (дюрация) широко используется в теоретическом и прикладном анализе.