О "непостижимой эффективности" математики

Теперь обратимся к вопросу о месте (роли) математики в физике. Для этого проанализируем популярное и сегодня [5] утверждение Е. Вигнера о поразительной эффективности математики в физике: "закономерности в явлениях окружающего нас мира допускают формулировку с помощью математических понятий, обладающих сверхъестественной точностью... Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов". "Это свидетельствует о том, что математический язык... отвечает существу дела" [4, с. 194, 197, 190]. В качестве иллюстраций он приводит три примера: закон всемирного тяготения Ньютона, теорию основного состояния гелия, лэмбовский сдвиг, которые эмпирически подтверждены с очень высокой точностью.

Однако на схеме 9.2.1 в качестве "языка" и онтологических единиц выступают ПИОj. Математические понятия (математика) являются элементами конструкции оснований раздела физики наряду с понятиями модельного слоя и техническими операциями приготовления и измерения. Ту или иную математику включают в основания раздела физики (подобно тому, как колесо включается как элемент в конструкцию повозки). При этом математика не является ни "существом дела", ни языком для выражения чего-то существующего вне нее, или отражением или выражением реальности (как у Платона). Поэтому место вигнеровской "эффективности математики" занимает "эффективность ПИО". Что касается "эффективности ПИО", то здесь надо различать две вещи. Точность реализации ПИО в эмпирическом материале принципиально ничем не ограничена. Что касается точности описания явлений с помощью ВИО, то здесь она не ограничена с точки зрения построения ВИО: его можно неограниченно усложнять, внося новые ПИО, и взаимодействия (аналог разложения в ряд, но по ПИОj). Правда, перечисленные Вигнером примеры отличаются очень простыми ВИО. Однако случай планетарной системы и родственный ему случай электрона в атоме являются особыми случаями в физике, ибо их модель ВИО должна удовлетворять условию чрезвычайной устойчивости. Планеты не улетают от Солнца в течение миллиардов оборотов. Аналогична ситуация с электроном в атоме. Это накладывает требование чрезвычайной точности на исходную модель. Модель, где сила обратно пропорциональна квадрату расстояния в сочетании со вторым законом Ньютона, обеспечивает эту устойчивость, а следовательно, и точность описания. Для физических явлений другого типа (например, в механике сплошных сред) такой точности при простых ВИО не наблюдается.

Рассмотрим еще несколько примеров "удивлений", приводимых в работе [4] и гл. 16: "подчинение явлений законам математики" (Ньютон), "предустановленная гармония" между математикой и физикой (Г. Минковский, Ф. Клейн, Д. Гильберт, А. Эйнштейн и др.), "опережающая роль математики" при создании теории относительности и квантовой механики.

Что касается утверждения Ньютона, то оно вырастает, с одной стороны, из того, что до появления электромагнитного поля (что по типу значимости можно сравнить с появлением неевклидовых геометрий для математики) для физиков объект, который двигался (тело, жидкость), был очевиден, и считалось, что задача состоит в нахождении "законов движения". С другой стороны, для Галилея и Ньютона была очень значима идеологемма "книга природы написана на языке математики". Эти два положения замечательно поддерживали друг друга и хорошо согласовывались и с идеей "предустановленной гармонии".

Но, начиная с электродинамики Фарадея – Максвелла, с перехода к "неклассической" физике^[1] ситуация меняется, и в центре оказывается объект (ПИО), а закон его движения выступает как одна из его характеристик. Другой стороной этого процесса является усложнение математики, теперь ищут не просто уравнение движения (УД), а математическое представление, т.е. математические образы ПИО, которые становятся гораздо сложнее и разнообразнее. В результате увеличивается доля работы в математическом слое и становится явным выбор и поиск типов математики при создании новых "неклассических" разделов физики. Это приводит к впечатлению об "опережающей роли математики".

Но так ли это? В случае специальной теории относительности противоречие между старой механикой Ньютона и новой электродинамикой Фарадея – Максвелла, состоящее в невыполнении принципа относительности Галилея для уравнений Максвелла, было сформулировано на математическом языке как необходимость перехода от преобразований Галилея к преобразованиям Лоренца при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Решение Эйнштейна состояло в замене эталона твердого метра на "твердую" скорость света, т.е. наделении второго свойствами первого (см. гл. 14). Безусловно, что роль математики здесь сильно повышается, но можно ли говорить об опережении? Все-таки схема выглядит так: в начале был физический принцип относительности, затем его перевели в математическую форму, т.е. перешли из физического слоя в математический, а в конце опять вернулись в физический слой.

Нечто подобное мы имеем и в случае квантовой механики (см. гл. 15). В старой квантовой теории мы вначале имеем несколько физических парадоксов, например "ультрафиолетовая катастрофа" теплового излучения черного тела. Это физический эффект, которому отвечала формулировка в математическом слое в виде неправильного теоретического выражения для спектра этого излучения. Планк находит формулу, которая дает правильный результат. То же мы имеем и с фотоэффектом, и со спектрами атома водорода. В общем-το того же типа рисунок мы имеем уже при создании электродинамики: Фарадей формулирует модель, а Максвелл относительно долго и сложно создаст для нее математическое представление (слой).

Если перейти к рассмотрению создания "новой" квантовой теории, то на входе мы имеем сформулированный де Бройлем корпускулярно-волновой дуализм и модель атома Бора, которые мы бы отнесли к слою физической модели. Затем идет поиск математического слоя, в результате чего возникают варианты Гейзенберга и Шрёдингера. Параллельно этому формируются вероятностная интерпретация волновой функции Шрёдингера и другие элементы оснований квантовой механики. К этому следует добавить, что в постулаты квантовой механики вносится постулат квантования, который действует по той же схеме (см. параграф 15.3).

Таким образом, в рассмотренных случаях речь идет скорее не об "опережении", а об "увеличении" и "активации" роли математики и усложнении математического аппарата. Но если исходить из позитивистской "стандартной" модели, в которой не выделяется модельный слой, то там видна только математика.

Теперь обратимся к тезису о "непостижимой эффективности" "принципа наименьшего действия" (ИНД) в физике, о которой говорит В. П. Визгин [6]. Анализ ПНД [20] показывает, что входящее в ПНД действие можно сопоставить с местом лагранжиана и гамильтониана^[2] в соответствующих дифференциальных математических представлениях. Отличие лишь в том, что действие оказывается математическим образом множества возможных "траекторий" движения системы, а не системы (как в случае лагранжиана и гамильтониана). Применение ПНД – это применение вариационного исчисления как математического аппарата, который надо сравнивать с аппаратом дифференциальных уравнений (выбор конкретного вида действия аналогичен выбору дифференциального уравнения). Применимость ПНД в различных разделах физики ("парение над") имеет ту же природу, что и применимость дифференциальных уравнений: эти математические аппараты дают математическое описание "движения" как перехода физической системы из одного состояния (начального) в другое (конечное), что имеет место во всех разделах физики.

Еще одним математическим "чудом" является эффективность теории групп и свойств симметрии. Ключом к пониманию этого "чуда" является теорема Э. Нетер, согласно которой симметриям (однородности, изотропности) пространства и времени соответствуют законы сохранения для аддитивных интегралов движения (энергии, импульса, момента количества движения). Законы сохранения выделяют определенные движения (типа равномерного прямолинейного движения свободной частицы, или планетарных орбит в центральном поле, или атомных и молекулярных электронных орбиталей), которые можно назвать "естественными" в том смысле, что отклонение от этого движения предполагает причину в виде дополнительной силы или силового поля. Такое движение можно назвать "состоянием движения" (каковым у Ньютона было состояние равномерного прямолинейного движения) или "кинетическим состоянием", которое следует отличать от описанного нами выше базового для теоретической физики "мгновенного" состояния SA(t), называемого просто "состоянием". Рассмотрение кинетических состояний удобно, поэтому этот комплекс понятий широко применяется в современной физике, в этом и состоит суть симметрии как принципа или методологического регулятива.

Вывод из этого обсуждения состоит в том, что постановка и попытки ответов на вопросы об "эффективности" математики, ее первенстве и т.п. отнюдь не очевидны, как это часто преподносят, а сильно зависят от эпистемологической позиции. Утверждения о "непостижимой эффективности" математики или принципа наименьшего действия [4; 6] связаны с недооценкой модельного слоя, происходящего либо в рамках позитивистской "стандартной" структуры физического знания (см. параграф 5.2), где в качестве центральной задачи рассматривается получение из эмпирических данных законов природы, выражаемых с помощью математических формул, либо в рамках платоно-пифагорейской традиции (популярной среди физиков-теоретиков, занимающихся ОТО), где математике придают онтологический статус. В "объектном" подходе онтологию несет на себе ПИО, его модель, а математика при этом – лишь один из элементов, входящих в основания раздела физики и задающих ПИО.

Нам представляется, что математика развивается по своей логике, создавая множество разделов математики. Физика развивается по своей логике, где при создании нового раздела физики из математики заимствуются средства из того или иного раздела математики, которые становятся элементом создаваемой конструкции. Взаимодействие между физикой и математикой состоит во взаимном стимулировании. Так, развитие физики часто стимулирует развитие, а иногда и создание того или иного раздела математики, с другой стороны, развитие физики зависит от того спектра разделов математики, которые уже есть, их наличие облегчает развитие физики. Математика в физике – элемент, средство, хотя и активное (наиболее яркий пример – понятие волны в среде, которое, думаем, тесно связано с математическим разложением Фурье).