Научно-технический прогресс и экономический рост. Остаток Солоу
В простых моделях экономического роста научно-технических прогресс (НТП) предполагается экзогенно заданным, и его включают в модель двумя способами. Первый способ заключается в том, что НТП вводится в модель в качестве показателя эффективности (E) используемых факторов производства. В этом случае производственная функция примет вид
(9.24)
где ЕК и El – эффективность единицы капитала и труда соответственно; К и L – количество применяемого капитала и труда. Произведение К × Ек показывает количество применяемого капитала, выраженного в единицах с постоянной эффективностью, а произведение L × EL соответственно количество труда, выраженного в единицах с постоянной эффективностью. Например, если в текущем году один работник производит продукции столько же, сколько в прошлом году производило пять работников (при прочих равных условиях), то эффективность его труда выросла в 5 раз, и его рабочая сила теперь эквивалентна 5 единицам труда с постоянной эффективностью (эффективностью прошлого года).
При капиталосберегающем НТП рост эффективности единицы капитала приводит к тому, что для получения прежнего объема выпуска при прочих равных условиях необходимо использовать физически меньшее количество капитала (станков, машин, оборудования и т.д.). Трудосберегающий НТП означает повышение эффективности единицы труда, так что для достижения прежнего объема выпуска при прочих равных условиях теперь требуется меньшее количество работников.
Рассмотрим последствия трудосберегающего НТП для динамического равновесия в модели Р. Солоу. Производственная функция в этом случае примет вид
(9.25)
где К и L – количество единиц капитала и труда соответственно; Е – эффективность единицы труда.
Запишем функции совокупного предложения, спроса и потребления в расчете на единицу труда с постоянной эффективностью. Для функции совокупного предложения получим выражение
= (9.26)
где k – капиталовооруженность единицы труда с постоянной эффективностью.
Выражение (9.26) но виду совпадает с выражением (9.15), однако следует учитывать, что в (9.26) показатели определены в расчете на единицу труда с постоянной эффективностью. Аналогично записанные в интенсивной форме функции совокупного спроса и потребления формально совпадут с выражениями (9.16) и (9.17). Инвестиции в расчете на единицу труда с постоянной эффективностью будут равны
Отсюда изменение запаса капитала на единицу труда с постоянной эффективностью составит
(9.27)
Выражение (9.27) также формально совпадает с выражением (9.19), однако следует учитывать различный смысл к в первом и во втором случаях.
При каких условиях достигается устойчивое равновесие в экономике с НТП?
Для ответа на поставленный вопрос определим условия, при которых капиталовооруженность единицы труда с постоянной эффективностью не меняется, т.е. 
Пусть К1 и L1 – объемы капитала и труда в первом периоде; Е1 – эффективность единицы труда в первом периоде; К0 и L0 – объемы капитала и труда в предыдущем ("пулевом") периоде; Е0 – эффективность единицы труда в предыдущем периоде. Так как
,
, а
, то
(9.28)
Поделив числитель и знаменатель выражения (9.28) на 
,получим
(9.29)
Так как 
(капиталовооруженность единицы труда с постоянной эффективностью); 
(темп прироста населения); 
(темп прироста эффективности труда), а значение 
можно получить из выражения (9.27), то выражение (9.29) можно записать следующим образом:
(9.30)
Приравнивая (9.30) к нулю, получим условие неизменности капиталовооруженности единицы труда с постоянной эффективностью в экономике с НТП:
(9.31)
Поскольку темпы прироста населения и эффективности труда обычно не превышают 10%, то произведение ng как величина, близкая к нулю, в выражении (9.31) опускается. В этом случае условие устойчивого равновесия в экономике при НТП примет вид
(9.32)
Графически установление устойчивого равновесия в экономике с НТП показано на рис. 9.4.
Рис. 9.4. Научно-технический прогресс в модели Р. Солоу
В устойчивом состоянии (точка Е на рис. 9.4) показатели капитала, выпуска, потребления и инвестиций в расчете на единицу труда с постоянной эффективностью не меняются. Однако капитал, доход, потребление и инвестиции в расчете на одного занятого в экономике растут с темпом g. Общий объем капитала, выпуска, потребления и инвестиций растет с темпом (п + g). Модель Р. Солоу показывает, что единственным источником устойчивого роста дохода и потребления на одного занятого является НТП.
Главным недостатком модели Р. Солоу является экзогенный характер НТП, так как темп прироста эффективности труда (g) не выводится из модели, а, наоборот, задается экзогенно. Природа НТП, факторы, способствующие повышению эффективности труда, в модели Р. Солоу не раскрываются.
ПРИМЕР 9.2
Рассмотрим закрытую экономику без государственного сектора, выпуск в которой описывается производственной функцией Кобба – Дугласа с постоянной отдачей от масштаба:
где К – запас капитала в экономике; L – количество занятых; Е – эффективность труда одного занятого. Норма сбережений составляет 25%, норма амортизации 10%. Население растет темпом 7% в год, а эффективность труда увеличивается на 3% в год.
Определим устойчивый уровень капиталовооруженности единицы труда с постоянной эффективностью. Для этого перейдем к записи производственной функции в интенсивном виде, поделив левую и правую часть на (LE):
где у – выпуск в расчете на единицу труда с неизменной эффективностью; k – капиталовооруженность такой единицы труда. Из уравнения (9.32) получим значение устойчивого уровня капиталовооруженности: 
; откуда 
. Соответственно устойчивый уровень капиталовооруженности единицы труда с постоянной эффективностью будет равен (1,25)2 = 1,5625. Отметим, что исходя из условий примера совокупный выпуск и запас капитала в равновесном состоянии увеличиваются темпом 10% в год, а выпуск на одного занятого растет па 3% в год.
Рассмотрим второй способ учета экзогенного НТП в моделях экономического роста. Он связан с включением в производственную функцию дополнительного параметра (A), отражающего влияние прочих факторов на экономический рост, прежде всего НТП. В этом случае производственная функция примет вид
Производственная функция Кобба – Дугласа, задействованная в модели Р. Солоу, в этом случае будет выглядеть следующим образом:
(9.33)
Запишем выражение (9.33) в темповой записи, которая показывает вклад в прирост выпуска факторов производства – труда и капитала:
(9.34)[1]
Известно, что в производственной функции Кобба – Дугласа вида (9.33) степени при факторах производства показывают долю соответствующего фактора в доходе (а – доля фактора "капитал",
– доля фактора "труд"). 
– темп прироста капитала;
– темп прироста труда. Вклад прочих факторов (совокупную производительность труда и капитала, отражающую воздействие НТП) показывает остаток 
. Его значение вычисляется косвенным образом, путем вычитания из темпа прироста выпуска "вкладов" капитала и труда:
(9.35)
Данная величина получила название "остаток Солоу". Он показывает часть прироста национального дохода, которая не может быть объяснена ростом труда и капитала. Она приписывается влиянию НТП (шире – влиянию прочих факторов, не учтенных в модели).
Американский экономист Э. Прескотт рассчитал величину "остатка Солоу" для экономики США за период с 1948 по 1985 г. По этим данным, на вклад прочих факторов, интерпретируемый как вклад НТП, приходилось от трети до половины всего прироста выпуска, что свидетельствует об ограниченности моделей роста, учитывающих только экстенсивные факторы и неспособных эндогенно вывести темпы НТП.
Недостатки моделей экзогенного экономического роста побудили экономистов к разработке моделей эндогенного роста, в которых бы раскрывались факторы, определяющие норму сбережения, темп роста населения, НТП. Одной из первых моделей экономического роста, в которой была сделана попытка эндогенного определения нормы сбережений, была модель Н. Калдора, разработанная в русле кейнсианских моделей роста Е. Домара – Р. Харрода. В ряде моделей экономического роста была сделана попытка эндогенного определения темпа прироста населения (например, модель М. Кремера). Наконец, было разработано множество моделей экономического роста с эндогенно определяемым НТП (модели П. Ромера, Р. Лукаса и др.). В этих моделях НТП определялся как следствие повышения качества "человеческого капитала" (запаса знаний, навыков и умений работников), учитывался также "внешний эффект" от роста человеческого капитала для экономики в целом. Однако окончательного решения проблема эндогенного вывода НТП не получила. Современные модели экономического роста концентрируются на микроэкономических предпосылках НТП: обучении работников, технологических решениях фирм и т.п. Повышение интереса к микроосновам макроэкономики затрагивает все разделы макроэкономической теории, в том числе и моделирование экономического роста.
Золотое правило накопления капитала
При анализе модели Р. Солоу было показано, что при прочих равных условиях существует только один уровень капиталовооруженности, который является устойчивым. Однако изменение нормы сбережений вызывает изменение устойчивого уровня капиталовооруженности как в случае неизменного населения и рабочей силы (этот случай показан на рис. 9.2 б), так и в общем случае, когда рабочая сила растет с темпом п, а также имеет место рост эффективности труда с темпом g. Существует ли в этих условиях такая норма сбережений s*, при которой потребление на одного занятого было бы максимальным?
Так как в устойчивом состоянии фактические инвестиции, равные сбережениям 
, равны также требуемым инвестициям 
на единицу труда с постоянной эффективностью, то функция потребления на единицу труда с постоянной эффективностью может быть записана следующим образом:
(9.36)
Найдем устойчивый уровень капиталовооруженности (k**), при котором функция (9.36) достигает максимума. Взяв производную функции (9.36) по k* и приравняв ее к нулю, получим следующее условие:
(9.37)
Это условие называется золотым правилом накопления капитала. Соответствующая ему величина капиталовооруженности (k**), которая находится из решения уравнения (9.37), называется капиталовооруженностью по золотому правилу, а норма сбережений (s*), которая определяется из уравнения (9.32) после подстановки в него найденного значения k**, – нормой сбережений по золотому правилу.
Графически (рис. 9.5) золотое правило накопления капитала означает нахождение такой величины k**, для которой наклон касательной, проведенной к функции f(k*) в точке А, равен наклону линии требуемых инвестиций. Отрезок AВ показывает максимально возможную при данных значениях параметров δ, п, g величину потребления на единицу труда с постоянной эффективностью. Соответственно, отрезок ВС показывает, какова в этом случае величина инвестиций (и сбережений) на единицу труда с постоянной эффективностью. Отметим, что потребление на одного занятого в условиях НТП является переменной величиной, растущей с темпом g, но ее максимально возможное значение в каждом периоде также соответствует условию (9.37).
Рис. 9.5. Золотое правило накопления капитала
Политика экономического роста в модели Р. Солоу может быть представлена в пассивном и активном вариантах. Пассивный вариант заключается в доведении нормы сбережений до оптимальной величины (s*), соответствующей золотому правилу накопления капитала при невмешательстве в демографические процессы и НТП (т.е. при данных параметрах п, g). Активный вариант, напротив, предполагает проведение демографической и инновационной политики, т.е. воздействие прежде всего на рост населения и НТП. Изменение нормы сбережений в этом случае носит подчиненный характер.