Модель экспоненциального сглаживания сезонных уровней
На основе метода Брауна можно выделить еще одну элементарную модификацию, применимую для сезонных рядов данных. Идея этой модификации основана на модели сезонного Naive (параграф 5.2): вместо того, чтобы при расчете нового прогнозного значения использовать фактическое, полученное на предыдущем наблюдении, мы будем использовать значение, полученное s наблюдений назад (где s – лаг сезонности). Модель, таким образом, может быть записана в виде
(7.45)
Очевидно, что модель не подразумевает наличия каких- либо тенденций к росту либо снижению в ряде данных и сохраняет в себе те же свойства, что были присущи модели Брауна (включая границы постоянной сглаживания)[1].
Однако при построении такой модели может возникнуть сложность с заданием стартовых значений, так как теперь их нужно задать несколько (s расчетных значений). В данном случае можно прибегнуть к некоторым из методов, предложенных в предыдущем параграфе:
1. Первое расчетное значение выбирается равным фактическому.
2. Получение стартовых значений из процедуры "обратного прогноза".
3. Подбор первого значения во время поиска оптимальной α.
Использование остальных методов, к сожалению, либо невозможно, либо связано с большими сложностями.
Во всех трех перечисленных методах несложно получить набор стартовых значений. Так, для модели (7.45) с помощью метода обратного прогноза, учитывая лаг сезонности s, расчетное значение
будет вычисляться следующим образом:
(7.46)
Смысл этой процедуры остается таким же, как и в случае с простой моделью Брауна: получить такие стартовые значения, которые вписывались бы в общую картину.
Получить прогноз по модели (7.45) на один сезон не вызывает сложностей, а для всех последующих сезонов фактически будет получаться тривиальный прогноз вида
Рассмотрим пример прогнозирования ряда № 1683 (см. параграф 6.7, посвященный сезонной декомпозиции) с помощью данной модели. Для оценки стартовых значений мы рассмотрели все три метода ("Метод 1" – это метод задания стартовых значений равным фактическим, "Метод 2" – метод обратного прогноза, "Метод 3" – метод нахождения оценок во время оптимизации), в результате чего были получены следующие прогнозы (рис. 7.12).
Как видим, во всех трех случаях явных тенденций к росту либо снижению на прогнозируемом периоде не наблюдалось, поэтом в среднем модель (7.45) дала нс самый плохой прогноз, который отличается лишь плохим прогнозированием ника.
Для этих трех методов были получены следующие симметричные относительные ошибки аппроксимации и оптимальные постоянные сглаживания:
1. Метод 1: sMAPE = 6,09%, α = 0,447.
2. Метод 2: sMAPE = 6,71%, α = 0,019.
3. Метод 3: sMAPE =6,66%, α = 0,000.
Любопытно, что при подборе стартовых значений была получена постоянная сглаживания, фактически равная нулю. Получается, что в этом случае ни о какой адаптации речи нет: модель приняла форму, близкую к тренд-сезонной модели, основанной на классической декомпозиции с усредненной сезонностью по всему ряду данных.
Отметим, что ошибка аппроксимации по всем трем методам оказалась чуть меньше ошибки по методу STL, по которому мы давали прогноз в параграфе 6.7. При этом на то, чтобы получить эти прогнозы, мы потратили значительно меньше времени, чем в случае с STL. Это указывает на главное преимущество методов экспоненциального сглаживания: простота в построении при сравнимой с другими методами точности прогнозов.
Рис. 7.12. Аппроксимация ряда данных № 1683 из базы М3 и его прогнозы на 18 наблюдений вперед моделью экспоненциального сглаживания сезонных уровней:
сплошная линия – фактические значения; прерывистая – расчетные значения