Моделирование

Использование моделей и схем для решения задач относится к познавательным универсальным учебным действиям. Значительный вклад в его развитие вносят школьные предметы "Окружающий мир" и "Математика".

Отметим, что традиционное обучение использует моделирование и схемы фрагментарно, в то время как для решения подавляющего большинства текстовых задач по математике могут быть использованы простые понятные правила моделирования условия. Для примера посмотрим на следующую схему.

Единственным неочевидным правилом, использованным в этой модели, является договоренность проводить стрелку от меньшей величины к большей. Сюжеты задач, подходящие к данной схеме, могут отличаться несущественными условиями. Например, Маша и Коля в первой четверти имели одинаковое количество пятерок – 12. Во второй четверти у Маши оказалось на 3 пятерки больше, а у Коли в 3 раза меньше, чем в первой четверти. Сколько пятерок во второй четверти у Маши и Коли вместе? Мы видим, что достаточно всего четырех правил для создания схемы к этой и большинству других задач. Отношение равенства моделируется двумя параллельными линиями. Отношение целого и частей – фигурной скобкой. Отношения больше (меньше) на... – стрелкой от меньшей величины к большей и надписью на стрелке. Отношение больше (меньше) в... – аналогично.

Традиционно применяемая краткая запись условия задач, часто оказывается громоздкой, затрудняющей фиксацию и анализ существенных отношений между объектами задачи. Особенно это начинает проявляться при моделировании условий более сложных задач. К данной задаче традиционная краткая запись могла бы выглядеть примерно следующим образом.

В состав учебного моделирования входит несколько этапов:

– предварительный анализ текста задачи;

– перевод текста на знаково-символический язык, который может осуществляться в предметной, графической или буквенной форме;

– построение модели;

– работа с моделью;

– соотнесение результатов, полученных на модели, с реальностью (с текстами).

Действие моделирования способствует формированию обобщенного способа анализа задачи. Это достигается за счет использования одних и тех же знаково-символических средств при моделировании условий задач с различными сюжетами.

Контроль

Действие контроля относит к регулятивным универсальным учебным действиям. Психологические механизмы формирования этого действия изучены, но до сих пор мало используются в школьной практике. В ряду простых заданий, служащих для овладения учащимися действием контроля, стоят задания на поиск ошибок в решенных примерах. Распространено мнение, что такого рода задания могут нанести вред в обучении, закрепляя в памяти ученика неверный образец. Рассмотрим для примера задание по математике для 3 класса, относящееся к теме "Умножение суммы на число". Для закрепления нового способа действия учащимся предлагается найти ошибки в записях и исправить их.

(3 + 5)- 4 = 3- 4 + 5= 12 + 5= 17

(3 + 5)- 4 = 3 + 5 – 4 = 3 +20 = 23

(3 + 5)- 4 = 3- 4 + 5- 4 = 12 + 5- 4= 17 – 4 = 68

(3 + 5) • 4 = 3 • 4 + 5 • 4 = 14 + 20 = 34

(3 + 5) • 4 = 3 • 4 + 5 • 4 = 12 + 20 = 42

Проследим за небольшой дискуссией учителя-психолога и методиста.

– Вы перебрали все мыслимые и немыслимые ошибки, которые могут возникнуть при решении одного примера. В результате у ученика в голове вместо закрепления правильного способа решения возникает "каша" из разного рода возможных ошибок. Надо закреплять в голове правильный способ, а не заставлять разгадывать, почему кто-то решил неправильно! Этот метод не для всех! – сказал методист.

– Учебное действие контроля, – возразил учитель-психолог, – имеет особую природу. Оно направлено не на преобразование предмета, а на само предметное действие. Для формирования действия контроля требуется немало усилий, поскольку именно в этом действии младшие школьники проявляют большую зависимость от взрослого. Это связано с отсутствием в действии контроля самостоятельного продукта. Действие контроля приобретает для ребенка смысл лишь в ситуации взаимодействия со взрослым. Стоит взрослому выйти из ситуации, как зачастую ребенок полностью перестает контролировать свои действия.

Таким образом, контроль для ученика должен стать особой задачей. Что это означает? В. В. Ренкин отмечает, что поставить перед ребенком задачу контролировать свои действия сразу не получается: когда действие уже выполнено учеником, требование проконтролировать правильность решения практически не имеет для него смысла. Даже если ребенок пытается выполнить это требование, то просто еще раз выполняет действие. Намного осмысленнее эта задача будет в том случае, если контролировать необходимо не свои, а действия другого человека. При этом ошибки в действиях, которые будут контролировать дети, должны быть типичными. Такие ошибки необходимо специально продумывать.

Лишь после этого объектом контроля могут стать собственные действия детей.

При организации обучения математике в подростковом возрасте эффективными оказываются поисково-исследовательские задачи. Приведем пример.

Задача. Нанизывание рябины на проволоку представляет собой равномерный процесс (при условии плотного расположения ягод и их одинакового размера).

Его характеристики: S – длина проволоки (нити), занятой рябиной; Т – количество использованных ягод.

Оборудование: проволока (нить), линейка, рябина, весы бытовые, весы лабораторные, небольшая чашка, стеклянная банка (мензурка), резинка.

Вопрос, сколько нужно ягод для заполнения проволоки заданной длины (5)?

Предполагаемые способы решения.

1. Непосредственное нанизывание в принципе возможно, но при достаточно большой длине нити очень трудоемко по времени.

2. Выяснить, какая длина нити (Е) заполнится определенным количеством ягод (например, Т1= 10 шт.). Определить, сколько раз полученная длина (Е) укладывается в нити заданной длины: S / Е = N. Найти искомое количество ягод: 7 = Т1 • N.

3. Зафиксировать некоторую длину нити (Е). Выяснить, сколько ягод потребуется для ее заполнения (Т1). Определить, сколько раз отмеченная длина (Е) укладывается во всей нити: S / Е = N. Найти искомое количество ягод: T1•N=T.

4. Разбить всю нить на несколько равных частей (N – количество частей). Выяснить, сколько ягод потребуется для заполнения одной такой части (Г,). Найти искомое количество ягод: Т= Т1• N.

Выделим следующие особенности задач такого типа:

– отсутствие в их условиях каких-либо числовых данных, что побуждает обучающихся самостоятельно устанавливать математические связи между объектами;

– задачи имеют не единственный способ решения, и дети могут предложить несколько разнообразных подходов к их решению;

– задачи не имеют однозначного правильного ответа, точнее, практически его трудно получить;

– роль учителя при решении задач – руководитель творческого семинара учащихся.

Эти особенности отличают подобные задачи от типичных учебных задач, решаемых посредством исследовательской деятельности, когда взрослый, вводя определенную помощь, организуя взаимодействие детей, ведет их к заранее известному выводу. Вместе с тем в совокупности эмпирических данных, представленных в условии задачи, ученик открывает закономерности взаимных связей ее объектов, оказываясь в роли исследователя, что приводит его к спонтанной исследовательской деятельности.

Проведенный формирующий эксперимент показал, что исследовательская деятельность возможна как закономерная и специально организованная форма обучения для подростков и что ее можно организовать на основе программного материала. В таком обучении могут реализоваться познавательная активность подростков и поисковая направленность их сознания.

Покажем пример задания, построенного на программном материале и требующего от учащихся исследовательского подхода.

Задача. Компания сотовой связи "БУКИ" предлагает различные тарифные планы.

Тарифный план	Абонентская плата в месяц	Стоимость 1 минуты разговора круглосуточно
"Отличник"	$4	$0,15
"Троечник"	$10	$0,12

Определи, какой тариф и в каких случаях следует выбрать, чтобы заплатить меньше денег. Дай объяснение.

Предложенное задание направлено на установление зависимости расходов за телефонные переговоры как от абонентской платы, так и от стоимости одной минуты разговора. Предполагается, что полный ответ на задачу должен выглядеть следующим образом. При разговорах менее 200 минут в месяц выгоднее "Отличник"; при разговорах более 200 минут – "Троечник"; при 200 минутах разницы в оплате нет. Лишь в нескольких работах был обнаружен подход к решению задачи, ограничивающийся рассуждениями о зависимости ответа от продолжительности разговоров по телефону.

Проведенный эксперимент показал, что школьникам необходима специальная подготовка для успешного усвоения теоретических предметов общеобразовательных программ. Предложенный способ обучения математике в форме исследовательской деятельности позволяет в большей мере решить задачу развития теоретического мышления подростков, способствует развитию теоретического осмысления действительности^[1]. Создание специальных условий для проявления ситуаций, в которых ученик самостоятельно открывает и формулирует закономерности строения объекта, делает обобщения относительно изучаемого материала, приводят к выходу на более высокую образовательную траекторию.