Закон исключенного третьего

Рассказывают историю про одного владельца собаки, который очень гордился воспитанием своего любимца. На его команду: "Эй! Приди или не приходи!" – собака всегда либо приходила, либо нет. Так что команда в любом случае оказывалась выполненной.

Здесь мы сталкиваемся еще с одним популярным законом логики – законом исключенного третьего. Как и закон противоречия, он устанавливает связь между противоречащими друг другу утверждениями: из двух таких утверждений одно является истинным.

"А или не-А" – или дело обстоит так, как говорится в утверждении А, или так, как говорится в его отрицании. Третьей возможности нет. Иногда эту идею выражают так: "третьего не дано".

Человек говорит прозой или не говорит прозой, кто-то рыдает или не рыдает, собака выполняет команду или не выполняет и т.п. – других вариантов не существует. Мы можем не знать, противоречива некоторая конкретная теория или нет, но на основе закона исключенного третьего еще до начала исследования мы вправе заявить: она или непротиворечива, или противоречива.

Этот закон с иронией обыгрывается в художественной литературе. Причина иронии понятна: сказать "Нечто или есть, или его нет", значит ровным счетом ничего не сказать. И смешно, если кто-то этого не знает.

Закон исключенного третьего устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями. Идея, выражаемая им, представляется поначалу простой и очевидной: из двух противоречащих высказываний одно является истинным.

И закон противоречия, и закон исключенного третьего были известны еще до Аристотеля. Он первым дал, однако, их ясные формулировки, подчеркнул важность этих законов для понимания мышления и бытия и вместе с тем выразил определенные сомнения в универсальной приложимости второго из них.

Резкой, но хорошо обоснованной критике подверг закон исключенного третьего голландский математик Л. Брауэр. В начале XX в. он опубликовал три статьи, в которых выразил сомнение в неограниченной приложимости законов логики, и прежде всего закона исключенного третьего. Первая из этих статей не превышала трех страниц, вторая – четырех, а вместе они не занимали и семнадцати страниц. Но впечатление, произведенное ими, было чрезвычайно сильным. Брауэр был убежден, что логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются. Возражая против закона исключенного третьего, он настаивал на том, что между утверждением и его отрицанием имеется еще третья возможность, которую нельзя исключить. Она обнаруживает себя при рассуждениях о бесконечных множествах объектов. Допустим, что утверждается существование объекта с определенным свойством. Если множество, в которое входит этот объект, конечно, то можно перебрать все объекты. Это позволит выяснить, какое из следующих двух утверждений истинно: "В данном множестве есть объект с указанным свойством" или же: "В этом множестве нет такого объекта". Закон исключенного третьего здесь справедлив. Но когда множество бесконечно, его объекты невозможно перебрать. Если в процессе перебора будет все-таки найден объект с требуемым свойством, первое из указанных утверждений подтвердится. Но если найти этот объект не удастся, ни о первом, ни о втором из утверждений нельзя ничего сказать, поскольку перебор не проведен до конца. Закон исключенного третьего здесь не действует: ни утверждение о существовании объекта с заданным свойством, ни отрицание этого утверждения не является истинным.

Ограничение Брауэром сферы действия этого закона существенно сужало круг тех способов рассуждения, которые применимы в математике. Это сразу же вызвало резкую оппозицию многих математиков, особенно старшего поколения. "Изъять из математики принцип исключенного третьего, – писал немецкий математик Д. Гильберт, – все равно что... запретить боксеру пользоваться кулаками, а астроному – телескопом". Критика Брауэром закона исключенного третьего привела к созданию нового направления в логике – интуиционистской логики. В последней не принимается данный закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны. Среди них – доказательства путем приведения к противоречию, или абсурду.

Интересно отметить, что еще до Брауэра сомнения в универсальной приложимости закона исключенного третьего высказывал русский философ и логик Н. А. Васильев.

Другие законы логики

Еще одним логическим законом, имеющим долгую, хотя и довольно спокойную историю, является закон тождества. Внешне он самый простой из всех законов. Он говорит: если высказывание истинно, то оно истинно. Или: если А, то А. Раньше его передавали в форме: А = А, что, впрочем, не вполне корректно, поскольку закон говорит не о том, что произвольно взятое высказывание равно (в каком именно смысле "равно"?) самому себе, а о том, что каждое высказывание имплицирует (влечет) само себя. К примеру: "Если трава зеленая, то она зеленая", "Если трава черная, то она черная" и т.д. Этот закон выражает идею, что каждое высказывание является и необходимым и достаточным условием своей собственной истинности.

Законы двойного отрицания позволяют снимать и вводить такое отрицание. Их можно выразить так: если неверно, что не-А, то А; если А, то неверно, что не-А. Например, "Если неверно, что Аристотель не знал закона снятия двойного отрицания, то Аристотель знал этот закон", и наоборот.

Законы контрапозиции говорят о перемене позиций высказываний с помощью отрицания: из условного высказывания "Если первое, то второе" вытекает высказывание "Если не второе, то не первое", и наоборот. Например, из "Если сверкает молния, то гремит гром" следует "Если нет грома, нет и молнии"; из "Если нет причины, нет и следствия" вытекает "Если есть следствие, есть также причина" и т.н. Контрапозиция – это, выражаясь шахматным языком, рокировка высказываний. Редкая шахматная партия обходится без рокировки, и редкое наше рассуждение проходит без использования контрапозиции.

Шерлок Холмс однажды заметил: "Отбросьте все невозможное, и то, что останется, будет ответом". Имеется в виду закон: "Или первое, или второе, или третье; но первое неверно и второе неверно; следовательно, третье".

К законам доказательства путем приведения к абсурду относится принцип, говорящий, что если из утверждения вытекает противоречие, то это утверждение ложно. Например, если из утверждения: "Треугольник имеет четыре угла" выводится как то, что у треугольника три угла, так и то, что у него не три угла. Это означает, что исходное утверждение ложно.