Математическая концепция экономического равновесия

Огромное влияние на становление современной экономической науки оказало широкое применение математических методов исследования. Работы крупных экономистов- математиков первой половины XIX в. Н. Капара, У. Уэвеля, Λ. Курно, Ж. Дюпюи, Г. Госсена заложили основы математической концепции общего экономического равновесия, которая получила развитие во второй половине XIX в. в творчестве маржиналистов-математиков Л. Вальраса, У. Джевонса, В. Парето и др.

Экономическое учение А. Курно

Крупной фигурой среди математиков-экономистов, оказавших непосредственное влияние на творчество основателя неоклассического направления А. Маршалла, был француз Антуан Огюстен Курно (1801 –1877)[1]. Его главный труд – "Исследование математических принципов теории богатства" (1838).

Теория спроса. А. Курно первым определил и изобразил графически функцию спроса как соотношение между продажами и ценами. Это позволило ему сформулировать закон: "спрос увеличивается при падении цены", т.е. D = F(p)), где D - спрос, а р – цена. Ученый утверждал, что цена определяется как полезностью товара, так и покупательной способностью. Рассматривая закономерности ценообразования в различных рыночных режимах, он поставил проблему максимизации прибыли. Так, в режиме совершенной монополии цена определяется максимумом прибыли монополиста. Функции дохода сопоставляются с функциями совокупных и предельных издержек для доказательства максимизации доходов в случае, если монополист производит такой объем продукции, при котором отдельные издержки равны предельному доходу. Анализ максимизации прибыли А. Курно нашел применение в "Принципах" А. Маршалла. В целом его математические доказательства подкрепляли доктрину laissez faire, снимая проблему анализа социальных отношений в сфере производства.

Теории чистой монополии и дуополии. А. Курно заложил не только основы теории чистой монополии, но и теории дуополии. Согласно ей конкуренция основана на том, что покупатели назначают цены, а продавцы приспосабливают объем выпускаемой ими продукции к назначенным ценам. При этом один из дуополистов самостоятельно оценивает функцию спроса па продукцию и устанавливает ее объем, предназначенный к продаже, при условии, что объем продукции, выпускаемой конкурентом, остается неизменным. Эта модель была подвергнута критике, поскольку предположение А. Курно о постоянном отсутствии реакций дуополистов на поведение друг друга неверно.

Теория ценообразования. Наряду с теорией чистой монополии и дуополии А. Курно рассматривал проблему ценообразования на рынке совершенной конкуренции. С применением математического анализа он доказывал, что дуополиста в конечном счете приходят к равновесной цене, которая, в свою очередь, будет ниже, чем цена, устанавливаемая при монопольном режиме, но выше, нежели цена при режиме совершенной конкуренции. Данный вывод сообразуется с утверждением ученого о том, что на монопольном рынке производится самый низкий объем продукции, тогда как самый большой объем – при режиме совершенной конкуренции, а промежуточный – на рынке дуополии.

Экономическое учение У. Джевонса

Одним из первых маржиналистов-математиков был английский логик, статистик и экономист Уильям Стэнли Джевонс (1835–1882)[2]. Его основной труд "Теория политической экономии" вышел позже книги Г. Госсена, но У. Джевонс не был знаком с последним. Это дает основание думать о независимом характере созданных ими концепций, в основание которых были положены гедонистический Г. Госсена и физиологический У. Джевонса принципы.

Закон убывающей полезности и теория обмена. У. Джевонс сформулировал закон убывающей полезности, который гласит, что сила реакции на раздражитель снижается при каждом очередном его воздействии в течение определенного промежутка времени. С этих позиций ученый рассматривал феномен обмена и пришел к выводу, что в состоянии равновесия отношения приращений потребляемых товаров должны равняться соответствующим отношениям интенсивности потребностей, удовлетворяемых в последнюю очередь, а соотношение, в котором обмениваются два товара, должно быть обратно пропорционально предельным степеням полезности.

Чем выше значимость, приписываемая благу, тем меньшее его количество каждый из субъектов желает обменять на что-либо другое. Предельная полезность обратна количеству имеющихся благ и, следовательно, количеству благ, уступаемых при обмене. Очевидно, что подобная концепция двусторонней, двутоварной, бартерной торговли не могла быть пригодной в условиях конкурентного обмена. Видимо, осознавая слабость собственной концепции обмена, У. Джевонс признал, что в действительности обмен доставляет максимум выгоды, поскольку это "совместимо с неравенством богатства в каждом обществе", т.е. он предположил наличие заданности распределения дохода, а следовательно, и заданности максимума прибыли в реальном хозяйственном процессе.

Теория предложения труда. Что касается теории предложения труда У. Джевонса, то ее справедливо рассматривают как крупный вклад в неоклассику. Согласно ей человеческие усилия обладают положительной ценностью. Труд будет необходим до тех пор, пока индивидуум ощущает превышение удовлетворенности над неудовлетворенностью. У. Джевонс предполагал, что тяготы труда с увеличением продолжительности напряжения сначала снижаются, затем растут, в то время как предельная полезность продукта, производимого трудом, монотонно убывает. На основании этих предположений был построен график, представленный на рис. 8.1.

На графике верхняя кривая показывает убывающую предельную полезность продукта при условии, что приращение продукта происходит благодаря исключительно дополнительному количеству труда на единицу продукта. Нижняя кривая показывает тяготы труда на единицу продукта. В случае, когда ab = be, полезность продукта равна тяготам труда, требуемого для его производства, отсюда количество труда, которое будет предлагаться в состоянии равновесия, выражается 0b единицами продукта.

Рис. 8.1. Установление равновесия на рынке труда: 1 – предельная полезность продукта; 2 – тяготы труда на единицу продукта

Несмотря на очевидное несовершенство модели, не учитывающей действительные условия производства и реальное положение на рынке труда, она явилась исходным условием для более поздних выводов о том, что если тяготы труда непосредственно и не влияют на объем его предложения, то оказывают воздействие на выбор рода деятельности и на размер заработной платы и тем самым на относительные цены. У. Джевонс пришел к выводу относительно условия равновесия распределения труда и соотношений обмена: предельные полезности обмениваемых продуктов соотносятся так же, как значения предельной производительности труда, затраченного на их производство, или их предельные издержки.

Среди прочих достижений У. Джевонса можно выделить концепцию индексов цен, вскрывающую зависимость между циклами солнечных пятен и экономической конъюнктурой, а также оригинальную теорию капитала.

Экономическое учение Л. Вальраса

Поиски решения проблемы общего экономического равновесия были продолжены профессором Лозаннского университета Леоном Вальрасом (1834–1910)[3]. В главном труде ученого "Элементы чистой политической экономии, или Теория общественного богатства" (1874) впервые в истории экономической науки была решена задача формализации условий равновесия на основе синтеза маржиналистских представлений о полезности, теории спроса и предложения и математических методов. Л. Вальрас попытался ответить на ряд важнейших вопросов: обязательно ли равновесие на рынках потребительских товаров соответствует равновесию на рынках факторов производства; может или нет гарантировать рынок достижение общего равновесия; имеется ли единственное равновесное состояние для множества рынков и какова его устойчивость в этом случае.

Теория спроса и предложения. Подход Л. Вальраса оказался иным, чем у его предшественников, которые, рассматривая взаимодействие спроса и предложения, полагали, что цены на потребительские товары и факторы производства определяются неодновременно. Он разделил всех субъектов производства на две группы: владельцев факторов (земли, труда и капитала) и предпринимателей. В результате проведенного анализа оказалось, что владельцы факторов производства являются продавцами указанных факторов и одновременно покупателями предметов потребления. Предприниматели, напротив, являются покупателями производственных факторов и продавцами потребительских товаров. Действительно, при данных объемах предложения факторов производства и фиксированных коэффициентах затрат цены факторов производства остаются неопределенными до тех пор, пока фирмы не решат, какой объем продукции они произведут. Однако для принятия данного решения требуется знание цен на производимые продукты, которые, в свою очередь, остаются неизвестными до тех пор, пока хозяйства не получат доход от продажи факторов по определенным ценам. Отсюда следовал вывод об одновременном определении цены на потребительские товары и факторы производства. В результате экономическая система стала рассматриваться как единое целое.

Теория общего равновесия. Состояние равновесия, которое Л. Вальрас признал в принципе, характеризуется тремя условиями: "...во-первых, действительные спрос и предложение производительных услуг (т.е. факторов производства – труда, земли и капитала) равны и существует устойчивая постоянная цена на рынке этих услуг; во-вторых, действительные спрос и предложение продуктов равны и существует постоянная и устойчивая цена на рынке продуктов, и, наконец, продажная цена продуктов равна издержкам, выраженным в производительных услугах. Два первых условия относятся к равновесию обмена, третье – к равновесию производства"[4].

Замкнутая математическая система Л. Вальраса для доказательства концепции общего равновесия весьма громоздка в изложении, поэтому можно рассмотреть более сжатый вариант, предложенный шведским ученым Карлом Густавом Касселем (1866–1945).

Допустим, что цены на рынках потребительских товаров и на рынках факторов производства определяются в результат товаров, отражают участие каждого фактора производства в издержках, образующих цену единицы товара. При наличии r различных факторов производства и п различных потребительских товаров пусть – цены различных потребительских продуктов, а – цены факторов производства. Обозначим все коэффициенты производства через а с двумя индексами. Первый индекс указывает соответствующий товар, второй – фактор производства, затрачиваемый на изготовление данного товара. Получаем систему уравнений, определяющих цены потребительских товаров как сумму издержек производства:

На основании этой системы линейных уравнений, если известны цены производительных благ q1, q2, ..., qr (коэффициенты уже заданы уровнем развития технологии), можно определить цены производимых потребительских товаров. Зная их, также легко определить спрос на соответствующие товары, поскольку он может рассматриваться как функция, где независимыми переменными выступают цены п товаров, т.е. спрос зависит не только от цены конкретного товара, но и от всей структуры цен:

Рыночное равновесие предполагает равенство спроса и предложения. Обозначив предложение товаров через , а спрос – через , получим п новых уравнений .

На основании размеров предложения потребительских товаров и коэффициентов производства можно определить величину спроса на факторы производства. Для r факторов производства получаем систему из r уравнений:

Полученная система уравнений позволяет определить все неизвестные.

Следует добавить, что при построениях Л. Вальрас так и не отказался от заданных функций предельной полезности и, следовательно, от заданных изначально количеств товаров и услуг, имеющихся на рынке. Кроме того, до выхода в свет третьего издания труда "Элементы чистой политической экономии, или Теория общественного богатства" в 1896 г. технические коэффициенты производства принимались за постоянные. В третьем издании Л. Вальрас отказался от использования постоянных коэффициентов затрат и принял общую теорию распределения на основе предельной производительности. Допуская предположение о постоянной отдаче при условии, что все фирмы имеют идентичные функции издержек, его математическое доказательство о возможности общего экономического равновесия почти ничего не объясняло в экономическом поведении. Это было симптомом того, что традиционная экономическая теория, по выражению П. Самуэльсона, практически исчерпала себя.

Наряду с обоснованием возможности общего равновесия Л. Вальрас дал анализ устойчивости равновесия. В этом он продвинулся несколько дальше своего великого современника А. Маршалла и рассмотрел устойчивость нс только на одном рынке, но и на нескольких. Анализ устойчивости Л. Вальраса основан на предположении, что цены движутся к равновесию и что изменение цен зависит от величины избыточного спроса. Условие устойчивости состоит в том, что избыточный спрос в точке равновесия равен нулю. Вообще же избыточный спрос всегда ведет к росту цены, и наоборот.

Проблема детерминированности равновесия была решена Л. Вальрасом методом "нащупывания". При этом ставилась задача доказать, что относительные цены, возникающие в процессе свободной конкуренции, равны корням вальрасовой системы уравнений, где неизвестными являются равновесные цены и обмениваемые количества.

Он считал, что рынок приходит к требуемому результату путем проб и ошибок. Но в процессе анализа проблемы, ученый исключил из теории обмена неравновесные сделки ("неверные цены"), полагая, что торговля по ним будет приостанавливаться до тех нор, пока не определится новая цена равновесия. Однако следует отметить, что данная проблема остается не решенной до конца и по сей день.

Весьма точную оценку творчеству Л. Вальраса дал Й. Шумпетер, назвав его главный труд предисловием или великой хартией современной экономической теории.

Экономическое учение В. Парето

Последователь и преемник Л. Вальраса по кафедре экономической теории Лозаннского университета Вильфредо Парето (1848–1923)[5] решительно отошел от традиционной практики исследования. В "Учебнике политической экономии" (1906) он отказался от понятия ценности и полезности, отказался от причинно-следственного (каузального) метода анализа в пользу функционального, заменив логический метод на математический. В связи с этим В. Парето заменил количественное понятие субъективной полезности на субъективное порядковое предпочтение. Подобные замены количественных характеристик были использованы и при анализе издержек производства. Это позволило ему сделать анализ, более объективным и освободиться от индивидуальных особенностей экономических субъектов.

Теория общего равновесия. В. Парето пришел к выводу, что общее равновесие достижимо при условиях, когда взвешенные (по ценам) предпочтения равны для всех товаров; для всякого индивидуума сумма доходов равна сумме расходов; количество всех благ до установления равновесия и после такового равно; цены готовых товаров равны издержкам производства; запас производительных благ является величиной заданной и используется полностью.

Отказавшись от межличностных сравнений и применяя данную концепцию равновесия, в частности, к теории благосостояния, В. Парето пришел к выводу, что единственными изменениями, которые могут оцениваться, являются те, которые делают всем либо лучше, либо хуже, или те, которые делают лучше но крайней мере одному человеку, нс делая хуже другому. Улучшение чьего-либо благосостояния за счет кого-то другого не может оцениваться в количественных единицах полезности.

Оптимум Парето. Исследуя проблему устойчивости равновесия, Парето сформулировал его условие, получившее название оптимум Парето. Равновесие характеризовалось ученым как состояние, при котором было бы невозможно улучшить положение кого-либо из субъектов обмена без того, чтобы не ухудшить положение хотя бы одного из остальных. Чтобы избежать необходимости учитывать межличностные сравнения полезности, В. Парето отказался от оценки всех других изменений в благосостоянии. Вследствие этого в его теории отсутствует категория единственного общественного оптимума, а вместо этого предполагается бесконечное количество несопоставимых оптимумов.