Логические отношения между сложными суждениями

Сложные суждения могут быть сравнимыми и несравнимыми.

Несравнимыми являются суждения, которые не имеют общих составляющих (пропозициональных) переменных.

Например: р ∩ q и т ∩ п.

Сравнимыми являются суждения, которые имеют одинаковые составляющие (пропозициональные) переменные и различаются логическими связками, включая отрицание.

Например, сравнимыми являются следующие два суждения: "Украина или Болгария имеют выход в Черное море" (pUq); "Ни Украина, ни Болгария не имеют выхода в Черное морс" (┐р ∩ ┐q)•

Сложные сравнимые суждения могут быть совместимыми и несовместимыми.

I. Совместимыми являются такие сравнимые суждения, которые одновременно могут быть истинными. Различают три вида совместимости сложных суждений: эквивалентность, частичная совместимость и подчинение.

1. Эквивалентные – это суждения, которые принимают одни и те же значения, т.е. одновременно являются либо истинными, либо ложными.

Отношение эквивалентности позволяет выражать одни сложные суждения через другие – конъюнкцию через дизъюнкцию или импликацию, и наоборот:

– выражение конъюнкции через дизъюнкцию: ┐(p∩q)↔┐pU┐q;

– выражение дизъюнкции через конъюнкцию: ┐(pUq)↔∩p∩┐q;

– выражение импликации через конъюнкцию: ┐(р→q)↔p∩┐q;

– выражение импликации через дизъюнкцию: ┐(р→q)↔┐pUq.

2. Частичная совместимость характерна для суждений, которые могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.

3. Подчинение между суждениями имеет место в том случае, когда при истинности подчиняющего подчиненное всегда будет истинным.

Отношение логического подчинения, позволяющее по истинности подчиняющего суждения определить истинность подчиненного, составляет основу фундаментального в логике отношения логического следования, регулирующего все виды рассуждений.

Отношения между сложными совместимыми суждениями представлены на рис. 5.12. Зачеркнутая строка означает, что оба суждения не могут принимать данные значения одновременно.

Рис. 5.12

II. Несовместимыми являются суждения, которые одновременно не могут быть истинными. Из двух видов несовместимости одна – противоположность, другая – противоречие.

1. Противоположность – отношение между суждениями, которые одновременно не могут быть истинными, но могут быть одновременно ложными. При ложности одного из противоположных суждений нельзя однозначно установить значение другого: оно может быть как истинным, так и ложным.

2. Противоречие – отношение между суждениями, которые одновременно не могут быть ни истинными, пи ложными. При истинности одного из них другое будет ложным, а при ложности первого второе будет истинным.

Чтобы получить сложное суждение, противоречащее исходному, последнее нужно подвергнуть отрицанию. Например, для q противоречащим будет ┐q; для конъюнкции p∩q противоречием будет ее отрицание ┐(p∩q)•

Отношения между сложными несовместимыми суждениями могут быть представлены на рис. 5.13. Зачеркнутая строка означает, что оба суждения не могут принимать данные значения одновременно.

Кроме пяти рассмотренных отношений, можно говорить о независимости суждений. Суждения независимы, если они совместимы по истинности и ложности и при этом ни одно из них не следует из другого, т.е. если они могут иметь все четыре сочетания своих истинностных значений.

Рис. 5.13

Отношения независимости представлены на рис. 5.14.

Рис. 5.14

– знак отношения независимости.