Лекция 5. Квантовая механика
Основная цель данной главы состоит в обеспечении понимания студентом концептуального устройства квантовой механики. В результате изучения материала данной главы студент должен:
знать
• основные концепты квантовой механики;
• основные интерпретации квантовой механики;
уметь
• давать адекватную характеристику принципам суперпозиции, дополнительности, относительности к средствам наблюдения, понятиям волновой функции, неопределенности;
• давать динамическое истолкование квантово-механических феноменов;
владеть
• концептуальным осмыслением актуальных проблем квантовой механики, в частности парадоксов;
• способом упорядочения различных интерпретаций квантовой механики.
Ключевые слова: принцип суперпозиции, волновая функция, когеренция, относительность к средствам наблюдения.
Концепты квантовой механики
На первый взгляд, научная теория представляется незамысловатым устройством. Есть признаки, они объединены в законы, среди которых есть главные, называемые принципами. Вращение в этом концептуальном каркасе и есть наука. Но если наука столь просто устроена, то почему же она многим недоступна, а от ее знатоков требует постоянного напряжения умственных сил? Дело в том, что наука не сводится к незатейливым концептам. По большей части они имеют довольно замысловатый характер. С этой точки зрения квантовая механика представляет особый интерес.
Парадоксы науки
Пожалуй, именно квантовая механика в известном смысле является концептуальным чемпионом. Ее новации оказались чрезвычайно неожиданными. Возьмем на себя смелость утверждать, что в истории науки в первую очередь именно квантовая механика явила собой пример ярчайшего концептуального скачка. Извлечение из него соответствующих уроков полезно не только физику, но всякому человеку, обладающему научным энтузиазмом.
Квантовая механика как теория микроявлений была создана в первой четверти XX в. В 1900 г. М. Планк ввел представление об излучении энергии квантами. Э. Резерфорд (1911) и Н. Бор (1913) представили модель устройства атомов. В эти годы многие плодотворные квантово-механические идеи были разработаны Н. Бором. В 1925 г. В. Гейзенберг и Э. Шрёдингер записали уравнения, выражавшие законы квантовой механики. Для создания квантовой механики понадобилось всего-то 25 лет! Воплощенные в ней концептуальные достижения как раз и являются предметом первостепенного интереса.
Ради последующего полезно ознакомиться со спецификой квантово-механических процессов. В этой связи заслуживает внимания методический прием Ричарда Фейнмана[1]. Он рассматривал результаты экспериментов с рассеянием соответственно пуль, морских волн и электронов на двух щелях пластины. На экране, который стоит за пластиной, фиксируется попадание в него указанных физических объектов. В случае пуль их распределение оказывается вероятностным, но не интерференционным. В случае волн на воде наблюдается интерференция волн, но нет вероятностного распределения. Наконец, электроны и фотоны похожи как на пули, так и на волны на воде, но вместе с тем резко отличаются от них. На пули они похожи постольку, поскольку в каждой точке экрана фиксируется число попаданий частиц, т.е. интенсивность потока. На волны на воде квантовые частицы похожи в силу реализации как теми, так и другими интерференционной картины, свидетельствующей о когерентности потоков, исходящих от различных щелей. Но интерференционные картины, характерные для соответственно волн и квантовых частиц, существенно разнятся друг от друга. В первом случае в областях интерференционной картины суммируются высоты волн, а не их интенсивности, равные квадратам высот. Во втором случае складываются интенсивности.
Для описания движения пуль не требуется уравнение волны. Каждая из них движется по прямой линии как до щели, так и после рассеяния на ней. В случае же волн на воде и движения квантовых частиц без уравнения волны уже не обойтись.
Пикантная особенность квантовых процессов состоит в том, что по волновому закону изменяется не вероятность, а амплитуда вероятности (ψ). Уравнение изменения амплитуды вероятности свободной частицы принимает вид:
(5.1)
где 
; 
– фаза волновой функции; е – основание натуральных логарифмов.
Мнимое число i является в данном случае свидетельством волнового процесса, постоянная Планка h указывает на квантовую дискретность.
Еще одно нетривиальное обстоятельство состоит в том, что в квантовых процессах специфическим образом приходится учитывать все возможности, имеющиеся в той или иной ситуации. Поясню сказанное таким примером. Допустим, что пластинка обладает п > 2 щелями. Даже если экспериментатор будет пытаться направлять частицы исключительно по направлению определенным образом избранных щелей, тем не менее придется сопоставить каждой щели свою волновую функцию. Это обстоятельство фиксируется принципом суперпозиции:
(5.2)
где 
– произвольные числа, выбор которых определяется лишь условием нормировки амплитуды вероятности.
Члены этого уравнения складываются по правилу векторов. В этой связи волновую функцию называют вектором состояния. В данном случае не имеется в виду, что квантовая частица движется в каком-то направлении. Речь идет о том, что для выражения физического принципа суперпозиции, т.е. наложения волн, необходима векторная алгебра. Ее аппарат, используемый в качестве средства физико-математического моделирования, позволяет выразить важные черты квантовых процессов.
Оперируя волновой функцией фазы ф, физикам удалось выяснить, что фаза непременно является функцией вполне определенных физических параметров. Волновую функцию для, например, свободной частицы, движущейся по оси х, представляет выражение:
(5.3)
где Е – энергия; t – время; 
– импульс в направлении оси х, х – координата.
Фаза 
выражается формулой
(5.4)
Формула (5.4) далека от тривиальности. Уже в классической физике была выяснена сопряженность отдельных параметров друг с другом. Своеобразные пары образуют энергия и время, импульс и координата, момент импульса и угловые размеры. Формула (5.4) существенно расширяет сведения о взаимосвязи физических параметров. Оказывается, их связь, а она для каждой ситуации является вполне определенной, определяет вероятность процессов. Концепт вероятности пронизывает собой все устройство квантовой механики. Он актуален не только для каждого параметра по отдельности, но и для их совокупностей.
Что касается амплитуды А, то она определяется на основании требования нормировки, согласно которому:
(5.5)
Его физический смысл состоит в том, что частица может проявиться в избранном для рассмотрения объеме.
Продолжим описание концептуальных оснований квантовой механики. К любой теории предъявляется требование концептуального оправдания измерений. Квантовая механика не является в этом отношении исключением. Измерение вероятностей предполагает некоторую статистику, которая позволяет вычислить среднее значение той или величины[2]. По правилам векторной алгебры среднее значение любой физической величины <F>, являющейся функцией некоторых операторов, находится по формуле:
(5.6)
Для нахождения среднего значения какого-либо параметра в формулу (5.6) необходимо подставить ее оператор. Запишем операторы (выражения с "крышечками") соответственно координаты х и импульса р по оси х:
(5.7)
Среднее квадратичное отклонение параметра А от математического ожидания обращается в нуль, если выполняется уравнение:
(5.8)
При этом ψ называется собственной функцией оператора 
, а а – его собственным значением. Знаменитое уравнение Шрёдингера (5.9) получают, написав уравнение (5.8) для оператора полной энергии 
:
(5.9)
Уравнение (5.8) поражает своим высоким информационным ОГЛАВЛЕНИЕм, заключенным в необычайно лаконичную формулу. Налицо необычайный триумф физиков.
Отмечу также, что если два оператора не коммутируют друг с другом, т.е. 
, то соответствующие им величины связаны друг с другом соотношениями неопределенностей. Одним из таких соотношений является формула Гейзенберга:
(5.10)
Из рассматриваемого уравнения следует, что при одновременном измерении х и рх им непременно присущи неопределенности. В случае если процесс измерения позволяет уменьшить неопределенность одной из двух величин, возрастает неопределенность другой.
Автор представил концептуальное ОГЛАВЛЕНИЕ квантовой механики в максимально простом виде. Интересующие читателя подробности он обнаружит в соответствующих руководствах, например, в "Физической энциклопедии". Основной закон квантовой механики выражается уравнением 
Выводы
1. Концептуальное ОГЛАВЛЕНИЕ квантовой механики крайне необычно.
2. Главнейшими концептами квантовой механики являются понятия принципа суперпозиции и волновой функции.