Языки логики высказываний и логики предикатов

Прежде чем приступить к описанию специальных языков, используемых в процессе логического анализа, важно указать на некоторые особенности этих языков по сравнению с естественными языками. Все логические языки предназначены для определенных целей. Комплексное изучение языка осуществляется общей теорией знаковых систем – семиотикой, которая анализирует язык в трех аспектах: синтаксическом, семантическом и прагматическом.

Языки, используемые в логике, как правило называют символическими, поскольку в них используется определенная символика. Например, применяется особая символика для обозначения логических связок, а также операций, предметов, свойств и отношений.

Использование символов способствует сокращению записи высказываний, что облегчает понимание смысла соответствующих высказываний.

Отличительная особенность языков логики предикатов и логики высказываний – их экстенсиональный признак, суть которого заключается в следующем: для языка логики предикатов – предметные значения его термов (аналогов имен естественного языка) зависят лишь от предметных значений их составляющих, а истинностные значения сложных формул – от истинностных значений составляющих этих формул.

Аналогично обстоит дело и с языком логики высказываний.

Таким образом, формализованные языки служат средством выделения различных типов отношений вещей и представляют собой логические содержания высказываний, а также определяют формы правильных рассуждений в процессах познания.

Язык логики высказываний

Логика изучает не только естественный язык, которым люди пользуются в процессе повседневного общения, но также создает искусственные, специальные языки логики.

Для решения различных задач логики было выработано несколько специальных искусственных языков. Одним из наиболее широко распространенных считается язык логики высказываний.

Логика высказываний – это раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из так называемых элементарных, не разлагаемых на части и не анализируемых высказываний с помощью логических операций конъюнкции, дизъюнкции, импликации, отрицания и т.д.

Конъюнкция – это логическая операция, отражающая употребление союза "и" в логических выводах.

Дизъюнкция – операция, представляющая употребление союза "или".

Импликация – операция, которой в естественном языке соответствует связка "если... то".

Как и в естественных языках, в этом языке есть алфавит, а также сложные выражения. Алфавит языка логики высказываний составляют следующие символы:

1) р, q, r, s, ... – пропозициональные переменные, символы для повествовательных предложений, выражающих суждения. Каждый символ соответствует целому предложению;

2) логические термины:

┐ – отрицание ("не", "неверно, что");

∩, & – конъюнкция ("и") (в последнее время для обозначения конъюнкции все чаще используется знак &);

U – дизъюнкция (если "или" употребляется в соединительно-разделительном смысле);

U – строгая дизъюнкция (если "или" употребляется только в разделительном смысле);

→ – импликация ("если... то...");

↔, ≡ – эквиваленция ("если и только если...");

(...) – скобки;

, – запятая;

3) определенные типы знаков составляют модальности:

□ – "необходимо, что...";

◊ – "возможно, что...";

Ñ – "случайно, что...".

Выражения в языке логики высказываний являются формулами. Так, формулы первого уровня – это элементарные формулы, к которым применена только одна логическая связка, например: р U q; р ∩ q; р ↔ q.

Более сложные формулы строят, присоединяя высказывания при помощи логических связок к уже имеющимся формулам. Процесс построения сложного высказывания из простых регулируется скобками, означающими порядок применения связок, например (┐p) ∩ q. В случае если сложное высказывание содержит много формул, которые требуется выделять скобками, используют правило старшинства логических связок: сильнее всех является связка ┐, за ней идут &, U, U, ≡• Если формула записана в виде р U q & s, то q & s было построено раньше, а затем соединено с р младшей связкой U .

Перечисление исходных символов и правил образования формул составляет синтаксис языка. Операция приписывания определенных значений выражениям языка называется интерпретацией. Существование интерпретации определяет семантику языка.

Интерпретация включает в себя два этапа:

1) пропозициональным знакам в качестве предметных значений приписываются объекты из множества истинностных значений (и – истина; л – ложь). При этом каждому пропозициональному знаку в случае интерпретации приписывается лишь одно из названных значений;

2) формулы, образованные с использованием логических констант, получают следующие истинностные значения:

(А & В) истинно, если и только если A – истинно и В – истинно;

(A U В) истинно, если и только если А – истинно или В – истинно;

(AÉB) истинно, если и только если А – ложно или В – истинно;

┐А – истинно, если и только если А – ложно.

Полностью интерпретированная формула (получаемая в результате приписывания истинностных значений пропозициональным переменным) – это некоторое высказывание нашего языка.

Завершив построение языка логики высказываний, поясним, каким образом в нем выражается логическая форма естественного языка.

Пусть необходимо записать на языке логики высказываний логическую форму сложного высказывания: "Если студент говорит, что он не любит логику, то это значит, что он либо получил неудовлетворительную оценку на экзамене по данной дисциплине, либо не понимает ее значения в практической и научной деятельности".

Выявим вначале все простые высказывания – их три: обозначим каждое каким-нибудь пропозициональным символом (причем одинаковые по содержанию высказывания обозначим одним и тем же символом, а разные различными). Затем определим, какими связками они связаны, а при наличии нескольких связок установим, что связывает теснее, и отразим это скобками.

В данное высказывание входят следующие простые высказывания:

– "Студент говорит, что он не любит логику" – обозначим р.

– "Он получил неудовлетворительную оценку на экзамене по данной дисциплине" – q.

– "Он не понимает ее значения в практической и научной деятельности" – r.

Далее выделяем логические константы, посредством которых простые высказывания соединяются в сложные ("если..., то", "либо").

Составляем формулу

(p É (q U r)).