Использование представлений теории нечетких множеств

Одной из трудно решаемых проблем планирования любой будущей деятельности, в том числе и финансового анализа инвестиционных проектов, является неопределенность исходных данных. Учет неопределенности, как уже неоднократно отмечалось ранее, в рамках традиционных теоретико-вероятностных методов зачастую невозможен из-за отсутствия объективной информации о вероятностях будущих событий. Осознание исследователями ограниченности теории вероятностей привело к разработке теории нечетких множеств и ее применению для получения адекватно четких оценок финансовых параметров инвестиционных проектов при нечетко заданных исходных данных. Разработанная методика нечетко-интервальной оценки и многокритериальной оптимизации финансовых параметров инвестиций позволяет с большей полнотой, чем традиционные методы, использовать априорную информацию о будущих потоках платежей и процентных ставках с учетом ее неопределенности. Задача оптимизации формулируется как компромисс между конкурирующими частными критериями, характеризующими доходность и финансовый риск инвестиций.

Новый подход к описанию бизнес-процессов, в которых присутствует неопределенность, базируется на математической теории нечетких множеств и нечеткой логике, которые являются обобщениями классической теории множеств (Fuzzy Sets) и классической формальной логики (Fuzzy Logic).

Теория нечетких множеств ведет свое начало с 1965 г., когда профессор Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) из университета Беркли опубликовал основополагающую работу Fuzzy Sets в журнале Information and Control.

Основные этапы формирования:

1. Этап формирования основных теоретических постулатов (1965 г. – начало 1980-х гг.):

• Zadeh L. А. (1965, 1973);

• Dubois D., Prade В. (1979, 1980) – операции над нечеткими числами.

2. Этап практических разработок в различных областях жизни, основанных па нечеткой логике; рождение нового научного направления в рамках нечеткой логики Fuzzy Economics (1973 г. – начало 1990-х гг.);

• Buckley J. (1987, 1992) – "Решение нечетких уравнений в экономике и финансах" и "Нечеткая математика в финансах"^[1];

• Kosko Bart (1993) – доказана основополагающая FAT- теорема (Fuzzy Approximation Theorem), подтвердившая полноту нечеткой логики;

• многие другие.

3. Этап массового использования продукции, в основе работы которых лежит нечеткая логика (1995 г. – наше время):

• 48 японских компаний образовали совместную лабораторию LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering – Международная лаборатория разработок, основанных на нечеткой логике);

• огромный вклад в развитие направления Fuzzy Logic в России в последние годы внесли А. О. Недосекин, К . И. Воронов, О. Б. Максимов, Г. С. Павлов, С. Н Фролов^[2].

Особенности метода – введение лингвистических переменных (субъективных категорий).

Лингвистические переменные – переменные, которые нельзя описать с помощью математического языка, т.е. им сложно придать точную (объективную) количественную оценку. Например, понятия "малый" и "средний" (говоря о бизнесе), "высокая" или "низкая" (о процентной ставке) не имеют четкой границы и не могут быть представлены точным математическим описанием.

Согласно Л. Заде лингвистической переменной называется такая переменная, значениями которой являются слова или предложения естественного языка.

В литературе нечетких множеств лингвистические переменные также называют терм-множествами (от англ, term – называть)^[3].

Пример 1

Часто для получения интегральной оценки риска недостаточно только значений изменения цены, спроса и других количественных переменных. Необходимо также учитывать и многие качественные переменные, как например сила конкурентов, грамотность менеджмента, погодные условия (особо актуально для строительных проектов). Так, для получения численной оценки лингвистической переменной "условия для проведения строительных работ" зададим интервал значений оценки от 0 до 10, где 0 – самые суровые условия, мешающие процессу проведения работ. На основе здравого смысла и экспертных оценок, можно утверждать, что если работы планируется вести в жилой зоне (где повешенные риски) и в условиях отсутствия подготовительных работ, то оценка будет колебаться от 0 до 3 баллов, что означает суровые условия строительных работ. Если же строить здание планируется на уже подготовленной к работе площадке, в условиях сухой местности и вдали от жилых домов, то оценки переменной будут принимать значения от 7 до 10 баллов, что означает благоприятные условия строительных работ. Переменная примет значения в интервале от 3 до 7 баллов, если погодным условиям будут присущи как способствующие, так и препятствующие строительству характеристики. Данные баллы присваиваются либо оценщиками, либо группой экспертов, непосредственно привлекаемых к процессу анализа инвестиционного проекта.

Пример 2

Еще одним примером оценки лингвистической переменной может служить нечеткость границы переменной "низкая процентная ставка". Какая ставка процента по кредиту считается низкой? Ответ на этот вопрос следует искать путем его постановки для множества экспертов. Так, основываясь на здравой логике, могут быть получены ответы, например, что ставка по кредиту менее 7% – низкая, от 8 до 15% – средняя, а от 16% и выше – высокая. Следовательно, границы между этими представлениями – нечеткие, размытые, и понятие "низкая стоимость кредита" является субъективной оценкой.

Основные понятия и определения^[4]

Нечеткое подмножество А универсального множества U характеризуется функцией принадлежности µA: U→[0, 1], которая ставит в соответствие каждому элементу uÎU число µA(u) из отрезка [0,1], характеризующее степень принадлежности элемента и подмножеству А.

Обычные множества являются частными случаями нечетких – для них μА(и) = 1 (если uÎА) или µA(u) = 0 (если uÏА).

На основе вышеприведенного определения функции принадлежности можно сформулировать определение расплывчатого (нечеткого) множества как класса объектов, в котором нет резкой границы между теми объектами, которые входят в этот класс, и теми, которые в него не входят.

Пусть X = {х} – совокупность объектов (точек), обозначаемых через х. Тогда расплывчатое множество А в X есть совокупность упорядоченных пар

где µA(x) представляет собой степень принадлежности х к А, а µA: Х→М – функция, отображающая X в пространство М, называемое пространством принадлежности.

Таким образом, основное предположение состоит в том, что расплывчатое множество А, несмотря на нечеткость его границ, может быть точно определено путем сопоставления каждому объекту х числа, лежащего между 0 и 1, которое представляет степень его принадлежности к А.

Если А и В являются обычными множествами, т.е. их функции принадлежности принимают только значения 0 и 1, то это определение приводит к обычным понятиям пересечения, объединения и отрицания множеств. Вместо одного понятия "пересечение" в теории нечетких множеств рассматриваются два – "пересечение" и "произведение", а вместо объединения – также два: "объединение" и "сумма".

Некоторые из обычных свойств операций над множествами сохраняются и в теории нечетких множеств, другие же нет.

Сказанного достаточно, чтобы констатировать, что понятие нечеткого множества является нетривиальным обобщением понятия множества. Вместе с тем видны и некоторые недостатки рассматриваемого аппарата. Так, почти невозможно учитывать зависимость реалий, моделируемых нечеткими множествами, – в качестве "общей части" можно использовать либо пересечение, либо произведение, в то время как видов зависимостей явно больше, чем два.

Также можно привести "принцип обобщения" для нечетких множеств. Пусть А – нечеткое подмножество U с функцией принадлежности µA(u), uÎU. Пусть f – отображение из U в V. Тогда нечеткое подмножество f(А) универсального множества V определяется формулой

Принцип обобщения позволяет рассматривать функции от нечетких переменных, в частности изучать устойчивость моделей в контексте детерминированного и стохастического подходов.

В силу неопределенности реальных явлений вместо исходных данных х имеем нечеткое подмножество х' с функцией принадлежности μx•(y), уÎХ. В соответствии с принципом обобщения решение представляется нечетким множеством f(x) в У. Можно ввести ряд показателей устойчивости. Так, потери характеризуются нечетким множеством Р (f(x), f(x')). Чтобы характеризовать потери одним числом, необходимо ввести в Y множества уровня α:

где 0 ≤ у ≤ 1. В качестве показателя устойчивости можно использовать диаметр Yα при некотором α:

Пусть Р – вероятностная мера в Rn. Расплывчатое событие А в Rn определяется как расплывчатое подмножество А пространства Rn, функция принадлежности которого, μΑ, измерима. Вероятность события А задается интегралом следующего вида:

Иначе говоря, Р(А) = ΕμA, где Е – оператор математического ожидания. В случае нормального нерасплывчатого множества данное выражение сводится к общепринятому определению вероятности случайного события.