Экстраполяционные методы прогнозирования

Одним из основных методов экономического прогнозирования служит экстраполяция.

• Экстраполяция – это распространение результатов, полученных из наблюдений над одной частью процесса, на другую его часть. Если процесс представлен временны́м рядом, то под экстраполяцией, как правило, понимают продление на будущее основной тенденции процесса, наблюдавшейся в прошлом.

Методы экстраполяции используют для прогнозирования в тех случаях, когда процесс является устойчивым и его внутренние детерминирующие свойства в значительной степени определяют его развитие и трудно определить факторы, оказывающие существенное воздействие на прогнозируемый процесс. Развитие таких процессов связывают со временем, предполагая, что наблюдавшаяся в них в прошлом основная тенденция, существенно не изменится в прогнозируемом периоде.

Процедура прогнозирования в данном случае сводится к подбору функции наилучшей плавной кривой роста, определению параметров функции этой кривой, оценке точности и адекватности выбранной функции и расчету с использованием выбранной функции прогнозных значений на заданную перспективу.

Наиболее часто в практической работе применяются кривые роста, позволяющие описывать процессы трех основных типов: без предела роста, с пределом роста, с пределом роста и точкой перегиба. Для описания процессов без предела роста служат функции: прямая (полином первой степени) – , парабола (полином второй степени) – , полиномы третьего и более высоких степеней, экспонента – и др.

Процессы развития такого типа характерны в основном для абсолютных объемных показателей.

Для описания процессов с пределом роста служат функции: кривая Джонсона, модифицированная экспонентаи др.

Процессы с пределом роста характерны для многих относительных показателей (коэффициент сменности, душевое потребление продуктов питания, затраты на один рубль произведенной продукции и т.п.).

Для описания процессов третьего типа – с пределом роста и точкой перегиба используются 5-образные кривые, например логистическая кривая (кривая Перла – Рида) , кривая Гомпертцаи др.

Сфера их применения – прогнозирование таких показателей, как объем выпуска и спрос на товары повседневного спроса, инвестиции, направленные на модернизацию технологического оборудования предприятия и т.п.

Математические методы позволяют представить прогнозирующую модель в виде полинома любого порядка. Однако полиномы высоких степеней, наряду с отражением основной тенденции, зачастую учитывают также случайные отклонения от тенденции. Поэтому без необходимости использование полиномов высокого порядка представляется нецелесообразным.

Параметры моделей могут быть содержательно интерпретированы. Так, параметр а0 во всех моделях без предела роста задает начальные условия развития, параметр а1 в полиномах определяет скорость или интенсивность развития, параметр а2 – изменение скорости или интенсивности развития. В моделях с пределами роста параметр k – асимптота функции, т.е. предел насыщения.

Параметры большинства "кривых роста", как правило, оцениваются по методу наименьших квадратов, т.е. подбираются таким образом, чтобы график функции "кривой роста" располагался на минимальном удалении от точек исходных данных. Согласно методу наименьших квадратов при оценке параметров модели всем наблюдениям присваиваются равные веса, т.е. их информационная ценность признается равной, а тенденция развития на всем участке наблюдений – неизменной.

Предпочтение, как правило, отдается простым моделям, допускающим содержательную интерпретацию. К числу таких моделей относится линейная модель роста (полином первой степени)

(13.9)

где и – параметры модели, а .

При использовании линейной модели предполагается, что процесс развивается равномерно, т.е. каждое последующее значение показателя отличается от предшествующего на одну и ту же величину, равную параметру .

Математически критерий оценки параметров модели записывается в виде

(13.10)

Для нахождения минимума функции двух переменных следует взять частные производные по и , а затем приравнять их нулю. В результате получается так называемая система нормальных уравнений

(13.11)

Решая систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, получим

(13.12)

где и – средние значения моментов наблюдения и уровней ряда соответственно.