Деградация изделий как процесс с монотонными реализациями

(например, процесс изнашивания электрических контактов, контактов реле и разъемов).

Решение уравнения для монотонных реализаций известно как фундаментальное решение уравнения Фоккера – Планка – Колмогорова и записывается в виде

При этом начальные и граничные условия имеют вид

Характеристики DM-распределения выражаются следующим образом [31]:

Авторы работы [31] отмечают, что устойчивость к операции свертки, которой обладает DN-распределение, свойственна и DM-распределению.

Рассмотрим выбор функций (законов) распределения отказов на уровне материалов.

Исторический экскурс

Выбор функций (законов) распределения отказов на уровне материалов связан с именем В. Вейбулла, который в 1939 г. для описания отказов (в координатах "время – прочность") предложил простую функцию распределения (впоследствии названную его именем и обозначаемую как W-ФР), наилучшим образом описывающую экспериментальные данные. Ученый не подозревал о том, что само распределение является экстремальным, что в дальнейшем было доказано Б. В. Гнеденко. И только в 1951 г. он сформулировал требования к U'-Φ Р, состоящие в том, что "она должна быть положительной, неубывающей, стремящейся к некоторой величине, не обязательно равной нулю" [6, с. 14]. Можно лишь сожалеть о том, что В. Вейбулл не был знаком с работами физика В. Я. Френкеля, объяснившего прочностные аспекты материалов на основе физики и статистики (но исторически это общая черта западных ученых – забвение или незнание трудов ученых России и СССР). Далее в трудах отечественных ученых С. Н. Журкова, В. В. Болотина и других была развита "полнокровная" теория статистической прочности – надежности материалов. Имя В. Вейбулла увековечено в названии модуля Weibul в комплексе программ расчета надежности электронных изделий Relex.

Рассмотрим выбор функций (законов) распределения отказов на уровне оценки показателей надежности компонентов изделий (и входящих в их состав элементов изделий).

Разработчиками комплекса программ Relex предусмотрен специальный модуль Weibul, содержащий набор ФР для ИЭТ, что подтверждает, как уже отмечалось, актуальность проблемы выбора ФР. Однако программа не позволяет непосредственно реализовать выбор нужной ФР, поскольку такой выбор возможен лишь после обработки результатов испытаний. Такие фундаментальные исследования выполнены в Институте кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, и они ознаменовались открытием новых двух перспективных ФР, вошедших в ГОСТ 27.301–95. Ввиду их важности мы процитируем работы С. Б. Погребинского и В. П. Стрельникова, авторов, незаслуженно замалчиваемых за рубежом.

"Основной информацией, необходимой для расчета и проектирования надежности систем, являются данные о надежности элементной базы. Современная элементная база ЭВМ – ИС разной степени интеграции, а также дискретные приборы (полупроводниковые приборы, конденсаторы, резисторы и т.д.) обладают достаточно высокой надежностью. Как свидетельствуют справочные и литературные данные, интенсивность отказов ИЭ'Г (изделий электронной техники) соответствует времени наработки до отказа 5000–10 000 ч и имеет значение 10-9– 10-6 1/ч. К сожалению, высокая надежность ИЭТ обусловливает большие трудности для измерения собственной надежности изделий. В частности, высокая надежность не позволяет получить достаточную статистику отказов, чтобы, используя традиционные статистические методы, оценить, например, среднюю наработку до отказа ИЭТ, необходимую разработчикам технических систем. Следует отметить, что современное состояние оценки надежности ИЭТ представляется явно неудовлетворительным. Ситуация такова, что измерение надежности этих изделий сводится к оценке интенсивности отказов (вероятности отказа, вероятности безотказной работы) в интервале времени 0–5000 ч или 0–1000 ч, что составляет сравнительно малую долю полной наработки ИЭТ. Используемый при этом математический аппарат (экспоненциальное распределение, т.е. E-ФР) предполагает, что и в дальнейшем интенсивность отказов будет такой же" [31, с. 98–99].

В связи с изложенным авторы [31] далее доказывают, что приводимые ранее результаты исследований эмпирических данных самых различных объектов, в том числе ИЭТ (выборки IV, V), свидетельствуют о том, что интенсивность отказов унимодальных распределений имеет всегда возрастающий характер от начала и далее до медианы распределения (50% отказов).

Таким образом, прогнозирование средней наработки до отказа изделий на основе экспоненциального закона представляется явно грубым и завышенным. Более точным является, естественно, прогнозирование средней наработки до отказа на основе более адекватных двухпараметрических распределений. Однако вследствие малой статистики, которая может привести к большим погрешностям оценки двух параметров, а также из-за отсутствия аппарата расчета надежности систем на основе двухпараметрических распределений использование строго вероятностных двухпараметрических распределений до настоящего времени является трудно реализуемым.

Развитый в работах [4, 31] математический аппарат позволяет решать обе указанные задачи.

Пример 4.9

В табл. 4.3 приведены результаты прогнозирования математического ожидания наработки до отказа при использовании различных ФР.

Таблица 43

Зависимость Тср от вида функции распределения

R(t)	E-ФР	W-ФР	N-ФР	α-ФР	DM- ФР	DN-ФР
1	2	3	4	5	6	7
0,9	9,49	9,49	3,34	3,84	5,01	4,21
0,99	99,49	99,49	7,28	6,66	10,94	8,35
0,999	999,49	999,49	11,46	8,18	17,19	12,61
0,9999	9999,49	9999,49	15,65	9,43	23,66	17,01

Разделив значения средних наработок столбца 2 на значения средних наработок столбцов 3–7, получим таблицу значений (табл. 4.4).

Таблица 4.4

Результаты сопоставления времени средней наработки на отказ Tср для разных функций распределения в зависимости от R(t)

т
0,9	1	2,84	2,47	1,89	2,25
0,99	1	13,07	14,94	9,09	11,91
0,999	1	87,21	122,19	58,14	73,26
0,9999	1	638,94	1060,39	422,63	587,86

Из табл. 4.4 следует, что подтверждение вероятности безотказной работы R(t) изделий в пределах 0,95–0,9999 в случае использования E-ФР потребует времени в 9–400 раз больше, чем в случае любого двух- параметрического распределения.

Окончательный выбор ФР можно сделать в результате статистического анализа экспериментальных данных на основе критериев правдоподобия, например критерия Колмогорова.