Управление портфелем рисковых активов (теория Г. Марковица)

Начиная с 1950-х гг., в работах нобелевского лауреата Г. Марковица и ряда других исследователей был разработан научный подход к задаче нахождения оптимального портфеля ценных бумаг в условиях риска с учетом предпочтений инвестора. В настоящее время эта совокупность результатов представляет собой классический раздел теории финансов и одновременно широко используется практиками.

Формализация понятия риска

Рассмотрим ситуацию однопериодного инвестирования, когда инвестор приобретает некоторый актив (например, акцию) по цене Р0 с целью держать его до момента времени Т и затем продать по цене РT, которая к тому времени сложится на рынке. Для простоты дивиденды и другие выплаты не учитываются. Инвестора интересует доходность

которая будет достигнута за период владения. Таким образом, финансовый результат инвестирования неизвестен заранее. Как и во многих других областях человеческой деятельности, для анализа неопределенности используются понятие случайной величины и методы теории вероятностей и математической статистики.

В анализе случайных величин используются две их важнейшие характеристики:

1) математическое ожидание (применительно к инвестированию – средняя ожидаемая доходность): ;

2) дисперсия, а также корень квадратный из дисперсии – стандартное отклонение (риск):

Среди различных предлагавшихся количественных мер риска именно стандартное отклонение оказалось наиболее практически полезным. Основные причины этого следующие:

■ риск портфеля можно найти по характеристикам риска и долям бумаг, составляющих портфель, с помощью несложной формулы. Это дает возможность целенаправленно формировать портфель с контролируемым уровнем риска;

■ вообще говоря, случайная величина не определяется полностью своими математическим ожиданием и стандартным отклонением. Однако, случайные величины, значения которой являются следствием большого числа не связанных между собой случайных обстоятельств, в силу фундаментального результата теории вероятностей – центральной предельной теоремы (ЦПТ) – имеют распределения, весьма близкие к так называемому нормальному распределению, которое уже полностью задается двумя указанными параметрами. Для доходностей таких активов, как акции, паи ПИФов, индексы, валюты и т.п., условия ЦПТ по существу выполняются, и их распределения действительно достаточно близки к нормальным. Поэтому подход, основанные на оценке риска через стандартное отклонение, является оправданным и общепринят на практике, а использование других (например, односторонних) мер риска имеет смысл только в тех случаях, когда сознательно ставится задача учесть отличия распределения от нормального. В то же время для оценки риска активов другой природы, например инвестиционных проектов, стандартное отклонение может оказаться неподходящим средством.

Оценка (приближенное нахождение, прогнозирование) величин и σ для конкретного актива осуществляется одним из двух способов:

1) статистически (по прошлым данным):

где rt – доходности, достигнутые за предыдущие N периодов инвестирования.

Пример 11.2

Рассчитаем по данным таблицы выборочное стандартное отклонение доходности акции за период с 1997 по 2002 г.

Годы	1997	1998	1999	2000	2001	2002
Доходность, %	20	–20	5	10	22	25

Средняя доходность равна: (20 – 20 + 5 + 10 + 22 + 25): 6 = 10,33%. Выборочная дисперсия равна: [(20 – 10,33)2 + (– 20 –10,33)2 + (5 – 10,33)2 + (10 – 10,33)2 + (22 – 10,33)2 + (25 – 10,33)2]: 5 = 278,7.

Выборочное стандартное отклонение: 16,7.

Путем прогноза, в частности по сценариям и σ, вычисляются по значениям r для каждого сценария и их вероятностям:

где rk –доходность актива при k-м сценарии; рк – вероятность этого сценария.

Пример 11.3

Прогноз инвестора относительно возможных сценариев доходности акций компаний A и В с учетом их вероятностей в следующем периоде представлен в таблице:

Показатель	rВ = 10%	rВ = 20%
rA = 10%	р1 = 20%	р3 = 30%
rA = 40%	р2 = 40%	р4 = 10%

Определить ожидаемую доходность портфеля, если удельные веса акций компаний А и В в портфеле составляют соответственно 30 и 70%. Решение:

Для справки: в табл. 11.1 представлены данные о годовой доходности и риске различных классов активов на рынке США (статистика за 1926–2008 гг., источник – компания Morningstar).

Таблица 11.1. Доходность и риск различных классов активов на рынке США

Класс активов	Средняя доходность, %	Стандартное отклонение, %
Акции крупных компаний	11,7	20,6
Акции мелких компаний	16,4	33,0
Корпоративные облигации	6,2	8,4
Государственные облигации (T-Bonds)	6,1	9,4
Краткосрочные государственные облигации (T-Bills)	3,8	3,1
Инфляция	3,1	4,2