Трехфакторные планы с повторными измерениями по одному или двум факторам

Расширением рассмотренного двухфакторного плана с повторными измерениями по одному из факторов будут два трехфакторных плана, где добавляемая третья независимая переменная может выступать в качестве либо межгрупповой переменной, обеспечивающей разделение испытуемых на группы, либо внутрисубъектной переменной.

Если третья независимая переменная выступает в качестве еще одной переменной, по которой проводятся повторные измерения, то мы имеем дело с трехфакторным планом, схематически представленным в табл. 6.4. В этом случае мы так же, как и в рассмотренном в параграфе 6.1 двухфакторном плане с повторными измерениями по фактору В, имеем дело с несколькими независимыми группами испытуемых, число которых определяется числом уровней фактора А – в произвольном случае число таких уровней равно р. Каждая группа испытуемых проходит через сочетание уровней факторов В и С. В общем случае таких сочетаний оказывается q × r, где q – число уровней фактора В; r – число уровней фактора С. Структура группы в таком плане будет идентичной описанной в параграфе 6.1.

Таблица 6.4

Трехфакторный план p×q×r c повторными измерениями по факторам В и С

Фактор	B1			...	Bq
	C1	...	Cr	...	C1	...	Cr
A1	Группа 1		Группа 1		Группа 1		Группа 1
…
Ai	Группа i		Группа i		Группа i		Группа i
…
Ap	Группа р		Группа р		Группа р		Группа р

В табл. 6.5 приведены число степеней свободы и ожидаемые значения дисперсии – среднего квадрата – для межгруппового фактора А и испытуемых внутри групп. Как видно, в этом случае мы обнаруживаем практически те же источники дисперсии: вся дисперсия между испытуемыми распадается на дисперсию, связанную с действием независимой переменной – межгруппового фактора А, и дисперсию, связанную с различием испытуемых внутри экспериментальных групп. Структура ожидаемых значений средних квадратов также идентична той, которая нам уже известна на примере двухфакторного плана с повторными измерениями по одному из факторов, рассмотренного в параграфе 6.1. Статистическая опенка эффекта межгруппового фактора, очевидно, должна осуществляться относительно эффекта испытуемых внутри групп. В этом случае построенная статистика будет описываться F-распределением с р – 1 степенью свободы в числителе и р (n – 1) степенью свободы в знаменателе.

Таблица 6.5

Межсубъектная дисперсия в трехфакторном плане с повторными измерениями по факторам В и С

Источник дисперсии
Фактор А
Испытуемые внутри групп

Различия результатов одного и того же испытуемого внутри одной группы – внутрисубъектная дисперсия – в случае рассматриваемого трехфакторного плана имеют несколько больше источников. Помимо известных нам эффектов фактора В, его взаимодействия с фактором А и фактором испытуемого в группе необходимо указать на эффект фактора С, его взаимодействие с фактором В и фактором испытуемого и два трехфакторных взаимодействия – АВС и взаимодействие ВС × испытуемые внутри группы.

В табл. 6.6 приведено число степеней свободы для дисперсии, соответствующей каждому из этих эффектов, а также ожидаемые значения средних квадратов. Стоит отметить, что в представленной модели все экспериментальные факторы рассматриваются в качестве фиксированных. Как видно, несмотря на увеличившееся число источников внутрисубъектных вариаций экспериментальных данных, общая структура дисперсии оказывается практически мало отличимой от того, что нам уже известно применительно к двухфакторным планам.

Таблица 6.6

Внутрисубъектная дисперсия в трехфакторном плане р × q × r с повторными измерениями по факторам В и С

Источник дисперсии
В
AВ
В ´ испытуемые внутри групп
С
АС
С х испытуемые внутри групп
ВС
АВС
ВС × испытуемые внутри групп

Как видно, в этом случае у нас имеется три фактора статистической ошибки:

• взаимодействие фактора В с фактором испытуемых внутри группы – ошибка b;

• взаимодействие фактора С с фактором испытуемых внутри группы – ошибка с;

• взаимодействие ВС с фактором испытуемых внутри группы – ошибка bс.

Соответственно, статистическая оценка основного эффекта фактора В и его взаимодействия с фактором А должна осуществляться относительно ошибки b. Аналогичным образом оценка надежности основного эффекта фактора С и его взаимодействия с фактором А осуществляется относительно ошибки с. Наконец, оценку взаимодействия двух внутрисубъектных факторов, а также трехфакторного взаимодействия необходимо осуществлять относительно ошибки bс.

Необходимо также помнить, что рассмотренная трехфакторная модель предполагает, что все дисперсии ошибок оказываются однородными. Это предположение относится как к фактору испытуемого внутри группы, так и ко всем возможным внутрисубъект- ным ошибкам. В последнем случае предполагается однородность всех вариационно-ковариационных матриц. Отметим при этом, что это предположение касается лишь каждой матрицы в отдельности. Иными словами, необходимо предполагать, что внутри одной вариационно-ковариационной матрицы все величины ковариаций одинаковы, но в рамках различных матриц они могут варьировать. Эти предположения являются исключительно важными, особенно, если число степеней свободы построенной статистики F оказывается небольшим (обычно меньше 30). Поэтому они требуют обязательных предварительных тестов. Как уже указывалось, эти тесты проводятся с помощью критерия сферичности Моучли. В случае когда результат такой проверки оказывается статистически надежным и нулевая гипотеза о сферичности отвергается, крайне рекомендуется использовать более консервативные правила принятия статистического решения, уменьшая в той или иной степени число степеней свободы построенных статистик (см. подпараграф 4.2.1).

Теперь обратимся в анализу трехфакторного плана, в котором третья переменная оказывается межсубъектной. В этом случае мы имеем план, представленный в табл. 6.7.

Как видно, отличие этого плана от рассмотренного в параграфе 6.1, заключается в том, что формирование экспериментальных групп осуществляется на основе значений двух независимых переменных. Поэтому наименование групп в этом случае предполагает указание на уровни каждой из них. Так, мы видим, что внутри группы 1, выделенной по первому уровню фактора А, выделяются еще q независимых групп испытуемых в соответствии со значениями фактора В. Всего, таким образом, данный план предполагает выделение р × q групп испытуемых, участвующих в эксперименте, и каждый испытуемый каждой группы проходит через все значения третьей переменной, обеспечивая экспериментатору повторные измерения.

Таблица 6.7

Трехфакторный план р × q × r с повторными измерениями по фактору С

Факторы		С1	...	Cr
A1	B1	Группа 1.1		Группа 1.1
	...
	Bq	Группа 1.q		Группа 1.q
...	...
Ap	B1	Группа р.1		Группа р.1
	...
	Bq	Группа p.q		Группа p.q

В табл. 6.8 приведены число степеней свободы и ожидаемые значения средних квадратов для межгрупповых эффектов рассматриваемого плана. Так же как и в предыдущем случае, будет считать, что оба этих фактора оказываются фиксированными в эксперименте. Таким образом, отличие от уже рассмотренного случая трехфакторного эксперимента с повторениями по двум факторам здесь заключается в том, что добавляется еще два экспериментальных эффекта: основной эффект второго межгруппового фактора и эффект взаимодействия двух межгрупповых факторов. Тем не менее принципы построения F-статистики здесь такие же. В качестве оценки ошибки берется средний квадрат для фактора испытуемого внутри группы. Структурная модель ANOVA, используемая в этом случае, как и прежде, предполагает однородность такой дисперсии во всех группах.

Таблица 6.8

Источники межгрупповой дисперсии в трехфакторном плане р × q × r с повторными измерениями по фактору С

Источник дисперсии
А
В
АВ
Испытуемые в группе

Источники внутрисубъектной дисперсии для рассматриваемого плана представлены в табл. 6.9. Как видно, отличие от рассмотренного в параграфе 6.1 двухфакторного плана с повторными измерениями по одному из факторов здесь заключается в том, что помимо эффекта фактора С и его взаимодействия с фактором испытуемых внутри группы присутствуют еще два взаимодействия фактора С с межгрупповыми факторами А и В, а также трехфакторное взаимодействие АВС. Как видно, оценка основного эффекта внутрисубъектного фактора и его взаимодействий с другими экспериментальными факторам должна проводиться относительно взаимодействия этого фактора с фактором испытуемого. При этом структурная модель, предполагающая фиксированность всех независимых переменных, основывается на том, что вариационно-ковариационная матрица r × r так же, как и во всех других случаях, оказывается однородной. Важность этого допущения требует его обязательной оценки, и в случае, если это предположение не подтверждается с помощью предварительных тестов, возникает необходимость уменьшить число степеней свободы числителя и знаменателя на основе соответствующих поправок, сделав принятие статистического решения более консервативным.

Таблица 6.9

Источники внутрисубъектной дисперсии в трехфакторном плане р × q × r с повторными измерениями по фактору С

Источник дисперсии
С
АС
ВС
АВС
С × испытуемые внутри группы