Основные уравнения моментной теории тонких оболочек

Вырежем из оболочки постоянной толщины h нормальными сечениями криволинейный четырехугольный элемент (рис. 7.16), стороны которого ограничены координатными линиями и, v и и + du, v + dv, располагающимися на срединной поверхности оболочки. Срединная поверхность находится на равном расстоянии от внешней и внутренней поверхностей оболочки. На стороны вырезанного фрагмента оболочки действуют внутренние усилия и моменты: , – нормальные усилия, – касательные усилия,,– поперечные силы;,– изгибающие моменты,– крутящие моменты. Размерность усилий – Н/м, т.е. ньютон на метр длины соответствующей координатной линии; размерность изгибающих и крутящих моментов – Н • м/м, т.е. Н • м на метр длины соответствующей координатной линии.

Принимая во внимание размерность усилий и моментов, для составления уравнений равновесия значения усилий и моментов, показанные на рис. 7.16, необходимо умножить на соответствующие длины сторон, где приложены эти усилия и моменты.

Будем считать, что криволинейная координатная сеть и, v ортогональная (F= 0) и сопряженная (М = 0), т.е. координатные линии представляют собой линии главных кривизн.

Рис. 7.1 в. Криволинейный четырехугольный элемент CCiDlD, вырезанный из срединной поверхности оболочки

Обозначим через X, Y, Z интенсивность внешней распределенной поверхностной нагрузки (Н/м2 поверхности).

Составим уравнения равновесия относительно подвижных ортогональных осей координат(см. рис. 7.16): , и получим соответственно

(7.1)

Последнее шестое уравнение равновесия считается тождеством, так как принято

Обозначим перемещения произвольной точки срединной поверхности оболочки в направлении касательных к координатным линиям и, v и в направлении нормали к поверхности через соответственно.

Обозначим через относительные деформации в направлении координатных линий и, v, а через – сдвиг, т.е. изменение угла между координатными линиями.

Введем дополнительно три параметра, характеризующие изгибную деформацию срединной поверхности оболочки:

где – параметры изменения кривизн координатных линий и, v соответственно; – кручение элемента оболочки.

Параметры со штрихами – это параметры для деформированной оболочки.

Геометрические уравнения теории оболочек связывают между собой перемещения и деформации срединной поверхности оболочки. При выводе геометрических уравнений считают, что нормальный к срединной поверхности прямолинейный элемент оболочки остается прямолинейным и перпендикулярным к деформированной поверхности и после деформации. Для системы координат в линиях кривизн они будут иметь вид

(7.2)

где

В последних двух выражениях имеем, что – угол, на который поворачивается вектор в сторону вектора η в плоскости (); – угол, на который поворачивается вектор в сторону вектора n в плоскости ().

Физические уравнения (закон Гука в теории оболочек) имеют вид

(7.3)

Таким образом, при расчете оболочек толщиной h, заданных в линиях кривизны, вводятся следующие двумерные, зависящие от двух переменных и, v, величины:

– внутренние силовые факторы;

– компоненты тангенциальной и изгибной деформаций;

– компоненты смещения.

Всего вводится 17 величин, для которых получены следующие расчетные уравнения моментной теории оболочек:

• пять уравнений равновесия (7.1) бесконечно малого элемента оболочки, которые связывают между собой внутренние силовые факторы;

• шесть соотношений (7.2) между деформациями и перемещениями;

• шесть формул (7.3), связывающих между собой внутренние силовые факторы и деформации срединной поверхности оболочки.

Итого имеем 17 расчетных уравнений для определения 17 двумерных параметров.