Ковариационный анализ в факторных экспериментах

Выше (см. подпараграф 8.1.1) мы рассмотрели ситуацию, когда исследователя интересуют различие психофизиологических реакций при переживании стресса представителями разных профессиональных групп. Представим себе, что мы решили варьировать уровень мотивации наших испытуемых при решении тех задач, которые определяют состояние стресса. Таким образом, наш экспериментальный план будет описывать влияние на психофизиологические реакции организма уже не одной, а двух переменных. Такой экспериментальный план, как мы помним, называют факторным.

Если мы хотим исследовать пять ситуаций переживания стресса при двух уровнях мотивации, нам потребуется десять групп испытуемых. Поскольку, как и в более простом случае, мы не имеем возможности полностью уравнять экспериментальные группы, оценка основных эффектов двух независимых переменных и их взаимодействия потребует непрямого, статистического, контроля влияния возможных независимых переменных. Такой контроль может быть осуществлен с помощью процедур многофакторного ковариационного анализа.

Общие принципы ковариационного анализа факторных экспериментов принципиально не отличаются от тех, что были описаны выше. Для каждой группы испытуемых, которая определяется сочетанием уровней исследуемых факторов, измерение зависимой переменной осуществляется так же, как и в однофакторных планах, дважды: сначала при сочетании неактивных уровней независимых переменных – факторов, затем на соответствующем сочетании активных уровней, эффект которых исследуется в эксперименте.

Общая схема двухфакторного эксперимента р х q, использующего статистический контроль на основе ковариационного анализа, представлена в табл. 8.2. Для каждого из п испытуемых каждой экспериментальной группы измерения зависимой переменной производятся до экспериментального воздействия и после. В первом случае мы имеем значения ковариат Xijk, во втором случае – интересующие нас значения критерия Υijk. Далее значения критерия, как и в ситуации однофакторных планов, должны быть скорректированы с помощью соответствующих им значений ковариат.

Таблица 8.2

Факторный экспериментальный план с непрямым, статистическим, контролем

Уровни фактора В	Уровни фактора А
	1			j			p
	Ковариата (X)	Вариата (Y)		Ковариата (X)	Вариата (Y)		Ковариата (X)	Вариата (Y)
1
	. . .	. . .		. . .	. . .		. . .	. . .
…	. . .	. . .		. . .	. . .		. . .	. . .
k
	. . .	. . .		. . .	. . .		. . .	. . .
…	. . .	. . .		. . .	. . .		. . .	. . .
q
	. . .	. . .		. . .	. . .		. . .	. . .

Скорректированные значения критерия для данного факторного плана будет выглядеть следующим образом:

(8.3)

Прежде всего необходимо оценить значения разброса критерия и ковариат. Разброс критерия на произвольном уровне j фактора А и уровне k фактора В обозначим Eyyjk, а разброс ковариат – Еyyjk. Очевидно, это можно сделать следующим образом:

(8.4)

где – средние значения критерия и ковариат в соответствующей группе испытуемых.

Внутригрупповая ковариация двух рядов данных может быть определена следующим образом:

(8.5)

Булем предполагать, что внутригрупповые вариации критериев и ковариат, рассчитанные по формулам (8.4), и ковариации между этими показателями, рассчитанные по формуле (8.5), оказываются однородными по всем экспериментальным группам. Тогда

В этом случае внутригрупповой коэффициент регрессии будет выглядеть следующим образом:

(8.6)

Теперь уравнение линейной регрессии для факторного экспериментального плана (8.3), очевидно, примет такой вид:

Тогда разброс скорректированных значений критерия можно определить следующим образом:

(8.7)

Уравнение (8.7) дает нам оценку внутригруппового разброса скорректированных данных. Это значение используется в качестве меры экспериментальной ошибки. Число степеней свободы для этой статистики равно pq(n -1)-1. Разделив вариацию скорректированных значений на соответствующее статистике число степеней свободы, имеем средний квадрат для эффекта экспериментальной ошибки MS'error

Теперь попытаемся оценить основные эффекты независимых переменных. Пусть At/I/ – суммарный разброс значений критерия, связанный с эффектом фактора A; Ахх – соответствующий суммарный разброс значений ковариат; Ахy – суммарная ковариация двух рядов данных, связанных с эффектами фактора А:

(8.8)

Здесь – среднее значение критериев и ковариат на уровне у фактора А; – общее среднее ковариат и критериев по всем экспериментальным группам.

Аналогичным образом можно оценить эффект фактора В:

Скорректированное значение разброса данных для эффекта фактора А будет выглядеть следующим образом:

Эта статистика имеет р – 1 степеней свободы. Средний квадрат эффекта фактора А для скорректированных значений критерия, очевидно, будет определяться так:

Если рассматривать фактор А как фиксированный, его эффект можно оценить статистически с помощью стандартного F-отношсния:

Аналогично скорректированное значение разброса критерия для фактора В будет оцениваться так:

Эта статистика имеет q – 1 степеней свободы. Средний квадрат эффекта фактора В для скорректированных значений критерия, очевидно, будет определяться так:

И опять, если рассматривать фактор В как фиксированный, его эффект можно оценить статистически с помощью стандартного F-отношения:

Наконец, нам остается оценить вариацию взаимодействий факторов А и В для критерия – ΑΒyy, ковариат – АВуу, а также для ковариации их значений – ABxy. Для этого необходимо провести следующие вычисления:

Используя полученные значения, можно скорректировать значения, отражающие вариации взаимодействий для двух наших экспериментальных факторов:

Эта статистика характеризуется (p – 1 )(q – 1) степенями свободы. Следовательно, F-отношение для оценки статистической надежности взаимодействия будет выглядеть так:

где, очевидно,

Скорректированные средние групповые значения критерия можно вычислить следующим образом1:

Для оценки различий между средними в двух группах в качестве меры ошибки используется следующее выражение:

Если требуется вычислить различия между несколькими группами, рекомендуется в качестве меры ошибки использовать выражение (8.9):

(8.9)

Скорректированные средние значения критерия для фактора А на уровне j и фактора В на уровне k могут быть определены по формулам:

При сравнении этих значений используются следующие величины в качестве меры ошибки соответственно для факторов A и В: