Классификация напряженных состояний

Любое напряженное состояние в точке может быть приведено к трем главным напряжениям в этой точке, действующим на трех взаимно перпендикулярных площадках, а в частных случаях одно или два главных напряжения могут быть равны нулю. Поэтому любое напряженное состояние можно классифицировать по главным напряжениям как одноосное (рис. 2.40, й), плоское (двухосное) (рис. 2.40, б) и объемное (трехосное) (рис. 2.40, в). Наиболее часто встречаются на практике двухосные и одноосные напряженные состояния.

Рис. 2.40

Рассмотрим двухосное (плоское) напряженное состояние. Пусть , тогда, решая определитель (2.86), получим

(2.87)

где – одно из главных напряжений.

В данном случае площадка, перпендикулярная оси г, – главная, две другие перпендикулярны данной и перпендикулярны между собой.

Для определения положения двух других главных площадок, параллельных оси 2, нет необходимости решать все уравнения (2.85). Воспользуемся одним из них, например первым:

Рис. 2.41

В данном случае . Поскольку , получаем

(2.88)

где – угол между осью х и нормалью одной из главных площадок, параллельных оси 2 (рис. 2.41).

Главные напряжения и главные площадки в брусе

Предположим, что прямой брус подвергается одновременному воздействию растягивающей силы, изгибающего и крутящего моментов. В поперечном сечении бруса возникнут нормальные напряжения от осевой силы , нормальные напряжения от изгиба , касательные напряжения от перерезывающей силы Q, касательные напряжения от крутящего момента (рис. 2.42).

Нормальные напряжения складываются алгебраически, касательные – геометрически. Таким образом, в точках нормального сечения в общем случае после суммирования возникнут суммарные нормальные и касательные напряжения. Направим ось х вдоль оси бруса и ось у – по направлению равнодействующей касательных напряжений (рис. 2.43). Учитывая, что в расчетной точке не равны нулю только и , решая определитель (2.86), получим

(2.89)

Рис. 2.42

Рис. 2.43

Из формулы (2.89) следует, что при наличииодно из главных напряжений больше нуля, а другое меньше нуля. Тогда

(2.90)

Угол а между осью х и нормалью к первой главной площадке определяется формулой (2.88).

Максимальное значение касательных напряжений в брусе

(2.91)

Значениевозникает на площадке, параллельной векторуи делящей пополам прямой угол между первой и тре тьей главными площадками.

Теории прочности

При центральном растяжении (сжатии) в нормальных сечениях бруса возникают одни нормальные напряжения σ. Условие прочности в данном случае имеет вид

Здесь допускаемое напряжение вполне определяется механическими испытаниями материала на растяжение (сжатие) и условиями работы детали.

Если в рассматриваемом сечении имеются одни касательные напряжения(чистый сдвиг), то условия прочности запишутся так: где определяется механическими испытаниями материала на сдвиг (срез) и условиями работы детали.

Оценку прочности детали, находящейся в сложном напряженном состоянии, когда в данной точке на данной площадке одновременно действуют σ и х, произвести на основании эксперимента затруднительно. Для такой оценки прочности деталей служат теории прочности, которые строятся на основе различных критериев прочности. Критерий прочности устанавливается на основании гипотез возникновения текучести материала или его разрушения. Каждому критерию прочности соответствует своя теория прочности.

Предельным будем называть предельное состояние, при котором происходит качественное изменение свойств материала. Предельное напряженное состояние наиболее полно изучено экспериментально для простейшего случая – одноосного растяжения. Поэтому целесообразно сравнивать исследуемое сложное напряженное состояние с одноосным растяжением, устанавливая их эквивалентность. Эквивалентное напряжение– напряжение, которое следует создать в одноосно растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным с исследуемым.

Существует много теорий прочности. Рассмотрим некоторые из них.

Теория наибольших касательных напряжений (теория Кулона). Согласно этой теории сложное напряженное состояние эквивалентно простому – растяжению, если максимальное значение касательных напряжений в случае сложного напряженного состояния равно максимальному значению касательных напряжений простого напряженного состояния.

При сложном напряженном состоянии

(2.92)

При простом напряженном состоянии (одноосном растяжении образца)

(2.93)

Условие равнопрочности элемента и образца из одного и того же материала получим, приравнивая выражения (2.92) и (2.93):

Условие прочности здесь имеет вид

(2.94)

Допускаемые напряжения определяются как отношение предельных напряженийк запасу прочности:

Для бруса выражение (2.94) с учетом условия (2.86) можно записать в виде

(2.95)

Рассматриваемая теория (называемая часто третьей) устанавливает условия начала текучести, а не разрушения. Следовательно, данная теория должна применяться для пластичных материалов. Опадает хорошие результаты при одинаковых пределах текучести материала при растяжении и сжатии.

Теория Мора. Если материал неодинаково работает на растяжение и сжатие, более удобно применять теорию Мора, согласно которой

где (– допускаемое напряжение при растяжении,– допускаемое напряжение при сжатии).

Возможны частные случаи: если , то получим теорию Кулона; если , то можно принять .

Тогда. Такой подход применяется для хрупких материалов.

Энергетическая теория. Согласно этой теории объемное и одноосное напряженные состояния будут равноопасными при равенстве энергий изменения формы. Условие прочности в этом случае имеет вид

Эта теория дает хорошие результаты для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Она хороша еще тем, что учитывает

Расчетные выражения для бруса по этой теории