Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей

Вопросы построения и использования эконометрических моделей рассмотрим более подробно на примере линейных регрессионных моделей как в случае парной регрессии (однофакторная модель), так и в случае множественной регрессии (многофакторная модель); в последнем случае будем рассматривать модели множественной регрессии на примере линейной двухфакторной модели.

Основу математического аппарата для рассматриваемых моделей составляют такие разделы математической статистики, как корреляционный и регрессионный анализ. Для определенности эндогенные переменные в этих моделях будем называть результативными признаками и обозначать их, как и ранее, буквой у, а экзогенные переменные будем называть факторными признаками и обозначать их буквой х. Методы корреляционно-регрессионного анализа позволяют решать три основные задачи: определение формы связи между результативным и факторными признаками, измерение тесноты связи между ними, анализ влияния отдельных факторных признаков. Рассмотрим решение этих задач для указанных видов эконометрических моделей; при этом для наглядности будем иллюстрировать выводы на конкретном примере экономического анализа.

В табл. 7.1 представлены статистические данные о расходах на питание, душевом доходе и размере семьи для девяти групп семей. Требуется проанализировать зависимость величины расходов на питание от величины душевого дохода и размера семьи. В соответствии с этим первый показатель будет результативным признаком, который обозначим у, а два других будут факторными признаками, или просто факторами, и мы их обозначим соответственно х1 и х2.

Таблица 7.1

Номер группы	Расход на питание (у)	Душевой доход (x1)	Размер семей (x2)
1	433	628	1,5
2	616	1577	2,1
3	900	2659	2,7
4	1113	3701	3,2
5	1305	4796	3,4
6	1488	5926	3,6
7	1645	7281	3,7
8	1914	9350	4,0
9	2411	18807	3,7

Рассмотрим сначала однофакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (). Она выражается линейной функцией вида

(7.1)

параметры которой а0 и а, находятся в результате решения системы нормальных уравнений, которая в свою очередь формируется, как уже отмечалось в главе 5, на основе метода наименьших квадратов. Система нормальных уравнений для рассматриваемого случая аналогична системе (5.5) и имеет вид

(7.2)

где суммирование проводится по всем п группам. Используя данные табл. 7.1, получим систему уравнений:

решением которой являются значения Таким образом, модель имеет вид

(7.3)

Уравнение (7.3) называется уравнением регрессии, коэффициент – коэффициентом регрессии. Направление связи между у иопределяет знак коэффициента регрессии ; в нашем случае данная связь является прямой. Теснота этой связи определяется коэффициентом корреляции (парным):

(7.4)

в этой формуле – средняя квадратическая ошибка выборки у из табл. 7.1:

где – средняя арифметическая значений у,

– средняя квадратическая ошибка уравнения (7.3) для числа степеней свободы п – 2:

где – соответствующее значение расходов на питание, вычисленное по модели (7.3).

В этих формулах, как и ранее, суммирование ведется по всем группам от 1 до п.

Чем ближе значение коэффициента корреляции к единице, тем теснее корреляционная связь. В нашем примере ,, следовательно,

Полученное значение свидетельствует, что связь между расходами на питание и душевым доходом очень тесная.

Величина называется коэффициентом детерминации и показывает долю изменения (вариации) результативного признака под действием факторного признака. В нашем случае ; это означает, что фактором душевого дохода можно объяснить почти 86% изменения расходов на питание.

Коэффициенты регрессии (в рассматриваемом случае это коэффициент ) нельзя использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак из-за различия единиц измерения исследуемых показателей. Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета-коэффициент.

Коэффициент эластичности для рассматриваемой модели парной регрессии рассчитывается по формуле

(7.5)

Он показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак у при изменении факторного признакана один процент.

В нашем примере коэффициент регрессии равен 0,11, а средние арифметические и равны соответственно 6080,6 и 1313,9.

Поэтому коэффициент эластичности расходов на питание в зависимости от душевого дохода будет равен

Это означает, что при увеличении душевого дохода на 1% расходы на питание увеличатся на 0,51%.

Бета-коэффициент в нашем случае задается формулой

(7.6)

где и – средние квадратические ошибки выборки величини у из табл. 7.1 соответственно.

Величина уже была рассчитана ранее и равна 454 070, поэтому величина равна 673,8; аналогичные расчеты дают значение величины , равное 4242,0. Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратического отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения.

В нашем случае получаем следующее значение бета-коэффициента:

т.е. увеличение душевого дохода на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения расходов на питание на 0,69 среднеквадратического отклонения этих расходов.

Рассмотрим теперь двухфакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей () и размера семей (). Как уже отмечено выше, множественный (многофакторный) корреляционнорегрессионный анализ решает три задачи: определяет форму связи результативного признака с факторными, выявляет тесноту этой связи и устанавливает влияние отдельных факторов. В нашем случае эта модель имеет вид

(7.7)

Параметры модели,инаходятся путем решения системы нормальных уравнений:

(7.8)

Используя данные табл. 7.1, ползшим систему нормальных уравнений в виде

Решая эту систему (например, методом Гаусса), получим: ; ; , так что модель (7.7)

имеет вид

Для определения тесноты связи предварительно вычисляются парные коэффициенты корреляции Например,

(7.9)

где черта над символами означает среднюю арифметическую, а и – средние квадратические ошибки соответствующих выборок из табл. 7.1:

Аналогичный вид имеют формулы для и

После этого вычисляют коэффициент множественной корреляции

(7.10)

который колеблется в пределах от 0 до 1; чем ближе он к 1, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на результативный признак.

В нашем примере расчеты дают следующее значение коэффициента множественной корреляции: , что выше значения коэффициента корреляции в случае одно- факторной модели. Таким образом, степень тесноты связи расходов на питание с факторами душевого дохода и размера семей является очень высокой.

Величина называется совокупным коэффициентом детерминации и показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторных признаков. В нашем примере ; это означает, что совместное влияние душевого дохода и размера семей объясняет почти 97% изменения расходов на питание.

Задача анализа тесноты связи между результативным и одним из факторных признаков при неизменных значениях других факторов решается в многофакторных моделях при помощи частных коэффициентов корреляции. Так, частный коэффициент корреляции между результативным признаком у и факторным признакомпри неизменном значении факторного признака х2 рассчитывается по формуле

(7.11)

где используются парные коэффициенты корреляции, рассчитываемые по формулам, аналогичным (7.9).

Аналогичная формула имеет место для частного коэффициента корреляции между результативным признаком у и факторным признаком при неизменном значении факторного признака .

Для рассматриваемого примера частные коэффициенты корреляции расходов на питание от душевого дохода и размера семей составляют

т.е. теснота связи между расходами на питание и одним из исследуемых факторов при неизменном значении другого является весьма значительной.

Если частные коэффициенты корреляции возвести в квадрат, то получим частные коэффициенты детерминации, показывающие долю вариации результативного признака под действием одного из факторов при неизменном значении другого фактора. В нашей задаче

следовательно, влиянием душевого дохода при неизменном размере семьи объясняется почти 86% изменения расходов на питание, а изменение размера семьи при неизменном душевом доходе объясняет более 72% изменения расходов па питание.

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели (7.7) рассчитываются по формулам

(7.12)

Черта над символом, как и ранее, означает среднюю арифметическую. Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если значение одного из факторных признаков изменится на 1%, а значение другого факторного признака останется неизменным.

В рассматриваемом примере = 0,072; = 344,9; = 1313,9;=6080,6;= 3,1, следовательно, по формулам (7.12) получим:

Это означает, что при увеличении душевого дохода на 1 % и неизменном размере семьи расходы на питание увеличатся на 0,333%, а увеличение (условное) на 1% размера семьи при неизменном душевом доходе приведет к возрастанию расходов на питание на 0,790%.

Определенные выводы о влиянии отдельных факторов на результативный признак в случае линейной модели множественной регрессии можно сделать на основе расчета частных бета-коэффициентов, которые для двухфакторной модели (7.7) задаются формулами

(7.13)

Частные бега-коэффициенты показывают, на какую долю своего среднеквадратического отклонения изменится в среднем результативный признак при изменении одного из факторных признаков на величину его среднеквадратического отклонения и неизменном значении остальных факторов.

В рассматриваемой задаче = 0,072; = 344,9; = 673,8;= 4242,0;= 0,79, так что расчеты по формулам (7.13) дают следующие значения частных бета-коэффициентов:

Это означает, что при неизменном составе семей увеличение на величину своего среднеквадратического отклонения размера душевого дохода приведет к увеличению среднего значения расходов на питание на 0,45 их среднеквадратического отклонения, а при неизменном душевом доходе увеличение размера семей на величину его среднеквадратического отклонения приведет к возрастанию расходов на питание лишь па 0,40 их среднеквадратического отклонения.