Растяжение и сжатие

Центральное растяжение (сжатие) – одно из наиболее простых видов нагружения. Методом сечений в поперечном сечении бруса обнаруживается только один внутренний силовой фактор – нормальная сила. Ее вектор перпендикулярен к поперечному сечению и направлен вдоль продольной оси бруса. Брус, работающий на растяжение-сжатие, принято называть стержнем.

Согласно методу сечений величина и направление продольной силы определяются из уравнения равновесия, составленного для отсеченной части бруса:

(2.9)

Таким образом, продольная (нормальная) сила о произвольном сечении бруса численно равна алгебраической сулеме проекций па продольную ось всех внешних (активных и реактивных) сил, приложенных к отсеченной части.

В общем случае

(2.10)

где – интенсивность нагрузки, распределенной вдоль оси бруса на участке от 0 до .

Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения. В поперечном сечении бруса она является равнодействующей внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении.

График функции называется эпюрой нормальных сил. Из выражения (2.10) следует, что

(2.11)

т.е. интенсивность распределенной нагрузки в каждом сечении равна по величине и знаку тангенсу угла наклона касательной к эпюре в соответствующей рассматриваемому сечению точке эпюры.

Нормальные напряжения и деформации

При растяжении (сжатии) бруса в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Чтобы задача определения по известным N А имела единственное решение, необходимо установить закон распределения σ(x) по сечению. Для этого используется гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси и при деформации. Поперечные сечения лишь перемещаются вдоль оси, оставаясь параллельными друг другу.

Допустим, брус состоит из бесконечно большого числа продольных волокон. Из гипотезы Бернулли следует, что все волокна деформируются одинаково. Поскольку, согласно закону Гука, равным деформациям соответствуют равные напряжения, то при растяжении (сжатии) бруса нормальные напряжения равномерно распределяются по поперечному сечению, т.е.;.

Как известно,. Так как, то . Отсюда

(2.12)

Положительными считаются направления , соответствующие растяжению.

В сечениях бруса, примыкающих к месту приложения внешних сил и к закреплениям, распределение напряжений зависит

Рис. 2.7

от способа приложения нагрузки и может быть неравномерным. Поэтому гипотеза плоских сечений в этих местах неверна.

Рассмотрим однородное напряженное состояние бруса, когда напряжения не изменяются по длине (рис. 2.7).

Изменение линейных размеров называется абсолютным удлинением; отношение – относительным удлинением или линейной деформацией.

В случае неоднородного напряженного состояния линейная деформация определяется выражением , где – приращение отрезка .

Между линейными деформациями и вызывающими их напряжениями существует связь, обусловленная упругими свойствами материала. Эта связь определяется законом Гука:

(2.13)

где Е – модуль упругости материала.

Рассмотрим выражение. Согласно формуле (2.13) получим; поскольку

Отсюда изменение длины всего бруса

(2.14)

Произведение НА называется жесткостью бруса при растяжении (сжатии).

Если законы изменения N и А различны для отдельных участков бруса, то

(2.15)

где – число участков.

В частном случае, когда N и А постоянны по длине бруса, получаем формулу Гука в виде

(2.16)

Итак, перемещение i-го сечения с координатой х относительно неподвижного сечения

(2.17)

Аналогично можно записать

(2.18)

где – перемещение начального сечения относительно заделки.

Пусть сечение бруса (см. рис. 2.7) имеет форму прямоугольника со сторонами а и b, тогда при растяжении бруса периметр его уменьшится. Величина характеризует относительное изменение периметра поперечного сечения и называется поперечной деформацией. Если сечение круглое, то . Отношение поперечной деформации к линейной величине постоянно для данного материала и называется коэффициентом Пуассона:

(2.19)

Для стали и большинства металлических материалов . В общем случае .