Распределения вероятностей и ожидаемая доходность

Как уже не раз говорилось, риск связан с вероятностью того, что фактическая доходность будет ниже се ожидаемого значения. Поэтому распределения вероятностей являются основой для измерения риска проводимой операции. Однако следует помнить, что получаемые при этом оценки носят вероятностный характер.

Пример 30.1. Предположим, например, что вы намерены инвестировать 100 000 долл. США сроком на один год. Альтернативные варианты инвестиций приведены в табл. 30.1.

Во-первых, это ГКО - ОФЗ1 со сроком погашения один год и ставкой дохода 8%, которые могут быть приобретены с дисконтом, т.е. по цене ниже номинала, а в момент погашения будет выплачена их номинальная стоимость.

Таблица 30.1. Оценка доходности по четырем инвестиционным альтернативам

Примечание. Доходность, соответствующую различным состояниям экономики, следует рассматривать как интервал значений, а отдельные се значения - как точки внутри этого интервала. Например, 10%-ная доходность облигации корпорации

при незначительном спаде представляет собой наиболее вероятное значение доходности при данном состоянии экономики, а точечное значение используется для удобства расчетов.

Во-вторых, корпоративные ценные бумаги (голубые фишки), которые продаются по номиналу с купонной ставкой 9% (т.е. на 100 000 долл. США вложенного капитала можно получать 9000 долл. США годовых) и сроком погашения 10 лет. Однако вы собираетесь продать эти ценные бумаги в конце первого года. Следовательно, фактическая доходность будет зависеть от уровня процентных ставок на конец года. Этот уровень, в свою очередь, зависит от состояния экономики на конец года: быстрые темпы экономического развития, вероятно, вызовут повышение процентных ставок, что снизит рыночную стоимость голубых фишек; в случае экономического спада возможна противоположная ситуация.

В-третьих, проект капиталовложений 1, чистая стоимость которого составляет 100 000 долл. Денежный поток в течение года равен нулю, все выплаты осуществляются в конце года. Сумма этих выплат зависит от состояния экономики.

И, наконец, альтернативный проект капиталовложений 2, совпадающий по всем параметрам с проектом 1 и отличающийся от него лишь распределением вероятностей ожидаемых в конце года выплат.

Под распределением вероятностей будем понимать множество вероятностей возможных исходов (в случае непрерывной случайной величины это была бы плотность распределения вероятностей). Именно в этом смысле следует истолковывать представленные в табл. 30.1 четыре распределения вероятностей, соответствующие четырем альтернативным вариантам инвестирования. Доходность по ГКО -ОФЗ точно известна. Она составляет 8% и не зависит от состояния экономики.

Вопрос 1. Можно ли риск по ГКО -ОФЗ безоговорочно считать равным нулю?

Ответ: а) да; 6) думаю, что не все так однозначно, но затрудняюсь дать более полный ответ; в) нет.

Правильный ответ в).

При любом варианте ответа см. справку 1.

Справка 1. Инвестиции в ГКО -ОФЗ признаются безрисковыми только в том смысле, что их номинальная доходность не изменяется в течение данного периода времени. В то же время их реальная доходность содержит определенную долю риска, так как она зависит от фактических темпов роста инфляции в течение периода владения данной ценной бумагой. Более того, ГКО могут представлять проблему для инвестора, который обладает портфелем ценных бумаг с целью получения непрерывного дохода: когда истекает срок платежа по ГКО -

ОФЗ, необходимо осуществить реинвестирование денежных средств, и если процентные ставки снижаются, доход портфеля также уменьшится. Этот вид риска, который носит название риска нормы реинвестирования, не учитывается в пашем примере, так как период, в течение которого инвестор владеет ГКО -ОФЗ, соответствует сроку их погашения. Наконец, отметим, что релевантная доходность любых инвестиций - это доходность после уплаты налогов, поэтому значения доходности, используемые для принятия решения, должны отражать доход за вычетом налогов.

По трем другим вариантам инвестирования реальные, или фактические, значения доходности не будут известны до окончания соответствующих периодов владения активами. Поскольку значения доходности не известны с полной определенностью, эти три вида инвестиций являются рисковыми.

Распределения вероятностей бывают дискретными или непрерывными. Дискретное распределение вероятностей имеет конечное число исходов. Так, в табл. 30.1 приведены дискретные распределения вероятностей доходностей различных вариантов инвестирования. Доходность ГКО - ОФЗ принимает только одно возможное значение, тогда как каждая из трех оставшихся альтернатив имеет пять возможных исходов. Каждому исходу поставлена в соответствие вероятность его появления. Например, вероятность того, что ГКО-ОФЗ будут иметь доходность 8%, равна 1,00, а вероятность того, что доходность корпоративных ценных бумаг составит 9%, равна 0,50.

Если умножить каждый исход на вероятность его появления, а затем сложить полученные результаты, получим средневзвешенную исходов. Весами служат соответствующие вероятности, а средневзвешенная представляет собой ожидаемое значение. Так как исходами являются//?/?, ожидаемое значение - это ожидаемая норма доходности (Expected Rate of Return, ERR), которую можно представить в следующем виде:

где IRRj - i-ii возможный исход; pj - вероятность появления i-ro исхода; п - число возможных исходов.

Используя формулу (30.2), найдем, что ERR, например, проекта 2 равна 12%: ERR = -2,0% o 0,05 + 9,0% o 0,20 + 12,0% o 0,50 + 15% ■ 0,20 + + 60% o 0,05 = 12,0%.

Упражнение 30.1. По формуле (30.2) рассчитайте ожидаемые доходности трех других альтернативных вариантов инвестирования. Результаты сравните с последней строкой табл. ЗОЛ.

Напомним, что дискретные распределения вероятностей могут быть представлены не только в табличной, но и в графической форме. На рис. 30.3 приведены столбиковые диаграммы (или гистограммы) проектов 1 и 2.

Рис. 303. Графическое представление дискретного распределения вероятностей:

а - проект 1; б - проект 2

Возможные значения доходности проекта 1 принадлежат промежутку от -3 до +19%, а проекта 2 - от -2 до +26%. Отметим, что высота каждого столбца представляет собой вероятность появления соответствующего исхода, а сумма этих вероятностей по каждому варианту равна 1,00. Отметим также, что распределение значений доходности проекта 2 симметрично, тогда как соответствующее распределение для проекта 1 имеет левостороннюю асимметрию.

Упражнение 30.2. Постройте аналогичные диаграммы для ГКО -ОФЗ и корпоративных ценных бумаг. Сравните свои результаты с ответом.

Ответ. Доходность ГКО будет представлена единственным столбцом, а доходность корпоративных ценных бумаг - диаграммой, имеющей правостороннюю асимметрию.

Таким образом, использование ожидаемого значения в качестве критерия риска обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль или минимизировать ожидаемые затраты. В частности, этот критерий можно количественно выразить в денежных единицах или в единицах полезности денег. Для пояснения разницы между непосредственно деньгами и их полезностью предположим, что инвестиции в 2000 руб. дают с равными вероятностями либо нулевой доход, либо доход в 10 000 руб. В денежных единицах ожидаемый чистый доход составит

(10 000 - 0,5 + 0-0,5) - 2000 = 3000 (руб.).

Подобное вложение денежных средств, на первый взгляд, представляется оптимальным. Однако такое решение не для всех ЛПР приемлемо. Например, для лица Л, имеющего ограниченные ресурсы, потеря 2000 руб. может привести к банкротству. Напротив, лицо В, капитал которого значительно превосходит данную сумму, может пойти на такой риск. Следовательно, нецелесообразно использовать ожидаемое значение стоимостного выражения в качестве единственного критерия для принятия решений. Этот критерий служит только ориентиром, а окончательное решение может быть принято ЛПР лишь на основе всех существенных факторов, его отношения к полезности денежных средств.

Необходимо отметить, что использование критерия ожидаемого значения целесообразно лишь в случае, когда одно и то же решение приходится принимать достаточно большое число раз. Иными словами, ориентация на ожидаемую доходность может приводить к неверным результатам для тех решений, которые приходится принимать эпизодически.