.2. Особенности прогноза остаточного ресурса методами теории подобия в надежности

Системное представление конструкционных материалов, а также развивающая его (эволюционная) модель накопления поврежденности и достижения предельного состояния подтверждают возможность прогнозирования остаточного ресурса механических элементов ОТУ. Более того, соответствующие принципы нелинейной динамики позволяют делать это с помощью малого числа количественных характеристик, представляя процесс исчерпания длительной прочности изменением значений подобных (определяющих) параметров (порядка) в некотором русле, границы которого предписаны законами энтропии.

А вот повысить точность и строгость априорной оценки ресурса безопасной эксплуатации механических элементов только что изложенным способом можно путем использования дополнительной информации, которая получена на их аналогах, имеющих сходные условия функционирования и наступления предельного состояния. Ведь теория подобия в надежности оперирует такими критериями соответствия (константа или инвариант подобия) между разными конструктивными элементами, которые делают возможным перенос параметров одних технических объектов на другие.

Правомерность привлечения теории подобия к оценке, например, времени достижения предельного состояния механических элементов обусловлена однотипностью процессов, происходящих в структуре их конструкционного материала под воздействием эксплуатационных нагрузок F. В пользу этого также служит универсальность и относительная простота математического моделирования повреждаемости в виде нормально распределенных функций, параметрами которых служат свойства и геометрия конструкционного материала, а также приложенные к нему нагрузки и время их воздействия.

Все это делает возможным привлечение методов стохастической теории подобия в интересах обобщения и типизации как только что рассмотренной физической модели деформирования и разрушения металлических материалов, так и других известных моделей из числа функционально-статистических. Последующий же совместный анализ всех этих моделей позволяет получать желаемые инварианты подобия, являющиеся функцией небольшого числа тех определяющих параметров, которые наиболее полно характеризуют физическую сущность исследуемого здесь процесса накопления поврежденности.

Продемонстрируем возможность и конструктивность использования теории подобия на примере прогноза остаточного ресурса критически важных механических элементов ОТУ. При этом будем оперировать моделями параметрического отказа типа модель непревышений [35] или нагрузка-прочность. Для иллюстрации вероятностного характера подобных моделей и пояснения необходимости привлечения в них как можно большего объема информации, собранной с соблюдением критериев подобия и повышающей достоверность оценки остаточного гамма-процентного ресурса воспользуемся рис. 20.2.

Похожими на палатку кривыми на нем показаны плотности вероятности распределения параметров: слева – нагруженности и прочности конструкционного материала, измеряемых напряжением , Па; справа – его поврежденности и сплошности , изменяющихся во времени t эксплуатации ОТУ. Расстояния между математическими ожиданиями этих случайных параметров обозначены на данном рисунке символами и а между максимальными значениями расчетного и действующего напряжений – разностью Нетрудно понять, что величины характеризуют запас прочности и время безопасного функционирования любого критически важного механического элемента ОТУ.

Как ясно из левых графиков рис. 20.2, вероятностный подход к обеспечению запаса прочности (в отличие от детерминистского, основанного на ) позволяет не только оперировать меньшими значениями напряжений ст, но и обосновывать приемлемую вероятность разрушения, величина которой пропорциональна затемненной площади над отрезком ст, принадлежащим двум графикам

Рис. 20.2. К задаче вероятностного прогноза остаточного ресурса

Естественно, что назначение рационального запаса прочности или допустимой вероятности разрушения должно осуществляться с учетом дисперсии распределений приемлемые значения этих параметров могут уменьшаться по мере снижения дисперсии соответствующих распределений, как это и показано, например, в правой части рис. 20.2 – уже не контактирующими графиками большей крутизны.

Одним из способов снижения дисперсии распределений поврежденности и сплошности (перехода от кривых 1, 2 к кривым 1п, 2п) может стать привлечение той дополнительной информации о конкретном элементе ОТУ, которая уже имеется либо получена на его аналогах. Что касается критериев стохастического подобия по запасу работоспособности, то ими могут служить соответствующий показатель или инвариант , приведенные в табл. 20.1 применительно к трем статистическим распределениям [8].

Таблица 20.1. Критерии стохастического подобия по работоспособности

Закон распределения	Критерии подобия	Параметры
Нормальный		Мσр, Мσf – математические ожидания прочности и нагрузки; Sp, Sf–стандартные отклонения оценок этих параметров
Показательный		М, D – математическое ожидание и дисперсия прочности или/и нагрузки
Вейбулла		X – интенсивность отказов; D, 6 – параметры масштаба и формы распределения Вейбулла

При этом в качестве определяющего параметра повреждаемости П рекомендуется использовать размер L трещины, определяемый скоростью V и временем t ее развития, а для аналитического описания данного эволюционного процесса – применять однородные динамические модели параметрической надежности. В подобных условиях справедливы следующие критерии, рекомендуемые для оценки времени до наступления предельного состояния:

(20.1)

где D – область допустимых значений длины трещины, образовавшейся в зоне потенциального разрушения механического элемента; – параметры сплошности (прочности) и нагруженности его материала; – время их оценки по результатам последней диагностики.

В приведенном выше выражении время означает продолжительность безопасного функционирования критически значимого конструктивного элемента какого-либо ОТУ с момента до перехода в предельное состояние из-за исчерпания ресурса длительной прочности. Так как это время является случайной величиной, то оценить условную вероятность его достижения с уровнем доверия γ можно, приравняв их друг другу:

(20.2)

Оказывается, что при выбранном выше определяющем параметре L процесс наступления предельного состояния механического элемента логично представить в виде следующей линейной полуслучайной функции изменения длины трещины:

(20.3)

где – начальная длина трещины, имевшейся в конструкционном материале в момент времени

Дело в том, что входящая в это выражение скорость V развития трещины выражает осредненную во времени величину, которая сглаживает дискретность приращения , начиная с момента достижения сплошностью конструкционного материала ее порогового значения и кончая разрушением изготовленного из него элемента. При этом для конкретного материала длина может считаться неслучайной величиной, в отличие от параметров нагрузки F, которую теория подобия в надежности рекомендует считать имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием и стандартным отклонением Отсюда следует, что скорость развития трещины можно интерпретировать случайной нормально распределенной величиной с параметрами а момент наступления предельного состояния из-за параметрического отказа по этой причине будет характеризоваться следующим значением максимально допустимой длины трещины:

(20.4)

где – продолжительность функционирования элемента до его параметрического отказа, являющаяся функцией случайной величины V, плотность вероятности которой определяется следующим математическим соотношением:

(20.5)

где – среднее время до наступления параметрического отказа; с – нормирующий множитель; – коэффициент вариации скорости развития трещины.

Введя безразмерную случайную величину с плотностью распределения, заданной в виде функции

(20.6)

можно определить искомую вероятность наступления параметрического отказа критически значимого механического элемента соответствующего ОТУ с помощью следующего уравнения:

(20.7)

где – табличная функция Лапласа (см. табл. Г.4 приложения к учебнику).

Наконец, используя принцип выявления стохастического подобия на основе одинаковой вероятности появления параметрического отказа сравниваемых механических элементов и учитывая уравнение (20.7), можно получить не только выражение для показателя П (константы) подобия аналогичных конструктивных элементов, которая в данном случае одновременно является также и его инвариантом (idem) [8]:

(20.8)

но и соотношение между определяющими параметрами элемента и его долговечностью:

(20.9)

где – квантиль нормально распределенной величины, соответствующий вероятности .

Иначе говоря, только что изложенный подход к прогнозу остаточного ресурса критически значимого элемента ОТУ соответствует так называемой задаче о выбросах определяющего параметра полуслучайной функции за допустимый предел . Графическая иллюстрация постановки и решения подобной задачи с помощью функции распределения ординаты роста трещин, оцениваемой методами теории подобия в надежности, представлена на рис. 20.3.

Жирной, восходящей слева направо линией в центре рисунка показано математическое ожидание длины трещины, изменяющейся во времени под воздействием нагрузки. Точки, расположенные между двумя штриховыми линиями, представляют конкретные значения этой случайной величины на выборке однотипных элементов в разные моменты времени. Верхняя горизонтальная линия соответствует предельно допустимой длине трещины, величина которой принадлежит области , учтенной в системе условий (20.1).

Рис. 20.3. Идея прогноза остаточного ресурса по критическому размеру трещины

На рис. 20.3 также имеется вертикальная прямая линия, к правой части которой прижат график плотности вероятности распределения случайной длины в некоторый момент времени, зависящий от скорости V развития трещины в конструкционном материале. Если конкретнее, то местоположение этой прямой предопределено пересечением плотности с горизонтальной линией в том месте, где отсекаемая ею (заштрихованная) площадь под кривой равна процентов от всей ее величины. Это означает (по определению), что местоположение этой прямой на оси t как раз и соответствует искомому здесь значению остаточного ресурса

Обратим внимание, что достоверность статистического оценивания зависимостей , а значит, и точность сделанных на их основе прогнозов во многом определяются числом привлекаемых эмпирических данных. Их увеличение способно сделать точечные оценки параметров эффективными благодаря уменьшению их Данное обстоятельство свидетельствует о необходимости привлечения как можно большего количества расчетных или эмпирических данных, имеющихся априори либо полученных с помощью аналогов, при условии последующей проверки такой информации на возможность объединения методами математической статистики.